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1、1 2018 年全国硕士研究生入学统一考试 数学一试卷 一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选 项符合题目要求的。 1、下列函数中，在0x 处不可导的是（） （A）( ) |sin |f xxx（B）( ) |sin |f xxx （C）( )cos|f xx（D）( )cos |f xx 【答案】 ： （D） 【分析】因为 对选项（A） ， 22 00000 ( )(0)|sin | limlimlimlimlim0(0) xxxxx f xfxxxx xf xxxx 对选项 （B） ， 0000 |sin |( )(0)| limliml
2、imlim|0(0) xxxx xxxxf xfx xf xxxx （无穷小乘以有界量） 对选项（C） ， 2 0000 1 | ( )(0)cos| 11 2 limlimlimlim0(0) 2 xxxx x f xfx xf xxx 对选项（D） ， 2 0000 1 | cos |1( )(0)1| 2 limlimlimlim 2 xxxx x xf xfx xxxx 不存在 因此选择（D） 2、过点(1,0,0)与(0,1,0)，且与 22 zxy相切的平面方程为（） （A）0z 与1xyz（B）0z 与222xyz （C）yx与1xyz（D）yx与222xyz 【答案】 ： （B
3、） 【 分 析 】 设 切 点 坐 标 为( , , )x y z， 则 法 向 量 为2 ,2 , 1xy ， 故 切 平 面 的 方 程 为 2 ()2 ()()0x Xxy YyZz，因为平面过点(1,0,0)与(0,1,0)，故法向量与向量 1, 1,0垂直，因此有220xy，即yx 将yx带入 22 zxy中，有 2 2zx 将点(1,0,0)带入平面方程有 22 2220xxyz 2 由可得0,0,0xyz或者1,1,2xyz 带回2 ()2 ()()0x Xxy YyZz中，可确定平面方程为 0Z 或者222XYZ。 因此选择（B） 3、 0 23 ( 1) (21)! n n
4、n n （） （A）sin1 cos1（B）2sin1cos1 （C）3sin1cos1（D）3sin12cos1 【答案】 ： （B） 【分析】 00 23212 ( 1)( 1) (21)!(21)! nn nn nn nn 00 211 ( 1)2( 1) (21)!(21)! nn nn n nn 00 11 ( 1)2( 1) (2 )!(21)! nn nn nn cos12sin1 因此选择（B） 4、设 2 2 2 2 (1) 1 x Mdx x ， 2 2 1 x x Ndx e ， 2 2 (1cos )Kx dx ，则（） （A）MNK（B）MKN （C）KMN（D）KN
5、M 【答案】 ： （C） 【分析】 222 2222 222 2222 (1)121 1 111 xxxx Mdxdxdxdx xxx 对于 2 2 1 x x Ndx e ，因为1 x ex ，所以11 x x e ，故NM 对于 2 2 (1cos )Kx dx ，因为1cos1x，故KM 因此KMN 因此选择（C） 5、下列矩阵中，与矩阵 110 011 001 相似的为（） 3 （A） 111 011 001 （B） 101 011 001 （C） 111 010 001 （D） 101 010 001 【答案】 ： （A） 【分析】对于 110 011 001 ， 3 ()0EA 对
6、于（A） ： 3 ()0EA；对于（B） ： 2 ()0EA 对于（C） ： 2 ()0EA；对于（D） ： 2 ()0EA （若两矩阵相似，要求它们的最小多项式相同） 因此选择（A） 6、设,A B为n阶矩阵，记()r X为矩阵X的秩，()X Y表示分块矩阵，则（） （A）()( )r A ABr A（B）()( )r A BAr A （C）()max ( ), ( )r A Br A r B（D）()() TT r A Br AB 【答案】 ： （A） 【分析】因为AB的每一列可以由A的列向量组线性表出，因此()( )r A ABr A 因此选择（A） 7、设( )f x为某分布的概率密度
7、函数，(1)(1)fxfx， 2 0 ( )0.6f x dx ，则 0P X （） （A）0.2（B）0.3（C）0.4（D）0.6 【答案】 ： （A） 【分析】因为(1)(1)fxfx，所以说明( )f x以1x 为对称轴，因此 1 1 2 P X ， 又因为 2 0 ( )0.6f x dx ，故由对称性可知010.3PX， 故01010.50.30.2P XP XPX 因此选择（A） 8、给定总体 2 ( ,)XN ， 2 已知，给定样本 12 , n XXX，对总体均值进行检验， 4 令 0010 :,:HH，则（） （A）若显著性水平0.05时拒绝 0 H，则0.01时也拒绝 0
