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1、基础巩固题组(建议用时：45 分钟)一、选择题1.给出下列四个命题：垂直于同一平面的两条直线相互平行；垂直于同一平面的两个平面相互平行；若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； 若一条直线垂直于一个平面内的任一直线，那么这条直线垂直于这个平面.其中真命题的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4解析 由直线与平面垂直的性质，可知正确；正方体的相邻的两个侧面都垂直于底面，而不平行，故错；由直线与平面垂直的定义知正确，而错.答案 B2.下列命题中错误的是( )A.如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面 B.如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在
2、直线垂直于平面C.如果平面 平面 ，平面 平面 ，l，那么 l平面 D.如果平面 平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 解析 对于 D，若平面 平面 ，则平面 内的直线可能不垂直于平面 ，即与平面 的关系还可以是斜交、平行或在平面 内，其他选项易知均是正确的.答案 D3.如图，已知ABC 为直角三角形，其中ACB90，M 为 AB的中点，PM 垂直于ABC 所在平面，那么( )A.PAPBPCB.PAPBPCC.PAPBPCD.PAPBPC解析 M 为 AB 的中点，ACB 为直角三角形，BMAMCM，又 PM平面 ABC，RtPMBRtPMARtPMC，故 PAPBPC.答案 C4.(2
3、016银川一模)设 m，n 为空间两条不同的直线，为空间两个不同的平面，给出下列命题：若 m，m，则 ；若 m，m，则 ；若 m，mn，则 n；若 m，则 m.其中的正确命题序号是( )A. B. C. D.解析 若 m，m，则 与 相交或平行，故错误；若m，m，则由平面与平面垂直的判定定理得 ，故正确；若m，mn，则 n 或 n，故错误；若 m，则由直线与平面垂直的判定定理得 m，故正确.故选 C.答案 C5.(2016九江模拟)如图，在四面体 DABC 中，若ABCB，ADCD，E 是 AC 的中点，则下列正确的是( )A.平面 ABC平面 ABDB.平面 ABD平面 BDCC.平面 AB
4、C平面 BDE，且平面 ADC平面 BDED.平面 ABC平面 ADC，且平面 ADC平面 BDE解析 因为 ABCB，且 E 是 AC 的中点，所以 BEAC，同理有 DEAC，又 BEDEE，于是 AC平面 BDE.因为 AC平面 ABC，所以平面 ABC平面 BDE.又由于 AC平面 ACD，所以平面 ACD平面 BDE，所以选 C.答案 C二、填空题6.如图，BAC90，PC平面 ABC，则在ABC 和PAC 的边所在的直线中，与 PC 垂直的直线有_；与AP 垂直的直线有_.解析 PC平面 ABC，PC 垂直于直线AB，BC，AC；ABAC，ABPC，ACPCC，AB平面 PAC，与
5、AP 垂直的直线是 AB.答案 AB，BC，AC AB7.在正三棱锥(底面为正三角形且侧棱相等)PABC 中，D，E 分别是 AB，BC的中点，有下列三个论断：ACPB；AC平面 PDE；AB平面 PDE.其中正确论断的序号为_.解析 如图，PABC 为正三棱锥，PBAC；又DEAC，DE平面 PDE，AC平面 PDE，AC平面 PDE.故正确.答案 8.如图，PA圆 O 所在的平面，AB是圆 O 的直径，C 是圆 O 上的一点，E，F 分别是点 A 在 PB，PC 上的正投影，给出下列结论：AFPB；EFPB；AFBC；AE平面 PBC.其中正确结论的序号是_.解析 由题意知 PA平面 AB
6、C，PABC.又 ACBC，且 PAACA，BC平面 PAC，BCAF.AFPC，且 BCPCC，AF平面 PBC，AFPB，AFBC.又AEPB，AEAFA，PB平面 AEF，PBEF.故正确.答案 三、解答题9.(2016郑州模拟)如图，在三棱锥 PABC 中，D，E，F 分别为棱 PC，AC，AB 的中点.已知PAAC，PA6，BC8，DF5.求证：(1)直线 PA平面 DEF；(2)平面 BDE平面 ABC.证明 (1)因为 D，E 分别为棱 PC，AC 的中点，所以 DEPA.又因为 PA平面 DEF，DE平面 DEF，所以直线 PA平面 DEF.(2)因为 D，E，F 分别为棱 P
7、C，AC，AB 的中点，PA6，BC8，所以DEPA，EFBC，且 DE PA3，EF BC4.又因为 DF5，故1 212DF2DE2EF2，所以DEF90，即 DEEF.又 PAAC，DEPA，所以 DEAC.因为 ACEFE，AC平面 ABC，EF平面 ABC，所以 DE平面 ABC.又 DE平面 BDE，所以平面 BDE平面 ABC.10.如图，在四棱锥 PABCD 中，ABAC，ABPA，ABCD，AB2CD，E，F，G，M，N 分别为 PB，AB，BC，PD，PC 的中点.求证：(1)CE平面 PAD；(2)平面 EFG平面 EMN.证明 (1)法一 取 PA 的中点 H，连接 E
