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1、第二章 不等式,知识网络,考向预测与备考方略,本章内容在高考中属主体内容，以考查不等式性质、解法和最值方面的应用为重点，多数情况是在函数、数列、几何、实际应用题等综合型试题中考查，所占比例为10%15%.小题属低中档题、大题属中档以上题，预计在2011年中，对不等式的性质和解不等式特别是含参数的不等式的解法，仍会继续渗透在其知识中进行考查.对不等式的应用，突出渗透数学思想方法和不等式知识的综合应用，特别是求最值问题、不等式证明问题，将继续强调考查逻辑思维推理能力，尤其是不等式与函数、数列、三角、解析几何的综合题型将会继续出现在高考的中、高档题中.,考题往往借助不等式的性质及证明来考查函数方程思
2、想、等价转化思想、数形结合思想及分类讨论思想等数学思想方法.含参数不等式的解法与讨论，不等式与函数、数列、三角等内容的综合问题，仍将是今后高考命题的热点.,具体的说，有如下特点与趋势： 1.重视基础知识的考查.常考常新，创意不断，设问方式不断创新，图表信息题，多选型填空题等情景新颖的题型受到命题者的青睐.重点考查四种题型：解不等式，涉及不等式应用题，涉及不等式的综合题，证明不等式（偶尔出）.所占比例远远高于在课时和知识点中的比例.值得引起我们的关注.,2.突出重点，综合考查.在知识与方法的交汇点处设计命题，在不等式问题中蕴含着丰富的函数思想，不等式又为研究函数提供了重要的工具，不等式与函数既是
3、知识的结合点，又是数学知识与数学方法的交汇点，因而在历年题中始终是重中之重.在全面考查函数与不等式基础知识的同时，将不等式的重点知识以及其他知识有机结合，进行综合考查，强调知识的综合和知识的内在联系，加大数学思想方法的考查力度，是高考对不等式考查的又一新特点.,3.加大推理、论证能力的考查力度，充分体现由知识立意向能力立意转变的命题方向.由于代数推理没有几何图形作依托，因而更能检测出学生抽象思维能力的层次.这类代数推理问题常以高中代数的主体内容函数、方程、不等式、数列及其交叉综合部分为知识背景，并与高等数学知识及思想方法相衔接，立意新颖，抽象程度高，有利于高考选拔功能的充分发挥.对不等式的考查
4、更能体现出高观点、低设问、深入浅出的特点，考查容量之大、功能之多、能力要求之高，一直是高考的热点. 4.突出不等式的知识在解决实际问题中的应用价值，借助不等式来考查学生的应用意识. 5.重视数学思想方法的考查.,本章内容理论性强，知识覆盖面广，因此在复习过程中应注意： （1）复习不等式的性质时，要克服“想当然”和“显然成立”的思维定势，要以比较准则和实数的运算法则为依据. （2）不等式的证明方法除比较法、分析法、综合法外，还有反证法、换元法、判别式法、构造法、几何法，这些方法可作适当了解，但要控制量和度.（3）解（证）某些不等式时，要把函数的定义域、值域和单调性结合起来.,（4）注意重要不等式
5、和常用思想方法在解题、证题中的作用. 在复习不等式的解法时，加强等价转化思想的训练与复习.解不等式的过程是一个等价转化的过程，通过等价转化可简化不等式（组），以快速、准确求解. 加强分类讨论思想的.在解不等式或证不等式的过程中，如含参数等问题，一般要对参数进行分类讨论.复习时，学生要学会分析引起分类讨论的原因，合理的分类，做到不重不漏. 加强函数与方程思想在不等式中的应用训练.不等式、函数、方程三者密不可分，相互联系、互相转化.如求参数的取值范围问题，函数与方程思想是解决这类问题的重要方法. 在不等式的证明中，加强化归思想的复习.证不等式的过程是一个把已知条件向要证结论的一个转化过程，既可考查
6、学生的基础知识，又可考查学生分析问题和解决问题的能力，正因为证不等式是高考考查学生代数推理能力的重要素材，复习时应引起我们的足够重视.,（5）强化不等式的应用 高考中除单独考查不等式的试题外，常在一些函数、数列、立体几何、解析几何和实际应用问题的试题中涉及不等式的知识，加强不等式应用能力，是提高解综合题能力的关键.因此，在复习时应加强这方面训练，提高应用意识，总结不等式的应用规律，才能提高解决问题的能力. 如在实际问题应用中，主要有构造不等式求解或构造函数求函数的最值等方法，求最值时要注意等号成立的条件，避免不必要的错误. （6）利用平均值定理解决问题时，要注意满足定理成立的三个条件：“一正、
7、二定、三相等”. （7）要强化不等式的应用意识，同时要注意到不等式与函数、方程的区别与联系.,第一课时 不等关系与不等式,考纲要求,了解现实世界和日常生活中的不等式关系，了解不等式（组）的实际背景.,知识梳理,一、不等式的概念 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”、“”、“”、“”连接两个数式或代数式以表示它们之间的不等的关系的式子，叫做不等式. 二、实数运算性质与大小顺序关系 1.ab . 2.a=b . 3.ab . 它是比较两实数大小的依据,也是作差比较法的依据.,三、不等式的基本性质 1.双向性 定理1(对称性):ab_. 2.单向性 （1）定理2(传递性
8、):ab,bcac. （2）定理3(同加性):ab,c为整式或实数_. （3）定理3推论(叠加性): _. （4）定理4(可乘性):,（5）定理4推论1(叠乘性): _. （6）定理4推论2(可乘方性):ab0_(nN*且n1). （7）定理5(可开方性):ab0_(nN*且n1).,3.要注意不等式性质成立的条件.例如，重要结论： ab，ab01/a1/b，不能弱化条件得ab1/a1/b. 4.要正确处理带等号的情况.如由ab，bc或ab，bc均可得出ac；而由ab，bc可能有ac，也可能有a=c，当且仅当a=b且b=c时，才会有a=c. 注意：不等式的性质从形式上可分两类：一类是“”型；另
9、一类是“”型.要注意二者的区别.,考纲要求,1.对于实数a，b，c下列命题中为假命题的是( ) A.若ab,则acbc B.若ac2bc2,则ab C.若cab0,则a/(c-a)b/(c-b) D.若ab,1/a1/b,则a0,b0b-a，cbc;(2)a/d+b/cb-d; (4)a(d-c)b(d-c)中能成立的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4,3.已知12b0,m0,n0,则b/a,a/b,(b+m)/(a+m),(a+n)/(b+n)由大到小的顺序是 .,典例试解,已知三个不等式：ab0，bcad，c/ad/b,以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成多少个正确的命
10、题？并写出这些命题.,1.解析：可以组成下列3个命题. 命题一：若ab0，c/ad/b 则bcad； 命题二：若ab0，bcad 则c/ad/b； 命题三：若c/ad/b,bcad 则ab0. 由不等式的性质得知这三个命题均为真命题.,1.现有三个条件：（1）ac2bc2；(2)a/cb/c；(3)a2b2，其中能成为ab的充分条件的个数有( ) A0 B1 C2 D3,变式探究,答案：B,已知aR,试比较1/(1-a)与1+a的大小.,解析：(1/(1-a)-(1+a)=a2/(1-a). (1)当a=0时,a2/(1-a)=0,1/(1-a)=1+a. (2)当a0,1/(1-a)1+a.
