自动控制原理课后答案第2章

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1、 1 第 2 章 控制系统的数学模型 【基本知识点基本知识点】 1. 数学模型 系统的数学模型， 是描述系统内部各物理量之间动态关系的数学表达式。 在控制系统的 分析和设计中，首先要建立系统的数学模型。常用的数学模型有微（差）分方程、传递函数、 结构图、 信号流图、 频率特性及状态空间描述等多种形式， 本章主要介绍四种， 即微分方程、 传递函数、结构图和信号流图。 控制系统数学模型的建立方法有解析法和实验法。 用解析法建立系统的数学模型时， 应 根据元件及系统的特点和连接关系，按照它们所遵循的物理、化学规律，列写各物理量之间 关系的数学表达式；用实验法建立控制系统的数学模型时，要对系统施加典型

2、测试信号（阶 跃、脉冲和正弦信号等） ，记录系统的时间响应曲线或频率响应曲线，从而获得系统的传递 函数或频率特性。 建立系统数学模型的主要目的， 是为了分析系统的性能。 求取系统性能指标的主要途径 如图 2-1 所示。 图 2-1 求取性能指标的主要途径 2. 系统的微分方程 系统微分方程是描述控制系统动态性能的一种数学模型。 建立系统或元件微分方程的一 般步骤如下： （1） 根据实际工作情况，确定系统和各元件的输入量和输出量； （2） 根据物理或化学定律（注意考虑负载效应） ，列出系统各组成元件的原始方程； （3） 在可能条件下，对各元件的原始方程进行适当简化，略去一些次要因素或进行 线性化

3、处理； （4） 从系统输入端开始， 依照信号的传递顺序， 在所有元件的方程中消去中间变量， 最后得到描述系统输入和输出关系的微分方程； （5） 对求出的系统微分方程进行标准化处理， 即将与输出有关的各项放在等号左侧，2 而将与输入有关的各项置于等号右侧；等号左、右侧各项均按降幂形式排列。 求解线性微分方程的方法有很多， 在自动控制理论中常用拉氏变换法求解微分方程， 其 解即是系统的时间响应函数，方法和步骤如下： （1） 对微分方程的各项进行拉氏变换； （2） 对变换后的方程进行整理，求出待求变量的像函数表达式； （3） 对像函数进行拉氏反变换，可得到对应的原函数表达式，即是系统的时间响应 函数

4、。 3. 传递函数 （1） 传递函数的定义 对于线性定常连续系统，在零初始条件下，输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比，称 为系统的传递函数。 传递函数是为方便进行系统分析所引出的数学模型的另外一种形式。 由 它的定义可知，传递函数只适合于线性定常连续系统。 （2） 传递函数的性质 传递函数是复变量 s 的有理真分式函数，即mn，且所有系数均为实数。 传递函数是系统输入输出关系的表达式，它只取决于系统的结构参数，与系统的 输入信号的具体形式无关，只与系统输入输出信号的位置有关，即与系统或元件的结构和 参数有关。 传递函数与微分方程是一一对应的，可相互转换。 传递函数的拉氏反变换是系统在单位脉冲作

5、用下的响应，其脉冲响应反映了系统 的固有特性。 一定的传递函数有一定的零、极点分布图与之对应。 （3） 传递函数的局限性 传递函数只能表示一个输入对一个输出的关系，对于多输入多输出系统，则应采 用传递函数矩阵表示系统各变量之间的关系。 传送函数原则上只反映零初始条件下的动态特性。 （4） 传递函数的求取 传递函数的求取方法有三种： 利用传递函数的定义； 利用结构图等效变换； 利用信号流图。 利用传递函数的定义求解传递函数，主要适合于求典型环节传递函数的情况。 结构图是系统传递函数的图形化表示。 它最大的优点是可以形象直观地表示出动态过程 中系统各环节的数学模型及其相互关系。通过结构图的等效变换

6、可以求出系统的传递函数。 由结构图等效变换求解传递函数，主要是移动比较点和引出点的位置（见表 2-1） ，将其化 为三种典型的连接形式，即串联、并联和反馈连接，从而求得系统或环节的传递函数。应注 意的是，变换过程中相加点和分支点之间一般不宜相互变换位置。 信号流图也是一种用图形表示线性系统方程组的方法。 信号流图与结构图在本质上是一 样的，只是形式上不同。其中需要重点掌握的术语有前向通路、回环、不接触回环等。它的 3 最大优点是通过梅逊增益公式可以很方便快捷地求出系统的传递函数。 使用这种方法的关键 在于对系统回环的判断是否正确。 表 2-1 系统结构图等效变换基本规则 4 原方框图等效方框图

7、说明1( )G s2( )G s12( )( )G s G s1( )G s2( )G s2( )G s1( )G s( )G s1( )G s2( )G s12( )( )G sG s112( ) 1( )( )G s G s G s21 ( )G s2( )G s1( )G s( )G s1 ( )G s( )G s( )G s( )G s( )G s( )G s( )G s( )G s( )G s1 ( )G s串联等效12( )( )( ) ( )C sG s G s R s并联等效12( )( )( ) ( )C sG sG s R s反馈等效112( )( )( )1( )( )G

8、 sC sR sG s G s单位负反馈等效12( )( )( )1( )( )G sC sR sG s G s12212( )( )1( )( ) 1( )( )G s G sR sG sG s G s比较点前移1( ) ( )( )( )G s R sQ sG s比较点后移( )( ) ( )( ) ( )C sG s R sG s Q s( )( ) ( )( )C sG s R sQ s( ) ( )( )G s R sQ s引出点前移( )( ) ( )C sG s R s引出点后移( )( ) ( )C sG s R s1( )( )( )( )R sG sR sG sRRRCCR

