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1、第 4 讲 不等式的综合应用一、填空题1现要挖一个面积为 432 m2的矩形鱼池，周围两侧分别留出宽分别为 3 m,4 m的堤堰，要想使占地总面积最小，此时鱼池的长为_，宽为_解析 设鱼池的长、宽分别为 x，所以 S(x6)43248432x(432x8)8x480288768，仅当 8x，即 x18，24 时等号成2 592x2 592x432x立答案 24 m 18 m2若 x，y 是正数，则22的最小值是_(x12y)(y12x)解析 由22x2y222 2 (x12y)(y12x)14x214y2x214x224.当且仅当 xy时取等号y214y222答案 43已知 f(x)32x(k
2、1)3x2，当 xR 时，若 f(x)恒为正值，则 k 的取值范围是_解析 f(x)0，即 32x(k1)3x20，k13x.xR，3x0，3x2，当且32x23x23x32x23x23x2仅当 3x时取等号从而 k12.23x2答案 (，12)24已知正项等比数列an满足：a7a62a5，若存在两项 am，an使得4a1，则 的最小值为_aman1m4n解析 由 a7a62a5，得 a5q2a5q2a5，又 a50，q0，所以q2q2，解为 q2.于是由4a1，得 mn6，所以 (mn)aman1m4n16 (54) ，当且仅当 n2m，即 m2，n4 时等(1m4n)16(5nm4mn)1
3、632号成立，故min .(1m4n)32答案 325若 a，b 是正常数，ab，x，y(0，)，则，当且仅当a2xb2yab2xy 时上式取等号利用以上结论，可以得到函数 f(x) axby2x912x的最小值为_，取最小值时 x 的值为_(x (0，12)解析 由题意得 f(x)25，当且仅当，得42x912x2322x12x22x312xx ，故 f(x)的最小值为 25，此时 x .15(0，12)15答案 25 156已知函数 f(x)(aR)，若对于任意的 xN*，f(x)3 恒成立，x2ax11x1则 a 的取值范围是_解析 令 f(x)3(xN*)，则(3a)xx28，即x2a
4、x11x13ax .x 24，当且仅当 x2时取等号，但由于8x8x822xN*，当 x3 时，x 取最小值 3 ，于是 3a3 ，即 a .8x838383答案 83，)7设 x，yR，a1，b1，若 axby3，ab2，则 的最大值为31x1y_解析 由 axby3 得：xloga3，ylogb3，由 a1，b1 知x0，y0， log3alog3blog3ablog321，当且仅当 ab1x1y(ab2)时“”号成立，则 的最大值为 1.31x1y答案 18已知二次函数 f(x)ax22xc(xR)的值域为0，)，则的a1cc1a最小值为_解析 由题可得 a0，c0，且 224ac0 即
5、 ac1.所以ac22，当且仅当 ac1 时取等号ac所以aca2c2ac(ac)2(ac)2，当a1cc1a(a1cc1a)且仅当 ac1 时，min22224.(a1cc1a)答案 49 “a ”是“对任意的正数 x,2x 1”的_条件(填“充分不必要”18ax“必要不充分” “充要” “既不充分也不必要”之一)解析 当 a 时，2x 2x1，当且仅当 x 时取“” ，故充分性18ax18x14成立，当 2x 1 对 xR恒成立时，a(x2x2)max得 a ，故必要性不ax18成立答案 充分不必要10某公司租地建仓库，每月土地占用费 y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费 y
6、2与到车站的距离成正比，如果在距离车站 10 km 处建仓库，这两项费用 y1和 y2分别为 2 万元和 8 万元，要使这两项费用之和最小，仓库应建立在距离车站_km 处解析 依题意，设 y1，y2k2d，则有 2，8k210，即有k1dk110k120，k2 ，从而这两项费用之和为 yy1y2 d2 4520d458 万元，当且仅当20d45dError!即 d5 km 时，有这两项费用之和最小答案 5二、解答题11已知 f(x)是定义在(，4上的减函数，是否存在实数 m，使得 f(msin x)f对定义域内的一切实数 x 均成立？若存在，求出实(12m74cos2x)数 m 的取值范围；若
7、不存在，请说明理由思维启迪 不等式和函数的结合，往往要利用函数的单调性和函数的值域解 假设实数 m 存在，依题意，可得Error!即Error!因为 sin x 的最小值为1，且(sin x )2的最大值为 0，要满足题意，必须12有Error!解得 m 或 m3.1232所以实数 m 的取值范围是.32，3 12探究提高 不等式恒成立问题一般要利用函数的值域，mf(x)恒成立，只需mf(x)min. 12某地区共有 100 户农民从事蔬菜种植，据调查，每户年均收入为 3 万元为了调整产业结构，当地政府决定动员部分种植户从事蔬菜加工据估计，如果能动员 x(x0)户农民从事蔬菜加工，那么剩下从事
8、蔬菜种植的农民每户年均收入有望提高 2x%，从事蔬菜加工的农民每户年均收入为3(a0)万元(a3x50)(1)在动员 x 户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的年总收入不低于动员前从事蔬菜种植的年总收入，试求 x 的取值范围；(2)在(1)的条件下，要使 100 户农民中从事蔬菜加工农民的年总收入始终不高于从事蔬菜种植农民的年总收入，试求实数 a 的最大值解 (1)由题意得 3(100x)(12x%)3100，即 x250x0，解得 0x50，又因为 x0，所以 00，所以 a1 恒成立，而15(当且仅当 x50 时100xx25100xx25取得等号)所以 a 的最大值为 5.13.
9、 扬州某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为 60(如图)，考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为 9平方米，且高不低于米记防洪堤横断面的腰33长为 x(米)，外周长(梯形的上底线段 BC 与两腰长的和)为 y(米)(1)求 y 关于 x 的函数关系式，并指出其定义域；(2)要使防洪堤横断面的外周长不超过 10.5 米，则其腰长 x 应在什么范围内？(3)当防洪堤的腰长 x 为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即断面的外周长最小)？求此时外周长的值解 (1)9 (ADBC)h，312其中 ADBC2 BCx，hx，x232所以 9 (2BCx)x
10、，得 BC .3123218xx2由Error!得 2x6.所以 yBC2x(2x6)18x3x2(2)由 y10.5，得 3x4.18x3x2因为3,42,6)所以腰长 x 的范围是3,4(3)y26，18x3x218x3x23当且仅当，即 x22,6)时等号成立18x3x23故外周长的最小值为 6米，此时腰长为 2米3314某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关若建造宿舍的所有费用 p(万元)和宿舍与工厂的距离 x(km)的关系为：p(0x8)，若距离为 1 km 时，测算宿舍建造费用为 100 万元为k3x5了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需 5 万元，铺设路面每公里成本为 6 万元，设 f(x)为建造宿舍与修路费用之和(1)求 f(x)的表达式；(2)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用 f(x)最小，并求最小值解 (1)根据题意，得 100，k800，k3 15f(x)56x,0x8.8003x5(2)f(x)2(3x5)5805，8003x5当且仅当2(3x5)，即 x5 时 f(x)min75.8003x5故宿舍应建在离工厂 5 km 处可使总费用 f(x)最小，且最小值为 75 万元.