8、H，DH.因为 E 为 PB 的中点，所以 EHAB，且 EH AB.1 2又 ABCD，CD AB，1 2所以 EHCD，且 EHCD.因此四边形 DCEH 是平行四边形.所以 CEDH.又 DH平面 PAD，CE平面 PAD，因此，CE平面 PAD.法二 连接 CF.因为 F 为 AB 的中点，所以 AF AB.1 2又 CD AB，1 2所以 AFCD，又 AFCD，所以四边形 AFCD 为平行四边形.因此 CFAD.又 CF平面 PAD，AD平面 PAD，所以 CF平面 PAD.因为 E，F 分别为 PB，AB 的中点，所以 EFPA.又 EF平面 PAD，PA平面 PAD，所以 EF
9、平面 PAD.因为 CFEFF，故平面 CEF平面 PAD.又 CE平面 CEF，所以 CE平面 PAD.(2)因为 E，F 分别为 PB，AB 的中点，所以 EFPA.又 ABPA，所以 ABEF.同理可证 ABFG.又 EFFGF，EF平面 EFG，FG平面 EFG，因此 AB平面 EFG.又 M，N 分别为 PD，PC 的中点，所以 MNCD，又 ABCD，所以 MNAB.因此 MN平面 EFG.又 MN平面 EMN，所以平面 EFG平面 EMN.能力提升题组(建议用时：20 分钟)11.如图，在斜三棱柱 ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，则 C1在底面 ABC 上的射影 H
10、 必在( )A.直线 AB 上 B.直线 BC 上C.直线 AC 上 D.ABC 内部解析 由 BC1AC，又 BAAC，BABC1B，则 AC平面 ABC1，又 AC平面 ABC，因此平面 ABC平面 ABC1，因此 C1在底面 ABC 上的射影 H 在直线 AB 上.答案 A12.(2016衡水中学模拟)如图，正方体 AC1的棱长为 1，过点A 作平面 A1BD 的垂线，垂足为点 H.则以下命题中，错误的命题是( )A.点 H 是A1BD 的垂心B.AH 垂直于平面 CB1D1C.AH 延长线经过点 C1D.直线 AH 和 BB1所成角为 45解析 对于 A，由于 AA1ABAD，所以点
11、A 在平面 A1BD 上的射影必到点A1，B，D 的距离相等，即点 H 是A1BD 的外心，而 A1BA1DBD，故点H 是A1BD 的垂心，命题 A 是真命题；对于 B，由于B1D1BD，CD1A1B，故平面 A1BD平面 CB1D1，而 AH平面 A1BD，从而 AH平面 CB1D1，命题 B 是真命题；对于 C，由于 AH平面 CB1D1，因此 AH 的延长线经过点 C1，命题 C 是真命题；对于 D，由 C 知直线 AH 即是直线 AC1，又直线 AA1BB1，因此直线 AC1和 BB1所成的角就等于直线 AA1与 AC1所成的角，即A1AC1，而 tanA1AC1，因此命题 D 是假
12、命题.212答案 D13.如图，已知六棱锥 PABCDEF 的底面是正六边形，PA平面 ABC，PA2AB，则下列结论中：PBAE；平面 ABC平面 PBC；直线 BC平面PAE；PDA45.其中正确的有_(把所有正确的序号都填上).解析 由 PA平面 ABC，AE平面 ABC，得 PAAE，又由正六边形的性质得 AEAB，PAABA，得 AE平面 PAB，又 PB平面 PAB，AEPB，正确；又平面 PAD平面 ABC，平面 ABC平面PBC 不成立，错；由正六边形的性质得 BCAD，又 AD平面PAD，BC平面 PAD，直线 BC平面 PAE 也不成立，错；在 RtPAD 中，PAAD2A
13、B，PDA45，正确.答案 14.如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，PA底面ABCD，AC2，PA2，E 是 PC 上的一点，PE2EC.2(1)证明：PC平面 BED；(2)设二面角 APBC 为 90，求 PD 与平面 PBC 所成角的大小.(1)证明 因为底面 ABCD 为菱形，所以 BDAC.又 PA底面 ABCD，BD平面 ABCD，所以 PABD，因为 ACPAA，所以 BD平面 PAC，PC平面 PAC，所以 BDPC.如图，设 ACBDF，连接 EF.因为 AC2，PA2，PE2EC，2故 PC2，EC，FC，32 332从而，.PC FC6AC EC6所以
14、，又FCEPCA，PC FCAC EC所以FCEPCA，FECPAC90.由此知 PCEF.又 BDEFF，所以 PC平面 BED.(2)解 在平面 PAB 内过点 A 作 AGPB，G 为垂足.因为二面角 APBC 为 90，所以平面 PAB平面 PBC.又平面 PAB平面 PBCPB，故 AG平面 PBC，AGBC.因为 BC 与平面 PAB 内两条相交直线 PA，AG 都垂直，故 BC平面 PAB，又 AB平面 ABC，于是 BCAB，所以底面 ABCD 为正方形，又 AC2，故 AD2，PD2.2PA2AD22设 D 到平面 PBC 的距离为 d.因为 ADBC，且 AD平面 PBC，BC平面 PBC，故 AD平面 PBC，A，D 两点到平面 PBC 的距离相等，即 dAG.2设 PD 与平面 PBC 所成的角为 ，则 sin .d PD1 2所以 PD 与平面 PBC 所成的角为 30.
