《复旦大学精品课程《线性代数》课件,线性方程组及矩阵课件复习资料》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复旦大学精品课程《线性代数》课件,线性方程组及矩阵课件复习资料（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、线性方程组与矩阵 倪卫明第一讲 从线性方程组谈起 从线性方程组谈起 从方程组的解谈起, 例 1: 如方程组: x12x2=1 x1+3x2=3 x1 x2 x1+ 3x2= 3 x1 2x2= 1 方程组有唯一解(x1= 3,x2= 2). 倪卫明第一讲 从线性方程组谈起 从线性方程组谈起 例 2: x12x2=1 x1+2x2=3 x1 x2 x1+ 3x2= 3 x1 2x2= 1 方程组无解. 例 3: x12x2=1 x1+2x2=1 x1 x2 方程组有无穷多解. 从例2.1、2.2和2.3的线性方程组解的情况, 会有怎样的结论? 倪卫明第一讲 从线性方程组谈起 从线性方程组谈起 线
2、性方程组的求解. 依据下列基本事实: (1) 等式两端同乘以或除以一个非零数常数后, 还保持相等. (2) 两个等式相加或相减后, 得到的还是等式. (3) 一个等式乘以某个常数后, 与另一个等式相加或相减, 得到 的还是等式. 例 4: x12x2+x3=0,(1) 2x28x3=8,(2) 4x1+5x2+9x3=9,(3) “4方程(1)” 得: 4x1 8x2+ 4x3= 0,(4) “方程(4)+方程(3)” 得: 3x2+ 13x3= 9,(5) “3 2方程(2)+方程(5)”得: x3 = 3,(6). 将得到的x3的解(6), 回代到(2) 得 x2= 16, 在将它们回代到
3、(1), 得x1= 29. 倪卫明第一讲 从线性方程组谈起 从线性方程组谈起 方程组的另一种方式: 例 5: x1 ? 1 1 ? + x2 ? 2 3 ? = ? 1 3 ? 令 a = ? 1 1 ? b = ? 2 3 ? c = ? 1 3 ? x1 x2 a x2a b x1b c 通过向量加法的平行四边形(或三角 形)原则确定变量x1,x2的解. 倪卫明第一讲 从线性方程组谈起 从线性方程组谈起 例 6:x1a + x2b = c (1) a = “ 1 1 # ,b = “ 2 2 # c = “ 1 3 # x1 x2 无解. (2) a = “ 1 1 # ,b = “ 2
4、2 # c = “ 1 1 # x1 x2 a b c 无穷多解 (x1= 2t + 1,x2= t,t R). 由例2.4和2.5方程组解的情况, 又会得出些什么结论? 倪卫明第一讲 从线性方程组谈起 矩阵 引入矩阵概念: 定义 2.1: 数域F中的m n个数, 排成m行n列的矩形数表 a11a12a1n a21a22a2n . . . . . . . . . . am1am2amn 称为数域F上的m行n列的矩阵, 简称m n矩阵, 其中 aij(i = 1,2,.,m; j = 1,2,.,n) 称为矩阵的第i行第j列的元素. 本课程中无特殊说明, F取实数域R. 常用Rmn表示所有 m
