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1、,第三节,一、格林公式,二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件,格林公式及其应用,第十一章,三、二元函数的全微分求积,问题的提出,牛顿-莱布尼茨公式,定积分可通过其原函数在区间端点上的函数 值来表达,D,问题：二重积分,能否表达为某个函数在D的边界 曲线L上的曲线积分？,意义：,设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D , 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域.,复连通区域,单连通区域,D,区域连通性的分类,D,复连通区域,区域 D 分类,单连通区域 ( 无“洞”区域 ),多连通区域 ( 有“洞”、点洞区域 ),单连通区域举例,（1）,（2）,（3）,（3）,（2）,
2、（1）,复连通区域举例,（1）,（2）,当观察者在 L 上行走时，D 内在他近处的部分总在他的左边。,定理1. 设闭区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,则有,( 格林公式 ),函数,在 D 上具有连续一阶偏导数,一、 格林公式,域的内部靠左,域 D 边界L的正向:,外边界的正向是逆时针 内边界的正向是顺时针,其中 L 是 D 的取正向的边界曲线。,1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域,则,证: 将格林公式分为:,即,同理可证,、两式相加得:,D,2) 若D不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割,为有限个上述形式的区域 , 如图,证毕,G,F,(3),由(2)知,格
3、林公式仍成立,说明：,若D为复连通区域：,则曲线L 应包括内外所有边界,并且它们对D均取正向。,格林公式的实质：,主要用途：实现曲线积分与二重积分之间的转换。而经常用来将复杂的曲线积分转化为二重积分。,建立了平面上的曲线积分与二重积分的联系，是牛顿莱布尼茨公式在平面上的推广。,格林公式,若记,则格林公式可表示为,格林公式的应用：,（1）利用曲线积分计算平面区域的面积,（2）利用格林公式求曲线或二重积分,推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D的面积,由格林公式,例如, 椭圆,所围面积,面积公式：若取,同理，若取,则有,若取,则有,例1.,设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明,证: 令,则,利用格
4、林公式 , 得,例2. 计算,其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) ,B(0,1) 为顶点的三角形闭域 .,解:,利用格林公式 , 有,本题我们应用格林公式将二重积分化为曲线积分时,关键是要找到P(x, y)和Q(x, y), 使得,经观察,并且这样的P,Q在D边界上的曲线积分较简单,可以直接利用二重积分的计算方法来计算。,A,B,L不是一条封闭的曲线，,补充有向线段BO,OA,则L+BO+OA为封闭曲线，,所围区域记为D，,解：方法1:用曲线积分法,方法2：用格林公式,例3. 计算, 其中曲线L是半径为r的圆在第一象限,限部分, 方向顺时针.,解：方法2 ：用格林公式,在BO上，,y
5、 = 0 ,在OA上，,x = 0 ,例3. 计算, 其中曲线L是半径为r的圆在第一象限,限部分, 方向顺时针.,例4. 计算,其中L为一无重点且不过原点,的分段光滑正向闭曲线.,解: 记L所围闭区域为D，,由格林公式知,？,即,格林公式的条件：P、Q在D上具有一阶连续偏导数,在D 内作圆周,取顺时,针方向, 对,应用格,记 L 和 l 所围复连通区域为,林公式 , 得,起点，,终点,例4. 计算,其中L为一无重点且不过原点,的分段光滑正向闭曲线.,解: 记L所围闭区域为D，,该方法俗称 “ 挖洞法 。”,思考：为什么要用小圆周,去“挖洞” ？,参考题：计算,其中 L 是以 ( 1 , 0 )
6、 为中心，R 为 半径的圆周 ( R 1 ), 取逆时针方向,例5. 求,其中L是以(a, 0)为中心，a为半径的上半圆周，逆时针方向，m 为常数。,解：,分析 被积函数比较复杂，,无论 L 的方程取什么形式，直接 用曲线积分的方法都比较困难。,故考虑用格林公式,表达式简单,问题：L不是封闭的曲线，不符合格林公式的条件,y,x,0,补充有向线段OA，形成闭曲线，满足条件,y,x,0,解：,在OA上，y=0，dy=0，x从0变到2a,该方法俗称“封口法”,例5. 求,关于格林公式小结,（1）“挖洞法” 和 “封口法” 是格林公式应用中两类常见的典型方法。,（2）当曲线积分中，函数 P 、Q 使得
