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1、第八章 常微分方程,在力学、物理学及工程技术等领域中为了对客观事物运动的规律性进行研究,往往需要寻求变量间的函数关系,但根据问题的性质,常常只能得到待求函数的导数或微分的关系式,这种关系式在数学上称之为微分方程。微分方程又分为常微分方程和偏微分方程,本章讨论的是前者。,主 要 内 容,8.1 常微分方程的基本概念 8.2 一阶微分方程 8.3 可降阶的高阶微分方程 8.4 二阶线性微分方程解的结构 8.5 二阶常系数线性微分方程 8.6 一阶差分方程,一、问题的提出,二、微分方程的基本概念,三、小结,8.1 微分方程的基本概念,一、问题的提出,解,解,代入条件后知,故,开始制动到列车完全停住共
2、需,1.微分方程: 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.,例,实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.,二、微分方程的基本概念,未知函数为一元函数的微分方程,称为常微分方程。,未知函数为多元函数的微分方程,称为偏微分方程。,分类1: 常微分方程, 偏常微分方程.,常微分方程,偏微分方程,微分方程的阶:指微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数或微分的阶数.,一阶微分方程,分类2:一阶微分方程,高阶微分方程,若一个方程对未知函数及其导数的全体而言是一次 的,且不含这些变量的乘积项,则称该方程为线性方程。,否则,称之为非线性方程。,分类3: 线性与非线性微分方程.,n阶线性微分方程的一般形式:,2.微分方程的解: 指代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.,微分方程的解的分类:,(1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且独 立任意常数的个数与微分方程的阶数相同.,(2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解.,初始条件: 用来确定任意常数的条件.,3. 积分曲线(解的几何意义),常微分方程解的几何图形称为它的积分曲线。,通解的图形是一族积分曲线。,特解是这族积分曲线中过某已知点的那条曲线。如,二阶:,过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.,4. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.,解,三、小结,