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1、矩阵的秩 倪卫明第三讲 矩阵的秩 目的: 定义矩阵的秩. 向量之间的关系: 线性相关、线性无关? 矩阵的秩的两种定义的等价性. 矩阵的秩有何性质? 行列式的几何意义? 行列式的定义? 倪卫明第三讲 矩阵的秩 特殊矩阵 对矩阵先从形式上进行分类: (1) 对角阵与准对角阵: d1 0 d2 . 0 dn , a1 0 b1a2 0 bn1dn , a11a12 0 a21a22a23 . a(n1)(n2)a(n1)(n1)a(n1)n 0 an(n1)ann 倪卫明第三讲 矩阵的秩 特殊矩阵 (2) 三角矩阵 a11 a22 . . . 0 ann , a11 0 a22 . . . ann
2、(3) 实(复)对称矩阵与反对称矩阵. 设ARnn,BCnn, AT=A,BH=BT=B,(为复共轭) 则分别称A,B为实对称矩阵和复对称矩阵(Hermite矩阵). 若 AT=A,BH=B 则分别称A,B为实反对称矩阵和复反对称矩阵. 倪卫明第三讲 矩阵的秩 特殊矩阵 (4) 正交矩阵.n阶实方阵A, 若满足: ATA=I 则称A为正交矩阵. (5) Vandermonde(范德蒙)矩阵. 设a1,a2,.,an为n个非零数, 且 各不相同, 将下列矩阵称为Vandermonde矩阵: a0 1 a0 2 a0 n a1a2an a2 1 a2 2 a2 n . . . . . . . .
3、. . . . an1 1 an1 2 an1 n 倪卫明第三讲 矩阵的秩 特殊矩阵 (5) 循环矩阵. 设c1,c2,.,cn为n个数, c1c2cn1cn c2c3cnc1 c3c4c1c2 cnc1cn2cn1 (6) Toplitz矩阵. 对方阵任一平行于主对角元的直线上元素相同, 如: a1a2a3an an+1a1a2an1 . a2n2a2n3a1a2 a2n1a2n2an+1a1 倪卫明第三讲 矩阵的秩 特殊矩阵 (7) Hadamard(哈达玛)矩阵n阶方阵Hn, 其中元素只 取+1或1值, 且它满足:HT nHn=nI, 则称为Hadamard矩阵. 如: H1=1,H2=
4、 11 11 ,H4= 1111 1111 1111 1111 倪卫明第三讲 矩阵的秩 再谈线性方程 线性方程组表示成向量方程的形式: 设矩阵ARmn(mn),bRm, Ax=ba1x1+a2x2+anxn=bm,其中ai= h a1ia2iami iT 求一组数xi将bm表示成ai(i=1,2,.,n) 的线性组合. 例 1:m=2时, 非零向量ai(i=1,2,.,n) 都是平面R2中的向量. (1) 所有向量在一直线, 直线上任意点可 表示为某向量ai的a倍数. 当b不 在直线上, 方程组无解. 否则, 有无穷 多解. (2) 存在不在一直线上的一对向量ai,aj (i6=j), 则R2
5、中的任意一点均可表示 为:aai+ba2. 方程组总有解, 且 当n=m时有唯一解. “ a11a1n a21a2n # 初等行变换 “ a0 11 a0 1n 00 # “ a11a1n a21a2n # 初等行变换 “ a0 11 a0 1n 0a0 2j a0 2n # 倪卫明第三讲 矩阵的秩 再谈线性方程 m=3时, 设n3. (1) 所有向量在一直线上, 直线向任意向量 均可表示为任意某个向量ai的倍数. 当b 向量不在该直线上时, 方程无解; 当b在这 个直线上时, 方程有无穷多解. (2) 所有向量在一个平面上, 该平面上一定 存在两个向量ai,aj(i6=j) 非共线, 而且这
6、 个平面上的任意点均可表示为它们的线性 组合. 当b不在该平面上, 则方程无解; 否 则, 方程有无穷多解. (3) 存在3个向量构成空间的三个向量, 设 ai,aj,ak(i6=j 6=k) 为空间三个向量, 则R3 中任意点(向量)均可表示它们的线性组合. 这时方程组总有解, 且当n=m时, 有唯一 解. (1) 矩阵A只有一个主元列. (2) 矩阵A有两个主元列. (3) 矩阵A有三个主元列. 倪卫明第三讲 矩阵的秩 再谈线性方程 更一般的情况:m3,nm. n个向量构成的矩阵A的主元列数量小于m, 增广矩阵A中若向量b对应的 列不是主元列, 则方程组有解, 且有无穷多解. 否则, 若b
7、是主元列则方程无解. 若矩阵A的主元列数量等于m, 则方程组必有解, 且当m=n时, 有唯一解. 矩阵的重要特性: (1) 主元列的数量. (2) 主元列对应的矩阵中的向量满足什么 关系. 引入向量之间关系的概念: 设a1,a2,.,an为一组m维向量, 若存在一组不全 为零的实数iR(i=1,2,.,n) 使得下列等式成立: a11+a22+ann=0 则称这组向量线性相关. 否则, 若不存在这样一组不全为零的实数使上式成立, 则称这组向量线性无关. 倪卫明第三讲 矩阵的秩 矩阵的秩 关于向量线性相关和线性无关的定义, 等价于齐次线性方程组 h a1a2an ih x1x2xn iT =0
