2013年新课标高考研讨-数学

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1、函数及应用,我们已经历了从08年到12年五年的新课标高考，在这五年的改革和变化中，我们已有了对新课标教学和高考较为深刻的理解和认识，但从目前的教学和高考成绩不难发现，仍有很多问题需要我们一线老师急待解决。本文试图从平时的教学、高考复习，如何来理解现行的高考，与此同时，又从五年的高考中提炼，来如何指导我们平时的教学工作说一些建议，仅供大家参考。,第一部分：课标、考纲中对函数的要求的解读 在高中阶段，如何认识函数的作用？如何把握函数的内容？如何进行有效的函数教学？学生在学完高中课程，在函数的学习中应积淀下什么？这些问题，是教师必须具备的和解决的问题。 1. 对函数的认识 （1）函数是刻画变量与变量

2、之间依赖关系的最佳“途径”之一,把函数看作是刻画变量与变量之间依赖关系的模型，通过探索理解可以用变量与变量之间的依赖关系反映自然规律，这是我们认识现实世界的重要作用（宏观的看法）。 我们先来看一看高考是如何考察这一思想的：,2010年（理科）：选择题第11题 已知函数 ，若 , , 互不相等，且 ，则的取值范围. A.（ 1，10） B.（5，6） C.（10，12）D.（20，24）,解：分析：求范围 因为 是相互依赖的变量关系 可以归为求一类函数的值域问题 要点，将 看成一个整体 ，再 找出共同的自变量 . （难点：要对函数有一个较为深刻的理解）,设依解析式 必须要知道 的范围： 故可画出

3、函数的简图：,（2）函数是联结两类对象的桥梁 把函数看做是联结两类对象的桥梁，即通常说的映射关系。即用映射刻画函数，反映两个数集之间的关系。在两个数集之间架起了桥梁。这样的看法反映了数学中的一种基本思想。 这种理解方式是高中数学最为常见的一种形式，在高考中比比皆是，这里就不再细说。,（3）函数是“图形” 函数关系是平面上点的集合，又可以看成平面上的一个“图形”，在很多情况下，函数是满足一定条件下的曲线。因此，研究函数就是研究曲线的性质，研究曲线的变化。 运用这种看法，函数可以看做数形结合的载体之一。实际上，高中数学课程中的数形结合主要有三个载体：解析几何、向量（向量几何）、函数,函数 的图像与

4、函数 的图像所有交点的横坐标之和等于 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8,解析：图像法求解。 的对称中心是（1，0）也是 的对称中心， 他们的图像在 的左侧有4个交点，则 右侧必有4个交点。不妨把他们的横坐标由小到大设为： ，则 ，所以选D.,所以，在讨论函数问题时，帮助学生养成画函数图形，并且用函数图形思考问题的习惯，树立“图形意识”是掌握函数性质，学好函数的关键所在。 这就是高中阶段学生学完函数应用留下的东西。,例如：2009年高考（理科） 用 表示 三个数中的最小值. 设 ,则 的最大值为： A4 B. 5 C. 6 D. 7 （详细分析和解答） 培养“把握图形”能力，几何直观的能力

5、是数学 课程的基本目标之一。,2. 中学数学研究函数的什么性质 数学中研究函数主要是研究函数的变化特征（本质）。 在高中阶段主要研究函数的单调性、周期性，也讨论某些函数的奇偶性。 单调性是在高中阶段讨论函数“变化”最为基本的性质。 从几何角度：就是研究函数图象走势的变化。,从代数角度：可利用单调性来确定函数范围（值域）和有界性（最值）。 从教材中研究函数这个性质分成二阶段： 第一阶段：在必修1中，要求理解函数单调性的图形直观，理解单调性的数学定义，途径是通过大量的具体函数来理解单调性在研究函数中的作用（直观感知）。 界定：用具体的函数，通过类比、归纳、总结其性质，不需要严格的证明过程。,第二阶

6、段：安排在选修系列1，2课程的导数及应用中。导数是描述函数变化率的概念。导数可以帮助我们对“函数的变化”有进一步的了解，在这一部分的内容中，要求学生理解导数与单调性的联系。即：在一个区间中，如果函数在每一点的导数大于零，则函数是递增的。如果函数在每一点的导数小于零，则函数是递减的。反之，也可以用单调性判断导数的符号，在一个区间内，递增函数如果有导数，则每一点的导数大于或等于零。反之亦然。 界定：在高中阶段，对严格单调性和单调性的区别不必深究，否则，会因小失大。,设函数 的最小正周期为 ，且 ，则 A 在 单调递减 B. 在 单调递减 C 在 单调递增 D. 在 单调递增,解析： ，所以 ，又

7、为偶函数， ， ， ，选A.,例如： 1.已知 ，函数 （2005年高考） （1）当 为何值时， 取的最小值？证明你的结论。 （2）设 在-1，1上是单调函数，求 的取值范围。,已知函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 . （1）求 的值； （2）如果当 ，且 时， ，求 的取值范围.,解析:（1） ,由于直线 的斜率为 ，且过点（1，1），故 ，即 ，解得 ， .,（2）由(1)知 . 考虑函数 ，则 .,设 ，由 知，当 时， 递减，而 ，故当 时， ，可得 ； 当 时， ，可得 ，从而当 时，且 时， ，即 .,设 时，由于 的图像开 口向下，且 ，对称轴 当 时， ，故 ，而 ，故当 时

