高考数学大一轮复习 13.2直接证明与间接证明课件 理 苏教版

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1、数学数学 苏苏 （理）（理）13.2直接证明与间接证明第十三章推理与证明、算法、复数基础知识基础知识自主学习自主学习题型分类题型分类深度剖析深度剖析思想方法思想方法感悟提高感悟提高练出高分练出高分1.直接证明(1)综合法定义：从 出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法常称为综合法.已知条件思维过程：由因导果.(2)分析法定义：从 出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止.这种证明方法常称为分析法.思维过程：执果索因.问题的结论2.间接证明反证法定义要证明某一结论Q是正确的，但不直接证明，而是先去假设

2、Q不成立(即Q的反面非Q是正确的)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设非Q是错误的，从而断定结论Q是正确的，这种证明方法叫做反证法.证明步骤(1)反证假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真；(2)归谬从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；(3)存真由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立.适用范围(1)否定性命题；(2)命题的结论中出现“至少”“至多”“唯一”等词语的；(3)当命题成立非常明显，而要直接证明所用的理论太少，且不容易说明，而其逆否命题又是非常容易证明的；(4)要讨论的情况很复杂，而反面情况很少.u思考辨析判断下面结论是否正确(请在括号中打

3、“”或“”)(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明.( )(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.( )(3)用反证法证明结论“ab”时，应假设“ab”.( )(4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾.( )(5)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程.( )(6)证明不等式 最合适的方法是分析法.( )题号答案解析1234 pqa0，b0且ab解析例1对于定义域为0,1的函数f(x)，如果同时满足：对任意的x0,1，总有f(x)0；f(1)1；若x10，x20，x1x21，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立，则称函

4、数f(x)为理想函数.(1)若函数f(x)为理想函数，证明：f(0)0；题型一综合法的应用题型一综合法的应用思维点拨解析思维升华取特殊值代入计算即可证明；例1对于定义域为0,1的函数f(x)，如果同时满足：对任意的x0,1，总有f(x)0；f(1)1；若x10，x20，x1x21，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数.(1)若函数f(x)为理想函数，证明：f(0)0；题型一综合法的应用题型一综合法的应用思维点拨解析思维升华证明取x1x20，则x1x201，f(00)f(0)f(0)，f(0)0.又对任意的x0,1，总有f(x)0，f(0)0.于是f(0)0.例

5、1对于定义域为0,1的函数f(x)，如果同时满足：对任意的x0,1，总有f(x)0；f(1)1；若x10，x20，x1x21，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数.(1)若函数f(x)为理想函数，证明：f(0)0；题型一综合法的应用题型一综合法的应用思维点拨解析思维升华综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性.例1对于定义域为0,1的函数f(x)，如果同时满足：对任意的x0,1，总有f(x)0；f(1)1；若x10，x2

6、0，x1x21，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数.(1)若函数f(x)为理想函数，证明：f(0)0；题型一综合法的应用题型一综合法的应用思维点拨解析思维升华例 1 (2)试 判 断 函 数 f(x)2x(x0,1)，f(x)x2(x0,1)，f(x) (x0,1)是不是理想函数.思维点拨解析思维升华对照新定义中的3个条件，逐一代入验证，只有满足所有条件，才能得出“是理想函数”的结论，否则得出“不是理想函数”的结论.例 1 (2)试 判 断 函 数 f(x)2x(x0,1)，f(x)x2(x0,1)，f(x) (x0,1)是不是理想函数.思维点拨解析思维升华

7、解对于f(x)2x，x0,1，f(1)2不满足新定义中的条件，f(x)2x，(x0,1)不是理想函数.对于f(x)x2，x0,1，显然f(x)0，且f(1)1.例 1 (2)试 判 断 函 数 f(x)2x(x0,1)，f(x)x2(x0,1)，f(x) (x0,1)是不是理想函数.思维点拨解析思维升华任意的x1，x20,1，x1x21，f(x1x2)f(x1)f(x2)(x1x2)2xx2x1x20，即f(x1)f(x2)f(x1x2).f(x)x2(x0,1)是理想函数.例 1 (2)试 判 断 函 数 f(x)2x(x0,1)，f(x)x2(x0,1)，f(x) (x0,1)是不是理想函

