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1、第3章 应变状态分析,3-1 应变（strain）的概念 线应变与切应变,一般情况下，受力构件内各个点都受应力作用，各个点处均要发生变形。构件各点或各部分的变形累积成构件整体变形。,若要研究构件内某一点 a 的变形，可围绕该点取一单元体如下图所示。,在应力作用下，单元体棱边的长度可能发生改变。例如，棱边 ae 由 Dx 伸长到 Dx+Du 。,点 a在 x 方向的平均线应变,点 a在 x 方向的线应变（或正应变）,第3章 应变状态分析,3-1 应变（strain）概念 线应变与切应变,点 a 在 x 方向的线应变或称为正应变。它描述了该点处在 x 这个线度方向变形的程度。,同理， 、 分别表示
2、点 a 沿 y 、z 方向的线应变。,单元体除发生棱边长度改变的变形外，还可能发生角度的改变，即发生角变形。例如，下图所示，变形前棱边ae 和 af 两微小线段的夹角为p/2，变形后夹角减少了a+b。,称为点 a 在 平面内的切应变或角应变。,同理，用 分别表示 y -z 平面内和 x -z平面内的切应变。,第3章 应变状态分析,3-1 应变（strain）概念 线应变与切应变,规定以伸长的线应变为正，缩短的为负；使夹角p/2减小时的切应变为正，反之为负 。,综上所述，通常情况下，受力构件内某一点即有线应变 ，又有切应变 等六个应变分量。,线应变和切应变都没有量纲，切应变用弧度表示。今后应变的
3、单位用微应变 m 表示，一个微应变等于10-6。,第3章 应变状态分析,3-2 应变与位移的关系 几何方程,首先分析在一个平面内（例如，在平行 x-y 坐标面内），过点 a 所取的单元体aBCD的变形。,根据变形固体的连续性假设，位移分量u和v都应是x和y的连续函数。与点a相比，点C的y坐标不变，但x坐标有一增量Dx ，所以点C的位移分量应为,同理，点B的位移分量应为,第3章 应变状态分析,3-2 应变与位移的关系 几何方程,其中， 和 是函数u和v因x有一增量Dx而引起的相应增量。在小变形情况下，位移v的增量项 只引起线段 的轻微转动，并不改变其长度。于是，可以认为 的长度就是,第3章 应变
4、状态分析,3-2 应变与位移的关系 几何方程,同理可得到 a 点在 y 方向的线应变,变形后 转过了a 角。由于a 很小，则,小变形情况下， 与1 相比甚小可以忽略，于是,同理,第3章 应变状态分析,3-2 应变与位移的关系 几何方程,按着上述的分析方法，再考虑过点 a 的单元体，分别在与 y-z、x-z 两坐标面平行的面的变形。综合所得结果，即,上述六个方程，称为几何方程,第3章 应变状态分析,3-3 应变协调条件 相容方程,由几何方程知，当位移u、v、w 确定后，经微分运算就能得到六个应变分量: 。,反过来，要从已知的六个应变分量函数得到三个未知的位移分量函数,数学上就是要由六个方程解出三
5、个未知数。这样，六个应变分量之间必须满足一定的关系才行。下面仅就平面应变这一比较简单的情况证明和导出这一关系。,平面问题几何方程为,将 对 y 的二阶导数和 对 x 的二阶导数相加，得,即,相容方程,第3章 应变状态分析,3-3 应变协调条件 相容方程,对于平面问题，三个应变分量 间存在着微分关系，反映了单元体变形应变协调这一事实。这就是应变协调条件，这个方程称为平面问题的相容方程。,相容方程,相容方程的意义也可以从几何角度加以解释。如前所述，我们假想将物体分割成无数单元体，使每个单元体发生变形。如果表示单元体变形的应变分量之间没有一定关系，则在物体变形之后，就不能将这些单元体重新拼合成连续体
6、，相邻单元体之间或产生裂缝、或发生嵌入。为使变形后的小单元体能重新拼合成连续体，则应变应满足协调条件，即变形具有协调性。,第3章 应变状态分析,3-4 平面应变状态分析,若受力物件内某一点 M 只存在三个应变分量，而且都在同一个平面内，则其余的应变分量为零。例如在 x-y 平面内，只有 ，而 。,斜向方向应变,在xoy坐标系内,点M的坐标(x,y)、位移矢 的分量u、v；三个应变分量 均已知,在新坐标系 下 ，点M的坐标为 ；位移矢的分量为,平面应变状态,于是有,第3章 应变状态分析,3-4 平面应变状态分析,复合函数求导的链式法则,第3章 应变状态分析,3-4 平面应变状态分析,仿照上述过程
7、，可以导出,将三角函数略作简化，写成类似二向应力状态斜截面应力公式的形式，得,斜向方向应变,第3章 应变状态分析,3-4 平面应变状态分析,仿照二向应力状态的分析方法，会得出类似的分析结果。例如，在平面应变状态中，通过一点一定存在两个相互垂直的方向，在这两个方向上，线应变为极值而切应变为零。这样的极值线应变称为主应变，这个方向称为主应变方向或应变主轴。,主应变,主应变及主应变方向,主应变方向,第3章 应变状态分析,3-4 平面应变状态分析,最大切应变及其方向,即,最大切应变,最大切应变方向,第3章 应变状态分析,3-4 平面应变状态分析,应变圆,斜向方向应变公式中,消去参数a ，得应变圆方程,第3章 应变状态分析,3-4 平面应变状态分析,应变圆,