8、， ，可得 ，与题设矛盾.,设 ，此时 ，而 ，故当 时， ，可得 ，与题设矛盾. 综合得， 的取值范围为 .,2.设函数 （I）若 =0，求 的单调区间； （II）若当 时， ，求 的取值范围. （用在黑板上进行详细分析和解答） 比较两题的变化和课标上的要求，三维目标的解读。,周期性是中学阶段学习函数的另一个基本性质。周期性反映了函数变化周而复始的规律。在我们的生活中，小到粒子，大到宇宙都大量存在着周期性变化规律。因此，学会用周期的观点来看待周围事物的变化是非常重要和必须要做的。 在高中阶段，不讨论一般函数的周期性，只讨论基本的具体三角函数的周期性。例如，正弦、余弦、正切函数的周期性。,例如

9、：2009年高考（理科） 已知 的图象如图所示， 则 =_.,奇偶性也是我们在中学阶段学习函数时要研究的函数性质，但要注意它不是最基本的性质。奇偶性质反映了函数图形的对称性质，但它与坐标系的选择有关。在高中数学课程中，对于一般函数的奇偶性，也不做深入讨论，只讨论基本的具体函数的奇偶性。,例如：2010年（理科） 设偶函数 ，则 = A B. C. D.,3. 具体函数模型 了解函数的形式定义，仅仅是理解函数的一部分，理解函数的一个重要的方法，就是在头脑中留住一批具体函数的模型。在高中，要帮助学生对每一个抽象的数学概念，使他们在头脑中都有一批具体的“模型”。是学习数学一种良好的习惯。,幂函数、指

10、数函数、对数函数、三角函数、一次函数、二次函数是基本初等函数，这些函数是最基础的，也是最重要的，还有一些简单的分段函数，一些有实际背景的函数（例如： 等。等等，这些都是基本的、重要的函数模型。,例如：幂函数和对数函数（讲解） （补充：这些基本函数都是“好”的函数，所谓好，是指它具有任意阶导数，非常地光滑，在高中数学中，对于任意一个“好的函数”，在一定的范围内都可以用多项式函数来近似的表达。泰勤公式，这是高等数学的重要结果之一。） 另一个基本特点是：他们在研究世界运动变化规律时，应用的最多的函数，也是刻画变量变化最为基本的形式。 关于一元二次函数是重要的一类多项式函数，在高中，对于此类函数做了详

11、细的研究（研究的方法和过程），应该要求学生首先很好的掌握此类函数。,4. 三角函数 高中阶段，我们通过三角函数帮助我们更好的理解周期函数（它也是“好”的函数，具有任意阶系数）和对称性，对于上述的基本初等函数模型，我们希望给学生脑子里留下三个方面的东西： （1）背景，从函数模型的实际背景的角度把握函数；（源）,（2）图像，从几何直观的角度把握函数； （3）基本变化，从代数的角度把握函数的变化情况。 例如，指数函数变化之所以快 “将和变积” 对数函数变化之所以慢 “将积变和” 总之，要使函数在学生头脑中“扎下根”。,已知角 的顶点与原点重合，始边与 轴的正半轴重合，终边在直线 上，则 A. B.

12、C. D.,解析：由题知 ， ， 选B.,5. 函数与其它内容的联系 函数作为高中数学的一条主线，贯穿于整个高中数学课程中，特别是在方程、不等式、线性规划、算法、随机变量、数列等内容中都突出地体现了函数思想。 （1）函数与方程 用函数的观点看待方程，是高中数学和初中数学最大的差异之一，初中局限于恒等变形。,（进而可以用来对不等式的理解）可以把方程的根看成函数与轴交点的横坐标。从而，方程可以看作函数的局部性质，求方程的根就变成了思考函数图形与轴的交点问题，这是解决方程问题的基本思想。 （此部分内容一般都是融于其它内容进行考查）,（2）函数与数列 数列是一类特殊的函数，也是高中数学唯一的离散型函数

13、，数列在研究连续函数中发挥着重要作用。 在高中阶段，主要讨论一些特殊的数列等差和等比数列的性质，故等差数列、等比数列都是最为基本的二类数列模型。 核心：等差数列是线性函数的离散化。 等比数列是指数函数的离散化。,例如：2009年高考（理科）16题 等差数列 的前 项和为 ，已知 ， ，则,等比数列 的各项均为正数，且 , （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和.,解析：（1）设数列 的公比为 ，由 ，所以 ，由条件可知 ，故 ，由 得 ，所以 ，故数列 的通项式为 .,（2）,故 所以数列 的前 项和为 .,2010年高考（理科）17题 设数列 满足 ， ， （1）求数列

14、的通项公式； （2）令 ，求数列 的前 项和 ； （3）函数与不等式,函数 的图象把坐标系的横坐标轴分成若干部分区域，一部分区域是使函数值等于0，即 ，一部分区域是使函数值大于0，即 ，一部分区域是使函数值小于0， 即 。用函数的观点看，就是确定使 的图象在 上方和下方的 的区域。,例：已知函数 ，则满足不等式 的 的取值范围是_. （2010年高考理科江苏省第11题）,（4）函数与线性规划、函数与算法 线性规划问题是最优化问题的一部分，从函数的观点看，首先要确定目标函数，用目标函数刻画“好、坏、大、小”等。一般而言，目标函数是二元函数，可行 实质上是这个函数的定义域，最优值即为函数的最值。,在算法中，最基本的结构之一是循环结构。循环结构是理解算法的一个难