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1、 1.1 基本计数原理课堂探究探究一 分类加法计数原理的应用应用分类加法计数原理解题时，要明确以下几点：(1)弄清题目中所谓“完成一件事”是什么事，完成这件事有哪些办法，怎样才算完成这件事；(2)完成这件事的n类方法是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法都可以单独完成这件事，而不需要再用到其他的方法；(3)确立恰当的分类标准，准确地进行分类，要求每一种方法必属于其中的某一类方案，不同类方案的任意两种方法是不同的方法，即分类时必须做到“不重不漏”【典型例题1】 三边长均为整数，且最大边长为11的三角形有多少个？思路分析：由题目可获取以下主要信息：各条边长均为整数；构成三角形的条件；确定分类标准本
2、题可按其中一条边长的取值进行分类解：方法1：用整数x，y表示其中两边的边长，不妨设1xy11.要构成三角形，必须有xy12.当y11时，x1,2,3，11，有11个三角形；当y10时，x2,3，10，有9个三角形；当y6时，x6，只有1个三角形故所求三角形的个数为119753136.方法2：设三角形的三边长为a，b，c，且abc，c11，则ab11.而2bab11，故6b11.按b的可能取值进行分类，如下表所示：b的可能取值a的可能取值三角形的个数66175,6,7384,5,6,7,8593,4,5,6,7,8,97102,3,4,5,6,7,8,9,109111,2,3,4,5,6,7,8
3、,9,10,1111由分类加法计数原理，符合条件的三角形共有135791136(个)探究二 分步乘法计数原理的应用应用分步乘法计数原理解题时，要注意以下三点：(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，单独用题目中所给的某种方法能不能完成这件事，若不能，则必须要经过n个步骤才能完成这件事(2)完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少任何一步，这件事都不可能完成(3)根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这n步逐步地去做，才能完成这件事，各步骤之间既不能重复也不能遗漏【典型例题2】 (1)4张卡片的正、反面分别有0与1,2与3,4与5,6与7，将其中3
4、张卡片排放在一起，可组成_个不同的三位数(2)已知a3,4,6，b1,2,7,8，r8,9，则方程(xa)2(yb)2r2可表示多少个不同的圆？思路分析：(1)按顺序确定各位数上的数字各有几种选择后用分步乘法计数原理求解(2)确定一个圆的方程需要分别确定出圆心的横坐标、纵坐标以及半径，可以用分步乘法计数原理解决(1)解析：分三个步骤：第一步：百位可放817个数；第二步：十位可放6个数；第三步：个位可放4个数根据分步乘法计数原理，可以组成N764168个不同的三位数答案：168(2)解：按a，b，r取值顺序分步考虑：第一步：a从3,4,6中任取一个数，有3种取法；第二步：b从1,2,7,8中任取
5、一个数，有4种取法；第三步：r从8,9中任取一个数，有2种取法由分步乘法计数原理知，表示的不同圆有N34224(个)探究三 两个计数原理的综合应用对于较为复杂的问题，既需要进行“分类”，又需要进行“分步”，那么此时就要注意综合运用两个原理解决问题首先要明确是先“分类”后“分步”，还是先“分步”后“分类”；其次在“分类”和“分步”的过程中，均要确定明确的分类标准和分步程序综合应用两个原理解应用题的方法有以下几种：(1)列举法列举法就是完成一件事，方法不是很多，可以一一列举出来，然后再一种一种地数数，进而确定完成这件事共有多少种方法一些列式困难、数目较少的问题一般用此方法解决；(2)字典排序法字典
6、排序法就是把所有的字母(数字或其他)分为前后，先排前面的字母(数字或其他)，前面的排完后再依次排后面的字母(数字或其他)，所有的都排完后，排序结束；(3)模型法模型法就是根据题意，构建相关图形，再利用图形来构建两个原理的模型，从而解决问题【典型例题3】 用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字的比2 000大的四位偶数？思路分析：先根据条件把“比2 000大的四位偶数”分类，然后分别选取千位、百位、十位上的数字解：完成这件事有三类方法：第一类是用0作个位的比2 000大的4位偶数，它可以分三步去完成：第一步，选取千位上的数字，只有2,3,4,5可以选择，有4种选法；第二步，选取百位上的
7、数字，除0和千位上已选定的数字以外，还有4个数字可供选择，有4种选法；第三步，选取十位上的数字，还有3种选法依据分步乘法计数原理，这类数的个数有44348.第二类是用2作个位的比2 000大的4位偶数，它可以分三步去完成：第一步，选取千位上的数字，除去2,1,0，只有3个数字可以选择，有3种选法；第二步，选取百位上的数字，在去掉已经确定的首尾两数字之后，还有4个数字可供选择，有4种选法；第三步，选取十位上的数字，还有3种选法依据分步乘法计数原理，这类数的个数有34336.第三类是用4作个位的比2 000大的4位偶数，其步骤同第二类对以上三类结论用分类加法计数原理，可得所求无重复数字的比2 00
8、0大的四位偶数有443343343120个【典型例题4】 将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？思路分析：解决此类涂色问题的关键是找不相邻区域，确定标准合理分类解：给区域标记号A，B，C，D，E(如图所示)，则A区域有4种不同的涂色方法，B区域有3种，C区域有2种，D区域有2种但E区域的涂色依赖于B与D涂的颜色，如果B与D颜色相同，则有2种涂色方法；如果不相同，则只有1种，因此应先分类后分步第一类，当B与D同色时，不同的涂色方法有4321248(种)第二类，当B与D不同色时，不同的涂色方法有4321124(种)故共有48
9、2472种不同的涂色方法规律小结 1.组数问题的求解策略：(1)对于组数问题，一般按特殊位置(一般是末位和首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或者特殊元素)优先的方法分步完成如果正面分类较多，可采用间接法从反面求解(2)解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的，要善于挖掘排数时，要注意特殊元素、特殊位置优先的原则2涂色问题的解决思路：(1)位置分析法，按照图形中各区域顺序依次涂色，在涂色时要注意可按不相邻的部分同色与不同色进行分类(2)元素分析法，即从颜色入手进行分类探究四 易错辨析易错点：应用计数原理时错误地分类或分步【典型例题5】 4名同学去争夺3项冠军，不允许并列，共有多
10、少种不同的情况？错解1：第一步，第1位同学去夺这3项冠军，有可能1项都不夺或夺1项、2项、3项，因此有4种不同的情况；第二步，第2位同学去夺这3项冠军也有4种不同的情况；同理第3位、第4位同学也各有4种不同的情况由分步乘法计数原理，共有444444256种不同的情况错解2：第一步，第1位同学去争冠军，有3种不同的情况；第二步，第2位同学去争冠军，也有3种不同的情况；同理第3位、第4位同学也各有3种不同的情况由分步乘法计数原理，共有33333481种不同的情况错因分析：完成夺取冠军这件事，即每项冠军都有人夺取错解1中可能有4位同学都不得冠军以及1项冠军不止1人获得这种情况，与题意不符；错解2中可能有1项冠军不止1人获得这种情况，也不符合题意正解：可分三步完成，第一项冠军被4名同学争夺，一定是其中1名而且只能是其中一名同学获得，共有4种不同的情况；同理其余2项冠军分别被4名同学中的1名获得，各有4种不同的情况由分步乘法计数原理，共有4444364种不同的夺得冠军的情况第 4 页 共 4 页
