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1、线性代数 第四章 线性空间 张祥朝 复旦大学光科学与工程系 2013-4-25 第二节第二节 维数、基、坐标维数、基、坐标第二节第二节 维数、基、坐标维数、基、坐标 一、线性空间的基与维数 已知：在中，线性无关的向量组最多由个向量组成，而 任意个向量都是线性相关的 Rn n 1+n 问题：线性空间的一个重要特征在线性空间V中，最多能有多少 线性无关的向量？ 定义在线性空间V中，如果存在 n个元素 满足： (1)线性无关 (2) V中任意元素总可以由线性表示 那么，称为空间V的一个基(basis),而n 称为空间V的维数(dimension)。 n , 21 L n , 21 L n , 21
2、L n , 21 L 维数为n的线性空间称为n维线性空间，记作Vn. 当一个线性空间V中存在任意多个线性无关的向量时，就称 V 是无限维的 若为Vn的一个基，则Vn可表示为： n , 21 L RxxxxxxV nnnn +=, 212211 LL , 2211nn xxx + + + + + + + + + += = = =L 定义定义定义定义 设是线性空间Vn的一个基，对于任意元素 总有 且仅有一组有序数组，使 有序组称为元素在这个基下的坐 二、元素在给定基下的坐标 n , 21 L n xxx, 21 L n xxx, 21 L n , 21 L 标. n , 21 aaxaxaxa x
3、p 01 2 2 3 3 4 4 += papapapapa p 5 4 4 3 3 2 2 1 1 0 += 例 在线性空间Px4中 ，是它的一个 基。任意不超过4次的多项式 可表示为： x p x p x ppp x 4 5 3 4 2 321 , 1= ) , , , ,( 43210aaaaa T 于是，p在这个基下的坐标为 若取另一个基则 因此p在这个基下的坐标为 ,2,1, 1 4 5 3 4 2 321 x q x q x qqq x=+= q a q a q a q a q aa p 5 4 4 3 3 2 2 1 1 10 2 1 )( + + + + + + + + + +
4、 + + + = = = = 1 T 注意：线性空间V 的任一元素在不同的基下所对的坐标一般不同， 一个元素在一个基下对应的坐标是唯一的 ) , , 2 1 , ,( 4321 10 aaaa aa T = = = = = = = = 0000 , 00 10 , 00 01 1211EE 例所有二阶实矩阵组成的集合V，对于矩阵的加法和数量乘 法，构成实数域 R上的一个线性空间对于V 中的矩阵 = = = = = = = = 10 00 , 01 00 2221EE , 43 21 224213122111 = = = =+ + + + + + + + + + kk kk EkEkEkEk 有
5、有有有 , 00 00 224213122111 =+O EkEkEkEk , 0 3321 = = = = = = = = = = = = = kkkk ., 22211211 线性无关线性无关线性无关线性无关即即即即 EEEE 的一组基的一组基的一组基的一组基为为为为因此因此因此因此V., 22211211 的一组基的一组基的一组基的一组基为为为为因此因此因此因此V EEEE 前面两个例子中， 和 xxx x 432 , 1 = = = = = = = = = = = = = = = = 10 00 , 01 00 , 00 10 , 00 01 2221 1211 EE EE 分别是Px
6、4和V2X2的标准基（standard basis）。 在标准基下，使用自然，坐标易得。 但实际应用中，标准基不一定最适用，比如多项式在任意点a处的 Taylor展开式： 10 公式知则由 Taylor )(,)(),(, 1 , 1 n 2 321 axaxax xR n n = L 取一组基中在线性空间例例例例 )( )( !2 )( )()()( 1 )1( 2 af ax af axafafxf n n + + + + + + + += = = = 问题：1，不同性质的线性空间 2，同一线性空间的不同基下的坐标表示 .) )!1( )( , , ! 2 )( ),( ),( ,)( )
7、1( T 321 n afaf afaf xf n n L L下的坐标是下的坐标是下的坐标是下的坐标是在基在基在基在基因此因此因此因此 )( )!1( )( 1 ax n af n + + + + + + + L n n bbb aaa n n += += L L 21 21 21 21 设 则和 下的坐标分别为在基即向量 , , ),( ),( 21 21 21 bbb aaa n T n T n V L L L 若线性空间V有一个基, 21n L 的坐标分别为与于是k+ )( nnnbababa )()()( 222111 +=+L nna k a k a kk+=L 2211 ),(),
8、(),( 2121 2211bbbaaabababannnn TTT LLL += + ),(),( 2121aaaa k a k a k n k n TT LL = . . ,: 点下面更确切地说明这一的讨论的讨论就归结为因而线性空间 标的运算它们的运算就归结为坐在向量用坐标表示后上式表明 RV n n 定义设 U,V是两个线性空间，如果它们的元素之间有一一对应关系 ， 且这个对应关系保持线性组合的对应，那末就称线性空间U与V 同构(isomorphic). 例如例如例如例如 与与与与n n n n维数组向量空间维数组向量空间维数组向量空间维数组向量空间 R R R Rn n n n同构同构
9、同构同构. . . . 因为因为因为因为 维线性空间维线性空间维线性空间维线性空间n RxxxxxxV nnnn + + + + + + + + + += = = = = = =, 212211 LL ),( 21 )1( n T n nxxx RVL中的元素与中的元素 形成一一对应关系形成一一对应关系形成一一对应关系形成一一对应关系； Vn nn xxx + + + + + + + + + += = = =L 2211 ) , , ,( 21n T xxxxL= = = = R n ),( 21n 设设设设)2( 则有 ),(),( 2121n T n T yyyxxxLL+ + + + +
10、 + + ),( 21n T xxxL ),( 21n T yyyL ),( 21n T xxxL 同维数的线性空间必同构 同构的线性空间之间具有反身性、对称性与传递性 结论 数域上任意两个维线性空间都同构nP 同构的意义 在线性空间的抽象讨论中，无论构成线性空间的元素是什 么，其中的运算是如何定义的，我们所关心的只是这些运算的 代数性质从这个意义上可以说，同构的线性空间是可以不加 区别的，而有限维线性空间唯一本质的特征就是它的维数 所以任意线性空间中元素的线性运算就可以转化为其在以特定 基下的坐标向量的运算. 也就是说，将任意Vn中的线性运算问 题转化为Rn中的运算问题。 二、基变换公式与过
11、渡矩阵 问题：在n维线性空间V中，任意n个线性 无关的向量都可以作为V的一组基对于不同的 基，同一个向量的坐标是不同的 那么，同一个向量在不同的基下的坐标有什那么，同一个向量在不同的基下的坐标有什 么关系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐 标如何改变呢？ 且有且有且有且有两个基两个基两个基两个基 的的的的是线性空间是线性空间是线性空间是线性空间及及及及设设设设 , , 2121nnn V LL , 22221122 12211111 + + + + + + + + + += = = = + + + + + + + + + += = = = nn nn ppp ppp L L 2211 + + + + + + + + + += = = = nnnnnn ppp L LLLLLLLLLLLL 称此公式为基变换公式称此公式为基变换公式称此公式为基变换公式称此公式为基变换公式 + + + + + + + + + += = = = + + + + + + + + + += = = = + + + + + + + + + += = = = nnnnnn nn nn ppp ppp ppp L LLLLLLLLLLLL L L 2211 22221122 12211111 由于由于由于由于