5、n 矩阵的集合. 如 A Rmn表示 A是m n实矩阵. 有时, 也用 aijmn表示m n矩阵, 其中 aij表示矩阵中的元素. 倪卫明第一讲 从线性方程组谈起 矩阵 当 m = 1(或 n = 1) 时, 称为行(列)向量. 当 m = n = 1 时矩阵退化为R中的一个数. 当 m = n 时, 称为方阵, 这时称n为矩阵的阶数. 设A = aij为n阶方阵, 则元素aii(i = 1,2,.,n)称为对角 元, 元素ai(i1)(i = 2,3,.,n) 或 ai(i+1) (i = 1,2,.,n 1) 称为次对角元. 若n阶方阵D 除对角元外的所有元素均为零, 则称D为对角 阵,
6、可表示为 D = diag(d1,d2,.,dn). 倪卫明第一讲 从线性方程组谈起 矩阵 简单介绍运算、代数系统、域等概念. 定义 2.2: 设 F 为给定的集合, F 上的二元运算(用符号 表示)定义为: : F F 7 F 其中 F F 为集合 F 的笛卡尔积, 这个定义可以推广到 n元运 算. 若运算的结果还是 F 中的元素, 则称运算是封闭的. 运算性质的定义: 1 可结合: x,y,z F 有 (x y) z = x (y z). 2 可交换: x,y F 有 x y = y x. 倪卫明第一讲 从线性方程组谈起 矩阵 设为集合F上的二元运算, 关于运算定义下列特殊元素: 定义 2
7、.3: 1 若存在元素el F, 使得任意的x F, 有 el x = x, 则 称el为运算的左单位元. 类似地, 若存在元素er F, 使得任 意的x F, 有x er= x, 则称er为运算的右单位元. 2 对元素x F, 若存在yl F 使得 yl x = el, 则称yl为x 关 于运算的左逆元. 类似地, 若存在元素yr使得x yr= er, 则 称yr为x关于运算的右逆元. 性质: (1) 若集合F上的二元运算 既存在左单位元el又存在右单位 元er, 则必有el= er= e, 称e为运算 的单位元(identity). (2) 若对某个元素x F, 它既存在左逆元yl又存在右
8、逆元yr, 则 必有yl= yr= y, 称y为x 关于运算的逆元(inverse). 倪卫明第一讲 从线性方程组谈起 矩阵 定义 2.4: 代数系统是指由集合 F 及其上定义的一些运算构成的系统, 表示为 ?F,运算1,运算2,.,运算k?. 如整数集 Z 上的普通加法、乘法, 构成代数系统 hZ,+i, hZ,i, hZ,+,i. 定义 2.5: 在集合 F 上定义了“ 加法”和“ 乘法”的二元运算(用符号 “+” 和 “” 表示), 这些运算在 F 上封闭, 且它们还满足下述规则: (1) 运算“+” 可结合. (2) 运算“+” 可交换. (3) F 中存在加法单位元 “0”. (4)
9、 x F 存在加法逆元 y F 使得 x + y = 0, 通常将 y 记成 x, 称加法 逆元为负元. 倪卫明第一讲 从线性方程组谈起 矩阵 (5) 运算“” 可结合. (6) 运算“” 可交换. (7) F 中存在乘法单位元 “1”. (8) F 中任意非“0”元素x, 存在乘法逆元, 常记成 x1. (9) 运算 对 + 成立分配律, 即: x,y,z F 有 x (y + z) = x y + x z. 则代数系统hF,+,i称为域. 在不产生混淆的前提下, 为了方便, 两个元素相乘 a b 时, 就直接写成 ab. 可以验证: (1). 实数集R上的普通加法、乘法构成域; (2).