7、,等于零、常数或比较简单时，要考虑用格林公式。,作业,作,业,P174,习题11-3: 2, 4, 6, 7,二、平面上曲线积分与路径无关的条件,恒成立.,G,A,B,什么叫平面上曲线积分与路径无关？,问题：什么样的曲线积分与路径无关？,定理2. 设D 是单连通域 ,在D 内,具有一阶连续偏导数,(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有,(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分,(3),(4) 在 D 内每一点都有,与路径无关, 只与起止点有关.,函数,则以下四个条件等价:,在 D 内是某一函数,的全微分,即,说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为,证明 (1) (2),设,为D
8、 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲,线,则,(根据条件(1),证明 (2) (3),在D内取定点,因曲线积分,则,同理可证,因此有,和任一点B( x, y ),与路径无关,有函数,证明 (3) (4),设存在函数 u ( x , y ) 使得,则,P, Q 在 D 内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有,证明 (4) (1),设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图) ,利用格林公式 , 得,所围区域为,证毕,注意：在应用该定理时，一定要保证定理的条件：,（1）G是一个单连通区域,（2）P、Q在G内具有一阶连续偏导数,说明:,根据定理2 , 若在某区域内,则,2) 求曲线积分时, 可利用格
9、林公式简化计算,3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:,及动点,或,则原函数为,若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;,取定点,1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;,例6. 证明曲线积分,证明：,显然整个xoy面是一个单连通区域，,又,由定理2，曲线积分,在整个xoy面内与路径无关,在整个xoy面内恒成立。,在整个xoy面内与路径无关。,它们均在整个xoy 面内具有一阶连续偏导数。,例7. 计算曲线积分,在第一象限部分到A(1,1)的路经。,其中L 为从点O(0,0)沿圆周,y,x,0,解：,分析由被积函数知，直接用曲线积分的方法比较困难。,由于,
10、故所求曲线积分在整个xoy面内与路径无关，,因此考虑改变积分路径：OB+BA,所以,在 OB 上，y = 0 ,在 BA 上，x = 1,假设二元函数u = u (x , y)可微，则,反过来，若给定一个表达式,问它是否一定是某个二元函数u (x , y)的全微分式,未必一定是。,问题：在什么条件下，表达式,一定是某个二元函数u (x , y)的全微分式？,如何求出这个二元函数u (x , y)?,三、二元函数的全微分求积,例8. 验证,是某个函数的全微分, 并求,出这个函数.,证: 设,则,由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使,。,。,解：,方法2 设,则有,两边关于x求不定积
11、分,又,而,所以,例8. 验证,是某个函数的全微分, 并求,出这个函数.,例9. 验证,在右半平面 ( x 0 ) 内存在原函,数 , 并求出它.,证: 令,则,由定理 2 可知存在原函数,或,解:,再由,得C =0,积分与路径无关知：,例10. 设曲线积分,与路径无关,其中,具有连续的导数,且,计算,内容小结,1. 格林公式,2. 等价条件,在 D 内与路径无关.,在 D 内有,对 D 内任意闭曲线 L 有,在 D 内有,设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有,思考与练习,1. 设,且都取正向, 问下列计算是否正确 ?,提示:,2. 设,提示:,备用题 1. 设 C 为沿,从点,依逆时针,的半圆, 计算,解: 添加辅助线如图 ,利用格林公式 .,原式 =,到点,2. 质点M 沿着以AB为直径的半圆, 从 A(1,2) 运动到,点B(3, 4),到原点的距离,解: 由图知,故所求功为,锐角,其方向垂直于OM, 且与y 轴正向夹角为,作业,作,业,P175,习题11-3: 9, 11, 14, 15(1),
