《平面向量的数量积及平面向量应用举例(5)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《平面向量的数量积及平面向量应用举例(5)(23页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第 3 讲 平面向量的数量积及平面向量应用举例,1理解平面向量数量积的含义及其物理意义 2了解平面向量的数量积与向量投影的关系 3掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算 4能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向 量的垂直关系 5会用向量方法解决某些简单的平面几何问题 6会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题,1两个向量的夹角:已知两个非零向量a和b(如图), 作 b,则AOB叫做向量a与b的夹 角其中两个向量夹角范围是 特别地, 时,a与b同向; 时,a与b反向. 如果a与b的夹角是 ,我们说a与b垂直,记作ab. 2向量数量积的概念 (1)向量的数量积
2、: (2)向量的投影:|b|cosa,b即 叫做b在a的方向上的 (3)数量积的几何意义:两向量的数量积等于其中一个向量的长度与另一个向量在 这个向量方向上的投 影的乘积,0,,0,投影,ab|a|b|cosa,b,3向量数量积的性质:设a、b都是非零向量,e是单位向量,为a 与b(或e)的夹角则 (1)eaae|a|cos . (2)ab . (3)当a与b同向时,ab|a|b|;当a与b反向时,ab|a|b|, 特殊的,aa|a2|或者 (4)cos (0180) (5)|ab|a|b|. (6),ab0,4向量数量积的运算律 (1)abba(交换律) (2)ab(ab)a(b)(结合律)
3、 (3)(ab)cacbc(分配律) 注意:数量积运算不满足(ab)ca(bc),因为左边表示与c共线的向 量,右边表示与a共线的向量,而c与a不一定共线 5设向量a(x1,y1),b(x2,y2),向量a与b的夹角为, 则ab 特别地,a2aaxy. ab , ab ,,x1x2 y1y2,x1x2y1y20.,x1y2x2y10.,6若A(x1,y1),B(x2,y2),a,则 (平面内两 点间的距离公式) 联动思考 想一想:向量的数量积是一个数量,它的符号是怎样确定的? 答案:当a,b为非零向量时,ab的符号由夹角的余弦来确定;当 00;当90180时,ab0;当a与b至少有 一个为零向
4、量或90时,ab0.,联动体验 1已知a(2,3),b(4,7),则a在b上的投影为 ( ) 解析:设a和b的夹角为,|a|cos |a| 答案:C 2(2010新课标全国卷)a,b为平面向量,已知a(4,3),2ab(3,18),则 a,b夹角的余弦值等于 ( ) 解析:设b(x,y),则有2ab(8x,6y)(3,18), 解得b(5,12),故cosa,b 答案:C,3设向量a和b的长度分别为4和3,夹角为60,则|ab|的值为 ( ) 解析:|ab|2a22ab|b|2 a22|a|b|cos 60|b|2 162439 37 |ab| . 答案:C 4向量m(x5,1),n(4,x)
5、,mn,则x等于 ( ) A1 B2 C3 D4 解析:由mn0,得4(x5)x0,x4. 答案:D 5已知向量a和向量b的夹角为30,|a|2,|b| ,则向量a和向量b的数量 积ab_. 答案:3,【例1】 (1)在直角三角形ABC中,C90,AB5,AC4,求 ; (2)若a(3,4),b(2,1),试求(a2b)(2a3b) 解:(1)在ABC中,C90,AB5,AC4,故BC3, 且cos ABC , 的夹角ABC, cos ABC53 9. (2)方法一:a2b(3,4)2(2,1)(1,6), 2a3b2(3,4)3(2,1)(12,5), (a2b)(2a3b)(1)12(6)
6、(5)18. 方法二:(a2b)(2a3b)2a2ab6b2232(4)232 (4)16(2212)18.,考向一 平面向量的数量积的运算,反思感悟:善于总结,养成习惯 平面向量的数量积的运算有两种形式,一是依据长度与夹角,二是利 用坐标来计算,具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择 迁移发散 1已知A(3,0),B(0,3),C(cos ,sin ) 若 1,求sin 2的值 解: (cos 3,sin ), (cos ,sin 3), cos (cos 3)sin (sin 3)13(cos sin )1. sin cos ,两边平方得sin 2 .,考向二 利用平面向量的数量积解决垂直
7、问题,【例2】 已知向量a(1,2),b(2,1),k,t为正实数,向量xa (t21)b, ykab,且xy,求k的最小值 解:a(1,2),b(2,1),ab0, t为正实数,k 2,当且仅当t1时,k2,k的最小值为2.,反思感悟:善于总结,养成习惯 1两个非零向量互相垂直的充要条件是它们的数量积为零因此,可以将证两向量 的垂直问题,转化为证明两个向量的数量积为零 2向量的坐标表示与运算可以大大简化数量积的运算,由于有关长度、角度和垂直 的问题可以利用向量的数量积来解决,因此,我们可以利用向量的坐标研究有关 长度、角度和垂直问题,迁移发散 2在直角ABC中,已知(2,3),(1,k),求
8、k的值,考向三 平面向量的夹角与模的问题,反思感悟:善于总结,养成习惯 1求向量的夹角的两种表示方式 当a,b是非坐标形式时,求a与b的夹角,需求得ab及|a|,|b|或得出它 们的关系 若已知a与b的坐标,则可直接利用公式 来求夹角 2利用数量积求向量的模,可考虑以下方法 a|a|2a2aa; b|ab|2a22abb2; c若a(x,y),则|a|,考向四 平面向量的数量积与三角交汇问题,【例4】 (2010青岛二模)设角A,B,C是ABC的三个内角,已知向量m(sin Asin C,sin Bsin A),n(sin Asin C,sin B),且mn. (1)求角C的大小; (2)若向
9、量s(0,1),t(cos A,2cos2 ),试求|st|的取值范围,反思感悟:善于总结,养成习惯 向量与三角结合是高考考查的重点,常以向量为载体,利用向量的数量积的运 算,向量的垂直等条件来进行三角的考查,复习时应重视,课堂总结 感悟提升 1向量数量积ab与实数a,b乘积ab不同由ab0,并不能得出a0或b 0,因为两非零向量夹角为90时,数量积也为0. 2可以用向量的数量积公式解决有关夹角和垂直问题,但要注意两种公式的灵活运 用 3利用向量垂直的充要条件研究几何中线与线垂直的问题,常建立适当的坐标系, 得到简单的向量坐标表示,减少运算量,实现了平面几何问题转化为向量的运 算 4从高考题来看,小题常考查向量的数量积ab|a|b|cos 的灵活运 用,常 以平面图形为背景同时考查向量的线性运算,或考查与数量积有关的运算解答 题常以坐标形式出现,与其他知识有机结合,考查知识综合运用的能力,单击此处进入 限时规范训练,