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1、线性代数 第四章 线性空间 张祥朝 复旦大学光科学与工程系 2013-4-11 线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是 一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广 线性空间是为了解决实际问题而引入的它是 一、线性空间的定义一、线性空间的定义 线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是 某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题 看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际 问题 + + + += = = = 定义 设 是一个非空集合， 为实数域如果 对于任意两个元素，总有唯一的一个元 素与之对应，称为与的和，记作 V , V V R 若对于任一数与任一元素，总有唯 一的一个元素与之对应，称为 与
2、 的积， 记作 R V V = = = = RV,;,设 ;)1( + + + += = = =+ + + + 如果上述的两种运算满足以下八条运算规律如果上述的两种运算满足以下八条运算规律如果上述的两种运算满足以下八条运算规律如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那那那那 么么么么 就称为数就称为数就称为数就称为数域域域域上的向量空间上的向量空间上的向量空间上的向量空间（或线性空间或线性空间或线性空间或线性空间）VR 加法交换律加法交换律加法交换律加法交换律 ;0 , 0)3( = = = =+ + + + 都有都有都有都有对任何对任何对任何对任何中存在零元素中存在零元素中存在零元素中存在零
3、元素在在在在VV ;)( ( ( ( () ) ) )( ( ( () ) ) );)2( + + + + + + += = = =+ + + + + + + 加法结合律加法结合律加法结合律加法结合律 ;1)5( = = = = ( ( ( () ) ) )( ( ( () ) ) )6( ; 0 ,)4( = = = =+ + + + 使使使使的负元素的负元素的负元素的负元素都有都有都有都有对任何对任何对任何对任何VV ( ( ( () ) ) )( ( ( () ) ) );)6( = = = = ( ( ( () ) ) ).)8( + + + += = = =+ + + + ( ( (
4、 () ) ) );)7( + + + += = = =+ + + + 2 向量空间中的向量不一定是有序数组 说明 1 凡满足以上八条规律的加法及乘数运算，称为 线性运算 2 向量空间中的向量不一定是有序数组 3 判别线性空间的方法：一个集合，对于定 义的加法和数乘运算不封闭封闭封闭封闭，或者运算不满足八条 性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间 （）一个集合，如果定义的加法和乘数运 算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运 算的封闭性 例实数域上的全体矩阵对矩阵的加法nm 线性空间的判定方法 例实数域上的全体矩阵，对矩阵的加法 和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作 nm nm R ,
5、nmnmnm CBA = = = =+ + + +Q, nmnm DA = = = = .是一个线性空间是一个线性空间是一个线性空间是一个线性空间 nm R . , , , 0101 量空间量空间量空间量空间 向向向向数乘多项式的乘法构成数乘多项式的乘法构成数乘多项式的乘法构成数乘多项式的乘法构成对于通常的多项式加法对于通常的多项式加法对于通常的多项式加法对于通常的多项式加法 即即即即记作记作记作记作的多项式的全体的多项式的全体的多项式的全体的多项式的全体次数不超过次数不超过次数不超过次数不超过 R aaaa x axa pxP xPn n n n n n + + + + + + + + +
6、+= = = = = = =LL 例2例2例2例2 通常的多项式加法通常的多项式加法通常的多项式加法通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运数乘多项式的乘法两种运数乘多项式的乘法两种运数乘多项式的乘法两种运 算满足线性运算规律算满足线性运算规律算满足线性运算规律算满足线性运算规律 )()( 0101b x bxba x axa n n n n + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +LL )()()( 0011ba x baxba n nn + + + + + + + + + + + + + + + + + + += = = =LxP n )( 0
7、1a x axa n n + + + + + + + + + +L )()()( 01a x axa n n + + + + + + + + + += = = =LxP n .对运算封闭对运算封闭对运算封闭对运算封闭xP n . 0, , 0 101 间间间间 空空空空和乘数运算不构成向量和乘数运算不构成向量和乘数运算不构成向量和乘数运算不构成向量对于通常的多项式加法对于通常的多项式加法对于通常的多项式加法对于通常的多项式加法 且且且且 次多项式的全体次多项式的全体次多项式的全体次多项式的全体 + + + + + + + + + += = = = = = = a R a aaa x axa p
8、xQ n n n n n n LL 例3例3例3例3 .间间间间 p0000+ + + + + + + + + += = = =x x n LxQ n .对运算不封闭对运算不封闭对运算不封闭对运算不封闭xQ n 例正弦函数的集合 ( ( ( () ) ) ) .,sinRBABxAsxS + + + += = = = = = = 对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空 间 ( ( ( () ) ) )( ( ( () ) ) ) 221121 sinsinBxABxAss+ + + + + + + + + += = = =+ + + +Q( ( ( () ) ) )( ( ( () )
9、) ) 221121 ( ( ( () ) ) )( ( ( () ) ) )xbxaxbxasincossincos 2211 + + + + + + + + + += = = = ( ( ( () ) ) )( ( ( () ) ) )xbbxaasincos 2121 + + + + + + + + + += = = = ( ( ( () ) ) )BxA+ + + += = = =sin.xS ( ( ( () ) ) )( ( ( () ) ) )( ( ( () ) ) ) 11111 sinsinBxABxAs+ + + += = = =+ + + += = = = xS 是一个
10、线性空间. xS 一般地 例在区间上全体实连续函数，对函数的 加法与数和函数的数量乘法，构成实数域上的线性 空间 ,ba 例正实数的全体，记作，在其中定义加法 及乘数运算为 + + + + R ( ( ( () ) ) )., + + + + = = = = = = = RbaRaaabba o （）一个集合，如果定义的加法和乘数运 算不是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是 否满足八条线性运算规律 ( ( ( () ) ) )., RbaRaaabba o 验证对上述加法与乘数运算构成线性空间 + + + + R 证明;, + + + + + + + = = = = RabbaRba .,
11、+ + + + + + + = = = = RaaRaR o 所以对定义的加法与乘数运算封闭 下面一一验证八条线性运算规律： ;)1(abbaabba = = = = = = = = = = );()()()(2(cbacabcabcba = = = = = = = = = = = 有有有有对任何对任何对任何对任何中存在零元素中存在零元素中存在零元素中存在零元素, 1)3( + + + + + + + RaR ;11aaa= = = = = = = = 使使使使有负元素有负元素有负元素有负元素,)4( 1+ + + + + + + + RaRa ; 1 11 = = = = = = = = aaaa ;1)5( 1 aaa= = = = = = =o ( ( ( () ) ) )( ( ( () ) ) )( ( ( () ) ) );)6(aaaaaoooo = = = = = = = = = = = = = ( ( ( () ) ) ) ; )7( aa aaaaaa oo o = = = = = = = = = = = = = =+ + + + + + + + ; aaoo = = = = ( ( ( () ) ) ) baababba= = = = = = = = = = )()()8(oo 所以对所定义的运算构成线性空间 + + + + R . babaoo