8、 H （B）若显著性水平0.05时接受 0 H，则0.01时拒绝 0 H （C）若显著性水平0.05时拒绝 0 H，则0.01时接受 0 H （D）若显著性水平0.05时接受 0 H，则0.01时也接受 0 H 【答案】 ： （D） 【分析】因为显著性水平0.05的拒绝域为 0 0.025 X u n ，而显著性水平0.01的 拒绝域为 0 0.005 X u n ，而 0 0.005 X u n 是 0 0.025 X u n 的子区间，因此要是落在 拒绝域 0 0.005 X u n 中，就一定会落在拒绝域 0 0.025 X u n 中，也就是说在显著性水 平0.01时拒绝 0 H，则在
9、0.05时也拒绝 0 H，反之，在显著性水平0.05时接受 0 H，则在0.01时也接受 0 H 因此选择（D） 二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分。 9、已知 1 sin 0 1tan lim 1tan kx x x e x ，则k 。 【答案】 ：2 【分析】 0 1 11 tan lim1 sin sin1 tan 0 1tan lim 1tan x x kx kxx x x e x 0 1 1 tan1 tan lim 1 tanx xx kxx e 0 12tan2 lim 1 tanx x kxxk eee 所以2k 因此填写2 10、设 曲 线( )yf x的
10、 图 像 过 点(0,0)， 且 与 曲 线2xy 相 切 于(1,2)， 则 1 0 ( )xfx dx 。 【答案】 ：2ln22 5 【分析】由已知可得(0)0f，(1)2f，(1)2ln2 f 11 1 0 00 ( )( )( )xfx dxxfxfx dx (1)( (1)(0)2ln22fff 因此填写2ln22 11、设向量场( , , )F x y zxyiyzjxzk，则 (1,1,0) |rotF。 【答案】 ：ik或者1,0, 1 【分析】 (1,1,0) (1,1,0) (1,1,0) |() ijk rotFyizjxkik xyz xyyzxz 因此填写ik或者1
11、,0, 1 12、曲线S是曲面 222 1xyz与平面0xyz的交线，则 S xyds 。 【答案】 ： 1 3 【分析】由于积分曲线对, ,x y z具有轮换性， 因此 SSS xydsyzdszxds 又因为 2222 1 ()() 2 SS xyyzzx dsxyzxyz ds 111 11 222 SS dsds 乘以曲线的长度 因为两者交线为球的大圆，因此 1 ()2 2 S xyyzzx ds 因此所求 1 3 S xyds 因此填写 1 3 13、设二阶方阵A有两个不同特征值， 二维列向量 1 和 2 是A的线性无关的特征向量， 且 2 1212 ()()A，则|A 。 【答案】
12、 ：1 【分析】 由于 2 1212 ()()A， 因此说明1为 2 A的特征值， 因此若A的特征值为， 则有 2 1，因此A的特征值为 1 和1，故|1A 6 因此填写1 14、设随机事件,A B相互独立，,A C相互独立，且BC，已知 1 ( )( ) 2 P AP B， 1 (|) 4 P AC ABC ，则( )P C 。 【答案】 ： 1 4 【分析】 () (|) () P ACABC P AC ABC P ABC ()() () P ACABACC P ABC () () P ABCAC P ABC () ()( )() P AC P ABP CP ABC 1 ( ) 1 2 1
13、 4 ( ) 4 P C P C 解之可得 1 ( ) 4 P C 因此填写 1 4 三、解答题：1523 小题，共 94 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15、（本题满分 10 分） 求不定积分 2 arctan1 xx eedx 。 【分析与解答】本题是不定积分的计算题，用换元法和分部积分法来求解 令1 x et ，则 2 1 x et ，2 x e dxtdt 则原不定积分 2 arctan1 xx eedx 2 2222 2 222 223 3 2 2 2 (1)arctan 111 (1) arctan(1) 221 11 (1) arctan1 22 111 (1) arctan 223 111 arctan11(1) 223 xxxx tttdt tttdt t ttt dt ttttC eeeeC 16、（本题满分 10 分） 将长为 2 米的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形，三个图形的面积之和是否存 在最小值？若存在，求出最小值。 【分析与解答】本题是条件下球最值的
