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1、矩阵论试题矩阵论试题(20(201111 级硕士试题级硕士试题) ) 一、(10 分)设函数矩阵 tt tt tA sincos cossin 求： t dttA 0 和( 2 0 t dttA)。 解： t dttA 0 = tt tt tdttdt dttdtt 00 00 sincos cossin = tt tt cos1sin sincos1 ( 2 0 t dttA)= 22 22 2 sincos cossin 22 tt tt tttA 二、(15 分)在 3 R中线性变换将基 1 1 1 1 ， 1 2 0 2 ， 1 0 1 3 变为基 0 1 1 1 ， 1 1 0 2
2、， 2 3 0 3 (1)求在基 321 ,下的矩阵表示 A； (2)求向量T3 , 2 , 1及 在基 321 ,下的坐标； (3)求向量 及 T 3 , 2 , 1在基 321 ,下的坐标。 解：(1)不难求得： 2111 32122 32133 2 因此在 321 ,下矩阵表示为 110 211 111 A (2)设 3 2 1 321 , k k k ，即 3 2 1 111 021 101 3 2 1 k k k 解之得：9, 4,10 321 kkk 所以在 321 ,下坐标为T9, 4,10。 在 321 ,下坐标可得 13 32 23 9 4 10 110 211 111 3
3、2 1 y y y (3)在基 321 ,下坐标为 6 15 1 9 4 10 011 111 101 9 4 10 1 A 在基 321 ,下坐标为 9 4 10 13 32 23 011 111 101 13 32 23 1 A 三、(20 分)设 301 010 200 A，求 At e。 解：容易算得 21 2 AI 21m 由于 m是 2 次多项式，且2, 1 21 ，故 g是 1 次多项式，设 10 aag 由于 t ef ，且 11 gf， 22 gf，故 10 2 10 2aae aae t t 于是解得： tt tt eea eea 2 1 2 0 2 从而： tttt t
4、tttt tttt At eeee e eeee AeeEee AaEaAgeAf 22 22 22 10 20 00 2202 2 四、(15 分)求矩阵 000 110 101 A的奇异值分解。 解： 211 110 101 AAB T 的特征值是0, 1, 3 321 对应的特征向量依次为 2 1 1 1 ， 0 1 1 2 ， 1 1 1 3 于是可得 2rankA， 10 03 3 1 0 6 2 3 1 2 1 6 1 3 1 2 1 6 1 V 计算： 00 2 1 2 1 2 1 2 1 1 11 AVU 构造 1 0 0 2 U，则 100 0 2 1 2 1 0 2 1 2
5、 1 21 UUV 则 A 的奇异值分解为： T VUA 000 010 003 五、(15 分)求矩阵 1222 1121 2101 A 的满秩分解： 解： 1110000 0113020 0012101 1001222 0101121 0012101 行 EA 111 011 001 P 可求得： 112 011 001 1 P 12 11 01 B， 3020 2101 C 于是有 BCA 3020 2101 12 11 01 HHHH BBBCCCA 11 或 HHHH BACBCA 1 六、(10 分)求矩阵 201 034 011 A的 Jordan 标准形。 解：求AE 的初等因
6、子组，由于 210 04313 001 201 034 011 AE 010 1220 001 210 010 001 222 2 1200 010 001 因此，所求的初等因子组为21, 2，于是有 AJ= 100 110 002 七、(10 分)设 V 是数域 F 上的线性空间， 21,V V是 V 的子空间，则 21 VV 也是 V 的 子空间。 证明：由 21 0 ,0VV，知 21 0VV ，即说 21 VV 非空，对于任意 21 ,VV ，则 21 ,VV且。因为 21,V V是子空间，所以 21, VV，故 21 VV 。 对任意Fk ，有 1 Vk，且 2 Vk，因此知 21
7、VVk，故知 21,V V为 V 的子空 间。 八、(5 分)设 010 101 001 A， 求证3 22 nEAAA nn 。 证明：矩阵 A 的特征多项式为 11 2 f 令 111 22222 nnn g 11111 43222 nnn 3 由 Hamilton-Cayley 定理知 0Ag 因此EAAA nn 22 中国石油大学研究生考卷（中国石油大学研究生考卷（B 卷）卷） 学号 姓名 考试方式 闭卷 班级 考试课程名称 高等代数与矩阵分析 考试时间： 2010 年 1 月 8 日 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 得分 一、一、设设 4 R x是所有次数小于是所
8、有次数小于 4 4 的实系数多项式组成的线性空间，求多项式的实系数多项式组成的线性空间，求多项式 3 ( )1 2p xx 在基在基 23 1,1,(1) ,(1)xxx下的坐标。下的坐标。 （12 分）分） 二、二、 求矩阵求矩阵 的的Jordan标准形。标准形。 （12 分）分） 三、三、 已知已知 02 23 A，验证，验证A是正规矩阵，且求酉矩阵是正规矩阵，且求酉矩阵U ，使，使 H U AU为对角矩为对角矩 阵。 （阵。 （15 分）分） 411 301 621 A 四、已知四、已知 21231 25141 13121 A ， 求求A的满秩分解。的满秩分解。 （15 分）分） 五、设
9、五、设 2 . 04 . 02 . 0 3 . 05 . 01 . 0 1 . 05 . 02 . 0 A，证明矩阵幂级数，证明矩阵幂级数 0 k k A 绝对收敛绝对收敛, 并求其和并求其和? (10 分分) 六、六、 （14 分）分） 七、证明七、证明:若线性空间若线性空间V中向量组中向量组 12 , m 线性无关线性无关, 且向量组且向量组 12 , m 线性线性 相关，则相关，则可由可由 12 , m 线性表出，且表出是唯一的。线性表出，且表出是唯一的。(10 分分) 八、设八、设 S 和和 T 都是半正定实对称方阵，证明：都是半正定实对称方阵，证明：det（ST）det S 。 （。 （12 分）分） 矩阵理论考试卷矩阵理论考试卷- -20042004 一、已知 3 R的线性变换T在基) 1, 1, 1( 1 ，) 1, 0, 1 ( 2 ，) 1, 1, 0( 3 下的矩阵为