8、解的情况, 若方程组只有零解, 则这些向量线性无关. 若方程组存在非零解, 则 这些向量线性相关. 方程组的求解又可采用对系数矩阵的初等行变换(為什么是系数矩阵, 而不是增 广矩阵?). 若初等变换后系数矩阵中所有列均是主元列, 则方程有唯一的零解, 即这组向 量线性独立. 若系数矩阵中主元列的数量小于minm,n, 则方程组存在非零解, 即这组向量线性相关. 倪卫明第三讲 矩阵的秩 矩阵的秩 用行消元法确定线性独立的列时, 主元列对应的向量线性独立. 线性独立的向 量数量一定, 但这些向量的选择却不唯一. 例如, 某矩阵通过初等行变换后的阶梯形如下: a0 1j1 a0 1j2 a0 1jk
9、 a0 1jr a0 1n a0 2j2 a0 2jk a0 2jr a0 2n a0 3jk a0 3n a0 rjr a0rn 0 其中j1,j2,.,jr对应主元列, 若将这几列向量aj1,aj2,.,ajr构成矩阵A0mr, 线 性方程组A0 jrx=0 只有零解, 因此它们线性独立. 倪卫明第三讲 矩阵的秩 矩阵的秩 若矩阵A在行变换的基础上再考虑实施列变换, 则矩阵最后可化为下列形式: 100 01 . . . . . 0 0 001 0 即 “ Ir0 00 # 称上式为矩阵A的标准形, 而其中单位子阵Ir的阶数定义为矩阵的秩. 倪卫明第三讲 矩阵的秩 行列式 1 行列式的几何意
10、义. 2 行列式与线性方程组解之间的关系. 3 行列式的定义. 4 行列式的性质. 5 行列式的计算. 6 矩阵的行列式用于判别矩阵的可逆性. 倪卫明第三讲 矩阵的秩 行列式 矩阵行列式: a1 a2 xa2 ya1 S(a1,a2)=xa1ya2xa2ya1 xa1xa2 ya1ya2 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 倪卫明第三讲 矩阵的秩 行列式 三维空间R3, a11a12a13 a21a22a23 a31a32a33 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 更一般地, 可推广至n维空间Rn
11、倪卫明第三讲 矩阵的秩 行列式 另一方面, 从线性方程组解的角度考虑, 首先考虑二元一次方程 组的解, a11x1+a12x2=b1 a21x2+a22x2=b2 应用消元法: a11a12b1 a21a22b2 (a21)R1,(a11)R2 a21a11a21a12a21b1 a11a21a11a22a11b2 R2R1 a21a11a21a12a21b1 0a11a22a21a12a11b2a21b1 当a11a22a21a126=0时, x1= a22b1a12b2 a11a22a21a12 ,x2= a11b2a21b1 a11a22a21a12 倪卫明第三讲 矩阵的秩 行列式 引入
12、记号 “|”, |A|= fl fl fl fl a11a12 a21a22 fl fl fl fl =a11a22a21a12 |A1|= fl fl fl fl b1a12 b2a22 fl fl fl fl =a22b1a12b2 |A2|= fl fl fl fl a11b1 a21b2 fl fl fl fl =a11b2a21b1 所以, x1= |A1| |A| ,x2= |A2| |A| 倪卫明第三讲 矩阵的秩 行列式 考虑三元一次方程, a11x1+a12x2+a13x3=b1 a21x1+a22x2+a23x3=b2 a31x1+a32x2+a33x3=b3 应用消元法,
13、同理可得: |A|= fl fl fl fl fl fl a11a12a13 a21a22a23 a31a32a33 fl fl fl fl fl fl ,|A1|= fl fl fl fl fl fl b1a12a13 b2a22a23 b3a32a33 fl fl fl fl fl fl |A2|= fl fl fl fl fl fl a11b1a13 a21b2a23 a31b3a33 fl fl fl fl fl fl ,|A3|= fl fl fl fl fl fl a11a12b1 a21a22b2 a31a32b3 fl fl fl fl fl fl x1=|A1|/|A|,x2
14、=|A2|/|A|,x3=|A3|/|A| 倪卫明第三讲 矩阵的秩 行列式 推广到Rn一般情况,n阶行列式: fl fl fl fl fl fl fl fl fl a11a12a1n a21a22a2n an1an2ann fl fl fl fl fl fl fl fl fl 4 = X j1j2jnP (1)(j1j2jn)a1j1a2j2anjn 其中P = j 1j2jn fl fl 12n的排列 “ 是由n个数1,2,.,n组成的一 个有序数组, 称作n级排列, 且集合P中, 所有排列的数量总计 n!个;j1j2jn为排列j1j2jn的逆序数. 倪卫明第三讲 矩阵的秩 行列式 在一个n级排列中, 对任何两个数i和j, 若ij, 而i在排列中 位于j之前, 则称i,j构成一