11、 (3)当a1时,a2/(1-a)0,1/(1-a)1+a.,思路分析：要判断1/(1-a)与1+a的大小,只需研究它们差的符号. 点评：实数的大小比较常常转化为对它们差（简称作差法）的符号的判定,当解析式里面含有字母时常需分类讨论.,变式探究,比较1+logx3与2logx2（x0且x1）的大小.,解析： 当0x1或x4/3时，1+logx32logx2； 当1x4/3时，1+logx32logx2； 当x=4/3时，1+logx3=2logx2.,某家庭准备利用假期到某地旅游，有甲、乙两家旅行社提供两种优惠方案，甲旅行社的方案是：如果户主买全票一张，其余人可享受五五折优惠；乙旅行社的方案是
12、：家庭旅游算集体票，可按七五折优惠.如果甲、乙两家旅行社的原价相同，请问该家庭选择哪家旅行社外出旅游合算？,解析：设该家庭除户主外，还有x人参加旅游，甲、乙两旅行社收费总金额分别为y1和y2.一张全票价格为a元， 那么y1=a+0.55ax，y2=0.75（x+1）a. y1-y2=a+0.55ax-0.75a（x+1）=0.2a（1.25-x）. 当x1.25时，y1y2； 当x1.25时，y1y2.又因x为正整数， 所以当x=1，即两口之家应选择乙旅行社； 当x2（xN），即三口之家或多于三口的家庭应选择甲旅行社.,3.用不等关系表示下列的生活事实： （1）如果向一杯糖水里添上一点糖，糖水
13、变得更甜了； （2）把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）倒在一起，混合后的糖水一定比淡的甜，比浓的淡.,变式探究,解析：（1）设糖水b克，含糖a克，浓度为a/b，加入m克糖后的浓度为(a+m)/(b+m)，则这个事实包含的不等式为： 若ba0,m0，则a/ba10,b2a20，且a1/b1a2/b2则(a1/b1)(a1+a2)/(b1+b2)(a2/b2).,课时升华,1.在学习不等式的性质时，要特别注意下面几点 （1）不等式的性质是解、证不等式的基础，对任意两实数a、b有a-b0ab，a-b=0a=b，a-b0ab，这是比较两数（式）大小的理论根据，也是学习不等式的基石. （2）一定要在
14、理解的基础上记准、记熟不等式的性质，并注意在解题中灵活、准确地加以应用. （3）不等式的传递性：若ab,bc,则ac,这是放缩法的依据.在运用传递性时，要注意不等式的方向，否则易产生这样的错误：为证明ac,选择中间量b,在证出ab,cb后，就误认为能得到ac.（4）同向不等式可相加，但不能相减，即由ab,cd，可以得出a+cb+d,但不能得a-cb-d.,（5）不等式两边同时乘以一个数或式时，只有该数或式保证为正，才能得到同向的不等式，否则不等式两边同时乘以该数或式后不能确定不等式的方向；不等式两边同偶次乘方时，也要特别注意不等式的两边必须是正. （6）对于含参问题的大小比较要注意分类讨论.
15、总之，不等式的概念和性质是本章内容的基础，是证明不等式和解不等式的主要依据，必须透彻理解，特别要注意同向不等式可相加，也可相乘，但相乘时，两个不等式都需大于零.处理分式不等式时不要随便将不等式两边乘以含有字母的分式，如果需要去分母，一定要考虑所乘的代数式的正负.,2.在复习过程中，注意几个强化 （1）作差法是证明不等式的最基本也是很重要的方法，应引起高度注意,要注意强化. （2）加强化归意识，把比较大小问题转化为实数的运算. （3）通过复习要强化不等式“运算”的条件.如ab、cd在什么条件下才能推出acbd. （4）强化函数的性质在大小比较中的重要作用，加强知识间的联系.,体验高考,1.（2009年四川卷）已知a，b，c，d为实数，且cd.则“ab”是“a-cb-d”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件,答案：B,2.（2006年上海卷）如果a0，那么，下列不等式中正确的是( ) A. 1/a |b|,答案：A,
