《高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第六节 正弦定理和余弦定理学案 文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第六节 正弦定理和余弦定理学案 文（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、镇成立由镇委书记孙广东任组长，镇委副书记、镇长任副组长，镇直相关部门主要领导为成员的意识形态工作领导小组，统筹协调全镇意识形态工作 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题知识点一 正弦定理和余弦定理 定理正弦定理余弦定理内容_2Ra2_b2_c2_变形形式a_，b_，c_sinA_，sinB_，sinC_(其中R是ABC外接圆半径)abc_asinBbsinA，bsinCcsinB，asinCcsinAcosA_；cosB_；cosC_解决解斜三角形的问题已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角已知三边，求各角；已知两边和它们的夹角
2、，求第三边和其他两个角答案b2c22bccosAa2c22accosBa2b22abcosC2RsinA2RsinB2RsinCsinAsinBsinC1(2016天津卷)在ABC中，若AB，BC3，C120，则AC()A1 B2C3 D4解析：设ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a3，c，C120，由余弦定理得139b23b，解得b1，即AC1.答案：A2(必修P10习题1.1B组第2题改编)在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C，则ABC的形状是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不能确定解析：由正弦定理，得sinA，sinB，sinC，代入得到a2b2c2，
3、由余弦定理得cosC0，所以C为钝角，所以该三角形为钝角三角形答案：C知识点二在ABC中，已知a、b和A时，解的情况 A为锐角A为钝角或直角图形关系式absinAbsinAabab解的个数_答案一解两解一解一解无解3在ABC中，若a18，b24，A45，则此三角形有()A无解 B两解C一解 D解的个数不确定解析：bsinA24sin451218，bsinAab，故此三角形有两解答案：B4在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A，a1，b，则B_.解析：由正弦定理，代入可求得sinB，故B或B.故答案为或.答案：或知识点三三角形常用面积公式 1Saha(ha表示边a上的高)；2S
4、absinC_.答案2.acsinBbcsinA5在ABC中，a3，b2，cosC，则ABC的面积为_解析：cosC，sinC，SABCabsinC324.答案：46(必修P20习题1.2A组第11题改编)在ABC中，A，AB2，且ABC的面积为，则边BC的长为_解析：因为SABACsinA2ACsin，所以AC1.由余弦定理可得BC2AB2AC22ABACcosA，即BC22212221，解得BC.答案：第1课时正弦定理、余弦定理热点一正、余弦定理的简单应用 【例1】(1)(2016新课标全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA，cosC，a1，则b_.(2)ABC的
5、内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a，c2，cosA，则b()A. B.C2 D3【解析】(1)因为cosA，cosC，所以sinA，sinC，从而sinBsin(AC)sinAcosCcosAsinC.由正弦定理，得b.(2)由余弦定理，得4b222bcosA5，整理得3b28b30，解得b3或b(舍去)，故选D.【答案】(1)(2)D【总结反思】(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其
6、解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.(1)在ABC中，a4，b5，c6，则_.(2)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a，sinB，C，则b_.解析：(1)由正弦定理得sinAsinBsinCabc456，又由余弦定理知cosA，所以2cosA21.(2)sinB，B或.当B时，有BC，不符合，BC，bcos，b1.答案：(1)1(2)1热点二 判断三角形的形状 【例2】设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosCccosBasinA，则ABC的形状为()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三
7、角形 D不确定【解析】依据题设条件的特点，由正弦定理：得sinBcosCcosBsinCsin2A，有sin(BC)sin2A，从而sin(BC)sinAsin2A，解得sinA1.A，故选B.【答案】B1若将本例条件改为“2sinAcosBsinC”，试判断ABC的形状解：解法1：由已知得2sinAcosBsinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB，即sin(AB)0，因为AB，所以AB，故ABC为等腰三角形解法2：由正弦定理得2acosBc，再由余弦定理得2aca2b2ab.故ABC为等腰三角形2若将本例条件改为“(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)”，试判断三
8、角形的形状解：(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，b2sin(AB)sin(AB)a2sin(AB)sin(AB)，2sinAcosBb22cosAsinBa2，即a2cosAsinBb2sinAcosB.法1：由正弦定理知a2RsinA，b2RsinB，sin2AcosAsinBsin2BsinAcosB，又sinAsinB0，sinAcosAsinBcosB，sin2Asin2B.在ABC中，02A2，02B2，2A2B或2A2B，AB或AB.ABC为等腰三角形或直角三角形法2：由正弦定理、余弦定理得：a2bb2a，a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，(a2b2)(
9、a2b2c2)0.a2b20或a2b2c20，即ab或a2b2c2.ABC为等腰三角形或直角三角形.【总结反思】(1)判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别(2)判断三角形形状主要有以下两种途径：通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断.(2017成都模拟)在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA(2bc)s
10、inB(2cb)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinBsinC1，试判断ABC的形状解：(1)由已知，根据正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc，由余弦定理得a2b2c22bccosA，故cosA，A.(2)对于已知2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC，结合正弦定理，有2sin2A(2sinBsinC)sinB(2sinCsinB)sinC，即sin2Asin2Bsin2CsinBsinCsin2，又由sinBsinC1，得sin2Bsin2C2sinBsinC1.所以sinBsinC.从而有sinBsinC.因为0B，0C，0BC.所以BC，所以ABC
11、是等腰的钝角三角形热点三 与面积有关的问题 【例3】ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosBbcosA)c.(1)求C；(2)若c，ABC的面积为，求ABC的周长【解】(1)由已知及正弦定理得，2cosC(sinAcosBsinBcosA)sinC，2cosCsin(AB)sinC，故2sinCcosCsinC.可得cosC，所以C.(2)由已知，absinC.又C，所以ab6.由已知及余弦定理得，a2b22abcosC7，故a2b213，从而(ab)225.所以ABC的周长为5.【总结反思】(1)对于面积公式SabsinCacsinBbcsinA，一般是已知哪
12、一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A，b2a2c2.(1)求tanC的值；(2)若ABC的面积为3，求b的值解：(1)由b2a2c2及正弦定理得sin2Bsin2C，所以cos2Bsin2C.又由A，即BC，得cos2Bsin2C2sinCcosC，解得tanC2.(2)由tanC2，C(0，)得sinC，cosC.又因为sinBsin(AC)sin，所以sinB.由正弦定理得cb，又因为A，SABCbcsinA3，所以bc6.故b3.正弦定理和余弦定理是解斜三角形的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系一般地，利用公式a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC(R为ABC外接圆半径)，可将边转化为角的三角函数关系，然后利用三角函数知识进行化简，其中往往用到三角形内角和定理ABC.利用公式cosA，cosB，cosC，可将有关三角形中的角的余弦化为边的关系，然后充分利用代数知识求边第2课时解三角形的应用热点一正、余弦定理的实际应用 【例1】(1)如图，设A、B两点在河的两岸