8、数.思维点拨解析思维升华对于f(x) ，x0,1，显然满足条件.对任意的x1，x20,1，x1x21，例 1 (2)试 判 断 函 数 f(x)2x(x0,1)，f(x)x2(x0,1)，f(x) (x0,1)是不是理想函数.思维点拨解析思维升华即f2(x1x2)f(x1)f(x2)2.f(x1 x2)f(x1) f(x2)，不满足条件.f(x) (x0,1)不是理想函数.例 1 (2)试 判 断 函 数 f(x)2x(x0,1)，f(x)x2(x0,1)，f(x) (x0,1)是不是理想函数.思维点拨解析思维升华综上，f(x)x2(x0,1)是理想函数，f(x)2x(x0,1)与f(x) (

9、x0,1)不是理想函数.例 1 (2)试 判 断 函 数 f(x)2x(x0,1)，f(x)x2(x0,1)，f(x) (x0,1)是不是理想函数.思维点拨解析思维升华综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理.例 1 (2)试 判 断 函 数 f(x)2x(x0,1)，f(x)x2(x0,1)，f(x) (x0,1)是不是理想函数.思维点拨解析思维升华跟踪训练1(2013课标全国)设a、b、c均为正数，且abc1，证明：(1)abbcac ；证明由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac得a2b2c2abbcca.由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcc

10、a)1，即abbcca .跟踪训练1(2013课标全国)设a、b、c均为正数，且abc1，证明：(2) 1.思维点拨解析思维升华题型二分析法的应用题型二分析法的应用用分析法，移项，平方，化简.题型二分析法的应用题型二分析法的应用思维点拨解析思维升华题型二分析法的应用题型二分析法的应用思维点拨解析思维升华题型二分析法的应用题型二分析法的应用思维点拨解析思维升华题型二分析法的应用题型二分析法的应用思维点拨解析思维升华题型二分析法的应用题型二分析法的应用思维点拨解析思维升华(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件.正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键.题型二分

11、析法的应用题型二分析法的应用思维点拨解析思维升华(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证.题型二分析法的应用题型二分析法的应用思维点拨解析思维升华证明因为a，b(0，)，所以要证原不等式成立，即证(a3b3)2(a2b2)3，即证a62a3b3b6a63a4b23a2b4b6，只需证2a3b33a4b23a2b4.因为a，b(0，)，所以即证2ab2ab成立，例3已知数列an的前n项和为Sn，且满足anSn2.(1)求数列an的通项公式；题型三反证法的应用题型三反证法的应用解当n1时，a

12、1S12a12，则a11.又anSn2，所以an1Sn12，两式相减得an1 an，思维点拨解析思维升华例3已知数列an的前n项和为Sn，且满足anSn2.(2)求证：数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列.证明(2)用反证法，假设存在三项，符合条件推出矛盾.例3已知数列an的前n项和为Sn，且满足anSn2.(2)求证：数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列.思维点拨解析思维升华证明反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap1，aq1，ar1(pqr，且p，q，rN*)，又因为pqr，所以rq，rpN*.例3已知数列an的前n项和为Sn，且满足anSn2.(2)求证：数列an中不

13、存在三项按原来顺序成等差数列.思维点拨解析思维升华所以(*)式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立.所以假设不成立，原命题得证.例3已知数列an的前n项和为Sn，且满足anSn2.(2)求证：数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列.思维点拨解析思维升华(1)当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，可用反证法来证，反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等例3已知数列an的前n项和为Sn，且满足anSn2.(2)求证：数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列.思维点拨解析思维升华(2)用反证法证明不等式要

14、把握三点：必须否定结论；必须从否定结论进行推理；推导出的矛盾必须是明显的.例3已知数列an的前n项和为Sn，且满足anSn2.(2)求证：数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列.思维点拨解析思维升华跟踪训练3等差数列an的前n项和为Sn，a11 ，S393 .(1)求数列an的通项an与前n项和Sn；(2)设bn (nN*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列.p，q，rN*，pr，与pr矛盾.假设不成立，即数列bn中任意不同的三项都不可能成等比数列.典例：(14分)已知数列xn满足x1 ，xn1 ，求证：0xn1xn .思想与方法系列思想与方法系列20 放缩有放缩有“度度”