9、RCRRRRRRRRRRRRRCCCCCCCCCCCCCCCQQQQ5 1RE2R3R C1R2RC C1R3R2RCC2R3R1R1R2R2RCCRECREC( )G s( )G s( )H s( )H s13( )( )( )C sE sR s123( )( )( )R sR sR s12( )( )( )C sR sR s( )( )( ) ( )E sR sH s C s)() 1()()(sCsHsR4. 结构图与信号流图 控制系统的结构图和信号流图， 都是描述系统中各种信号传递关系的数学图形。 应用结 构图和信号流图，可以简化复杂的控制系统的分析和设计。但是，信号流图只适用于线性系

10、 统。 （1） 结构图 系统结构图是系统中各个环节的函数功能和信号流向的图形表示，由环节（方框） 、信 号线、引出点和比较点组成。系统结构图可以按如下步骤绘出： 考虑负载效应，建立控制系统各元部件的微分方程； 对各元部件的微分方程进行拉氏变换，写出其传递函数并画出相应的环节单元和 比较点单元； 从与系统输入量有关的比较点开始， 依据信号流向， 把各元部件的结构图连接起 来，置系统输出量于右端，便得到系统结构图。 （2） 信号流图 信号流图是一种表达线性代数方程组结构的信号传递网络，由节点和支路组成，其与 结构图本质一样，只是形式不同。为了便于描述信号流图的特征，常用的名词术语有： 源节点：只有

11、输出支路的节点； 汇节点：只有输入支路的节点； 混合节点：既有输入支路，又有输出支路的节点； 前向通道：从源节点到汇接点之间，与每个节点仅相交一次的通路； 回路：起于并终于同一节点，且与其他任何节点相交不多于一次的闭合通路； 不接触回路：相互之间无公共节点的回路。 信号流图的绘制可以根据系统微分方程绘制， 也可以从系统的结构图按照一定的对应关6 系得到: 由系统微分方程绘制信号流图时，要先进行拉氏变换，并转换为因果关系；然后， 对系统的每个变量指定一个节点， 按实际系统中变量的因果关系从左到右顺序排列； 最后， 根据代数方程用标明支路增益的支路将各节点连接起来即可。 由系统结构图绘制信号流图时

12、，要把结构图中的输入量等效为源节点，输出量等 效为汇接点，比较点、引出点等其他中间变量等效为混合节点，方框为支路，方框中的传 递函数则取为相应的支路增益，这样，结构图就变换为相应的信号流图了。 【重点与难点重点与难点】 1. 传递函数 线性系统的传递函数是在零初始条件下， 系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之 比。零初始条件是指当0t 时，系统输入量r( ) t、输出量( )c t以及它们的各阶导数均为零。 设线性定常系统的微分方程一般形式为 1110111101( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnmmmmmmd c tdc tdc taaa c tdtdtdt d

13、r tdr tdr tbbbb r tdtdtdt(2-1) 式中：( )c t系统输出量；( )r t系统输入量。 (0,1,2, -1)ia in=和(0,1,)jbjm mn是由系统结构与参数决定的常系数。 当初始条件为零时，对上式等号两端进行拉氏变换，并根据传递函数的定义，得系统的传递函数为 1 m101 1 101()( )( )( )()mmmi mi nnn n j jKszb sbsbC sG sR ssasasp (2-2) 这是传递函数的一般表达式。 传递函数的零、极点：若(0,1,)isz im=-=，使( )0G s =，则称iz为( )G s的零点。若(1,2, )j

14、spjn=-=，使( )G s ，则称jp为( )G s的极点。 2. 典型环节及其传递函数 自动控制系统通常是由若干个典型环节有机组合而成的， 典型环节的传递函数一般表达 式分别为： （1） 比例环节：( )G sK=； （2） 惯性环节：1( )1G sTs=+； （3） 积分环节：1( )G sTs=； （4） 理想微分环节：( )G ss ； 7 （5） 振荡环节：222221( )212nnnG sT sTsss ； （6） 一阶微分环节：( )1G ss ； （7） 二阶微分环节：22( )21G sss； （8） 延迟环节：( )sG se。 3. 控制系统的传递函数 图 2-1

15、 为闭环控制系统的典型结构图。 ( )C s( )H s( )R s( )E s( )D s1( )G s2( )G s( )B s图 2-2 典型反馈控制系统结构图 （1） 系统开环传递函数 开环传递函数是指闭环系统中反馈信号的拉氏变换与误差信号的拉氏变换之比， 即使反 馈回路断开： 12( )( )( )( )( )( )kB sG sG s G s H sE s= (2-3) （2） 系统的闭环传递函数 输入信号作用下的闭环传递函数是指系统输出、输入信号拉氏变换之比： 1212( )( )( )( )( )1( )( )( )G s G sC ssR sG s G S H s=+(2-4) 当( )1H s =时，称为单位负反馈，此时 1212( )( )( )( )( )( )1( )( )1( )kkG sG s G sC ssR sG s G sG s=+(2-5) （3） 系统的误差传递函数 12( )1 ( )( )1( )( )( )erE ssR sG s G s H s=+(2-6) （4） 扰动信号作用下系统的闭环传递函数 212( )( ) ( )( )1( )( )( )nG sC ssN sG