10、有理数集Q上的普通加法、乘法构成域; 因实数集、有理数集中的元素都是数, 所以也称数域. 但,整数 集Z上的普通加法、乘法不构成域; 倪卫明第一讲 从线性方程组谈起 矩阵 矩阵代数运算: (1) Rmn上的加法运算. 对任意的A,B Rmn, 设 A + B = C, 其中C Rmn, cij= aij+ bij,i = 1,2,.,m;j = 1,2,.,n 根据定义, 矩阵加法只能对有相同行数和相同列数的两矩阵 实施. 矩阵加法可结合、可交换. 存在单位元0, 称为零阵. 若两个矩阵的和为零阵, 即若A + B = 0, 则称B为A的负阵, 写成B = A. 由此可间接定义矩阵减法, 即
11、A B = A + (B). 倪卫明第一讲 从线性方程组谈起 矩阵 (2) 矩阵数乘. 它是R Rmn7 Rmn的映射, 其定义如下: 设 R, A Rmn, A = aijmn. 由定义可知数与任意矩阵均可数乘. 数乘满足下列性质: 设,为任意数, A,B Rmn. 对任意矩阵A, 有0A = 0. ( + )A = A + A(分配律) (A + B) = A + B(分配律) (A) = ()A(结合律) 倪卫明第一讲 从线性方程组谈起 矩阵 (3) 矩阵乘法. 它是Rmk Rkn7 Rmn的映射, 定义如下: 设A Rmk,B Rkn,C Rmn, AB = C 用分量定义 如下: c
12、ij= k X n=1 ainbnj,i = 1,2,.,k;j = 1,2,.,n 可证明: 矩阵 Ikk= diag(1,1,.,1) 满足 AI = A 及 IC = C. 矩阵乘法性质: 设 R,A,B Rmk; C,D Rkn, 矩阵乘法一般不可交换. 矩阵乘法可结合. (A + B)C = AC + BC.(右分配律) A(C + D) = AC + AD.(左分配律) (AC) = (A)C = A(C). 倪卫明第一讲 从线性方程组谈起 矩阵 (4) 矩阵转置. 设A Rmn, A = a11a12a1n a21a22a2n . . . . . . . . . . am1am2
13、amn A的转置是将A的行和列依次互换, 即A的第i行, 转置后变 成第i列(i = 1,2,.,m) a11a21am1 a12a22am2 . . . . . . . . . . a1na2namn 将A的转置记为AT. 倪卫明第一讲 从线性方程组谈起 矩阵 转置的性质: 设 R, A,B Rmn, C n k, ?AT?T = A (A + B)T= AT+ BT (A)T= AT (AC)T= CTAT. 倪卫明第一讲 从线性方程组谈起 矩阵 (5) 方阵的幂运算与矩阵多项式. 设A Rmm, 则定义 A0= I = diag(1,1,.,1) An= An1A,n 1 称An为A的n
14、次方幂. 矩阵的方幂具有下列性质: 设k,l为任意自然数(非负整数), AkAl= Ak+l ?Ak?l = Akl 设x为变元, 称f (x) = a0+ a1x + a2x2+ + anxn(ai R, i = 1,2,.,n)为x的多项式. 用方阵A Rmm替代x后, 称 f (A) = a0I + a1A + a2A2+ + anAn 为矩阵多项式. 倪卫明第一讲 从线性方程组谈起 矩阵 (6) 矩阵的逆(可逆矩阵). 在本课程中可逆矩阵特指方阵的逆, 设A Rmm, 若存在矩 阵 B,C Rmm, 使得 BA = Im,AC = Im 分别称B,C为矩阵A的左逆和右逆, 而且必有B
15、= C, 称它 为矩阵A的逆, 记为A1. 并不是所有的方阵都存在逆阵, 如零阵0就没有逆阵. 倪卫明第一讲 从线性方程组谈起 矩阵 可逆矩阵具有下列性质: 设为任意非零实数, A Rmm为任意可逆矩阵, (1) 可逆矩阵A的逆阵唯一. (2) ?A1?1 = A. (3) (A)1= 1 A 1. (4) ?AT?1 = ?A1?T . 倪卫明第一讲 从线性方程组谈起 矩阵 定理 2.6: 乘积矩阵AB可逆, 当且仅当 A,B 分别可逆. 证: 充分性, 设A,B 可逆, 它们的逆阵分别记为A1,B1, 根据矩阵 乘法的可结合性, 有 (AB) ?B1A1? = A ?BB1? A1= AIA1= I 即 B1A1为乘积矩阵AB的逆阵. 必要性, 设 AB可逆, 它的逆阵记为X, 则有 I = (AB)X = A(BX) I = X(AB) = (XA)B 由逆阵定义可知 BX 和XA 分别是矩阵A,B的逆阵, 即A,B可逆. 倪卫明第