15、，巧证不等式，巧证不等式温 馨 提 醒规 范 解 答思 维 点 拨思 维 点 拨温 馨 提 醒先证0xn1，再求xn1xn的表达式，利用不等式放缩得出结论.规 范 解 答证明由条件可知数列xn的各项均为正数，故由基本不等式，得xn1 1，2分 若xn11，则xn1，这与已知条件x1 矛盾.所以0xn1，6分 思 维 点 拨温 馨 提 醒规 范 解 答12分 思 维 点 拨温 馨 提 醒规 范 解 答14分 因上述两个不等式中等号不可能同时成立，思 维 点 拨温 馨 提 醒规 范 解 答(1)所谓放缩法就是利用不等式的传递性，根据证题目标进行合情合理的放大或缩小，在使用放缩法证题时要注意放和缩的

16、“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤.思 维 点 拨温 馨 提 醒规 范 解 答(2)本题技巧性较强，经过了两次放缩，关键是放缩后的式子要尽可能地接近原式，减小放缩度，以避免运算上的麻烦.第一次是利用基本不等式，将xn1xn转化为常数，根据已知验证可判定出0xn1；第二次放缩法是证明不等式经常利用的方法，多采用添项或去项，分子、分母扩大或缩小，应用基本不等式进行放缩，放缩时要注意放缩的方向保持一致.在此步骤中，因两个等式中的等号不可能同时成立，所以两式相乘后不取等号，这是易错之处，必须加以警惕.思 维 点 拨温 馨 提 醒规 范 解

17、答方 法 与 技 巧1.分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知.3.分析法和综合法各有优缺点.分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考.实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来.2.综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知.失 误 与 防 范1.用分析法证明时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”“即证”“只需证”等，逐步分析，直至一个明显成立的结论.2.利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设的命题进行推理，如果没有用假设的命题推理而推出矛盾结果，其推

18、理过程是错误的.2345678910123456789101即ab.答案ab34567891012P2Q2，PQ.P0；ab0，b0；a0，b0.其中能使 2成立的条件的个数是_.2345789101637.已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，则第60个“整数对”是_.23456891017解析依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知每组中每个“整数对”的和为n1，且每组共有n个“整数对”，这样的前n组一共有 个“整数对”，注意到 60 ，因此第60个“整数对”处于第1

19、1组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各数对依次为(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，因此第60个“整数对”是(5,7).23456891017答案(5,7)23456791018解析f(x)sin x在区间(0，)上是凸函数，且A、B、C(0，).2345679101823456781019证明ab，ab0.平方得：|a|2|b|22|a|b|2(|a|2|b|22ab)，只需证：|a|2|b|22|a|b|0，即(|a|b|)20，显然成立.故原不等式得证.10.已知四棱锥SABCD中，底面是边长为1的正方

20、形，又SBSD ，SA1.(1)求证：SA平面ABCD；23456789110证明由已知得SA2AD2SD2，SAAD.同理SAAB.又ABADA，SA平面ABCD.23456789110(2)在棱SC上是否存在异于S，C的点F，使得BF平面SAD？若存在，确定F点的位置；若不存在，请说明理由.解假设在棱SC上存在异于S，C的点F，使得BF平面SAD.BCAD，BC平面SAD.BC平面SAD.而BCBFB，平面FBC平面SAD.这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾，假设不成立.故不存在这样的点F，使得BF平面SAD.23451ABC2.(2013广东)设整数n4，集合X1,2,3，n，令集

21、合S(x，y，z)|x，y，zX，且三条件xyz，yzx，zx0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)0，且0x0.(1)证明： 是函数f(x)的一个零点；23514证明f(x)图象与x轴有两个不同的交点，f(x)0有两个不等实根x1，x2，f(c)0，x1c是f(x)0的根，23514(2)试用反证法证明 c.23514234152341523415(2)证明：数列bn中的任意三项不可能成等差数列.证明用反证法证明.假设数列bn存在三项br，bs，bt(rsbsbt，则只能有2bsbrbt成立.23415两边同乘以3t121r，化简得3tr2tr22sr3ts.由于rst，上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾.故数列bn中任意三项不可能成等差数列.23415