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1、1,多元函数微分学,Calculus of Functions of Several Variables 条件极值,2,三、有约束极值(条件极值)， Lagrange乘数法,以下称待讨论极值问题的函数为目标函数。,这一章讨论的极值问题有两类：,无约束极值只在目标函数的定义域 范围内讨论极(最)值问题。(例12),有约束极值在附加约束(constraints) 条件下，讨论目标函数的极值问题。,3,求,如 k=1, 求,如 k=2, 求,下的极值。”,1. 条件极值在数学上的提法,4,解决条件极值问题总的思路是，将其转化 为无约束极值, 但是当条件为方程(组)给的 隐函数时，转化有困难，从而产生
2、了下述 方法 Lagrange乘数法。,2. 条件极值的必要条件与 Lagrange乘数法,以下先分析 Lagrange 乘数法的原理，从 而得出条件极值的必要条件, 然后讲乘数 法的具体作法。,5,于是问题转化为求 的无约束极值,若问题在 获得极值,满足(前面定理1给出的) 极值的必要条件 ,则在该点,对,6,特别在条件极值点 处，有,事实上对,两边取全微分(用一阶微分的形式不变性)，得,中的一样, 它具有任意性, 且非零。,7,若记,两式说明,故 在曲,即,面 =0上 点处的切平面上，,8,说明,于是得到,亦即在M0 点：,下的极值的必要条件,由于 在切平面,上的任意性，,说明 也是切平面
3、在,点处的法方向，因此,9,由于此结果又相当于一个四元函数：,取得无约束极值的必要条件,函数，,F 称为Lagrange,称为 乘数，,10,称为Lagrange 乘数法。,用Lagrange乘数法求条件极值的步骤：,分析问题的目标函数 和约束条件 ,作出相应的Lagrange函数:,11,类似地，可以解决两个约束条件的条件,驻点及偏导不存在的点，然后可按 定理2,判定极大、极小值 ( 还可讨论最大,小值 )。,求出它。,其中 是作为一个辅助工具,有时未必需要,极值问题，其Lagrange函数为：,12,例4,在周长为 2p (常数) 的一切三角形中， 等边三角形面积最大。,解 设三角形的三边长为 x, y, z,为简化计算，取目标函数,而约束条件为,则面积为,13,取,得唯一驻点:,14,例5,截旋转抛物面,其截口是一个椭圆,求截口椭圆上的最高 点和最底点。,解,求最高点和最底点的目标函数是,15,但这个极值问题受限于两个约束条件，,是条件极值问题，设其Lagrange函数为,16,所以 因而得到：,17,即得,于是因,而求得最高点为,最底点为,接习题课,作业（5月10日）,P.68-习题5.4 (A)N.10 13； 选: (B) N.1, N.2；,
