《（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第13讲 变化率与导数、导数的计算优选学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第13讲 变化率与导数、导数的计算优选学案（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1第第 1313 讲讲 变化率与导数、变化率与导数、导数的计算导数的计算考纲要求考情分析命题趋势2017全国卷，142017天津卷，102016全国卷，162016天津卷，102016山东卷，101.了解导数概念的实际背景2通过函数图象直观理解导数的几何意义3能根据导数的定义求函数yC(C为常数)，yx，y ，yx2，yx3，y1 x的导数x4能利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数.分值：5 分1.导数的概念及几何意义是热点问题，难度不大，经常与函数结合，通过求导研究函数的性质2导数几何意义的应用是热点问题，难度较大，题型大多是根据导数的几何意义求参数值或参数的取值范围，
2、以及与切线有关的计算、证明问题.1函数yf(x)从x1到x2的平均变化率函数yf(x)从x1到x2的平均变化率为_，若 xx2x1，yf(x2)fx2fx1x2x1f(x1)，则平均变化率可表示为_.y x22函数yf(x)在xx0处的导数及几何意义(1)定义：称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率_ _ limx0y xlimx0_为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即fx0xfx0xf(x0) _ _.limx0y xlimx0fx0xfx0x(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点_(x0，f(x0)_处的_切线的斜
3、率_.相应地，切线方程为_yf(x0)f(x0)(xx0)_.3函数f(x)的导函数称函数f(x)_ _为f(x)的导函数，导函数也记作y.limx0fxxfxx4基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)C(C为常数)f(x)_0_f(x)xn(nQ Q* *)f(x)_nxn1_f(x)sin xf(x)_cos_x_f(x)cos xf(x)_sin_x_f(x)ax(a0)f(x)_axln_a_f(x)exf(x)_ex_f(x)logax(a0，且a1)f(x)_1 xln af(x)ln xf(x)_ _1 x5导数的运算法则(1)f(x)g(x)_f(x)g(x)_.(2)f(
4、x)g(x)_f(x)g(x)f(x)g(x)_.(3)_(g(x)0)fxgxfxgxfxgxgx21思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)求f(x0)时，可先求f(x0)，再求f(x0)( )(2)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点( )(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线( )3(4)若f(x)f(a)x2ln x(a0)，则f(x)2xf(a) .( )1 x解析 (1)错误应先求f(x)，再求f(x0)(2)正确如y1 是曲线ysin x的切线，但其交点个数有无数个(3)错误如y0 与抛物线y2x只有一个公共点，但是y0 不是抛物线y2x的切线(4)正确f(x)f(a)
5、x2ln xf(a)x2(ln x)2xf(a) .1 x2曲线yxln x在点(e，e)处的切线与直线xay1 垂直，则实数a的值为( A A )A2 B2C D1 21 2解析 依题意得y1ln x，y|xe1ln e2，所以 21，a2.1 a3某质点的位移函数是s(t)2t3gt2(g10 m/s2)，则当t2 s 时，它的速度1 2v(t)对t的变化率(即加速度)是( A A )A14 m/s2 B4 m/s2C10 m/s2 D4 m/s2解析 由v(t)s(t)6t2gt，a(t)v(t)12tg，得t2 时，a(2)v(2)1221014(m/s2)4曲线yx3x3 在点(1,
6、3)处的切线方程为_2xy10_.解析 y3x21，y|x131212.该切线方程为y32(x1)，即 2xy10.5函数yxcos xsin x的导数为_yxsin_x_.解析 y(xcos x)(sin x)xcos xx(cos x)cos xcos xxsin xcos xxsin x.一 导数的运算导数的运算方法(1)连乘积形式：先展开，化为多项式的形式，再求导(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求4导(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求
7、导【例 1】 (1)已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足关系式f(x)x23xf(2)ln x，则f(2)_ _.9 4(2)已知函数f(x)fsin xcos x，则f_1_.( 6)( 6)解析 (1)f(x)x23xf(2)ln x，f(x)2x3f(2) ，1 xf(2)43f(2) 3f(2) ，f(2) .1 29 29 4(2)f(x)fsin xcos x，f(x)fcos xsin ( 6)( 6)x，ff ，f(2)，( 6)32( 6)1 2( 6)3f(x)(2)sin xcos x，3f(2) 1.( 6)31 232【例 2】 求下列函数的导数(1)y(1)；
8、(2)y；x(11x)ln x x(3)ytan x；(4)y3xex2xe.解析 (1)y(1)x x，x(11x)1xx1 21 2y(x )(x)x x .1 21 21 23 21 21 2(2)y.(ln x x)ln xxxln xx21 xxln x x21ln x x2(3)y(sin x cos x)sin xcos xsin xcos xcos2x.cos xcos xsin xsin xcos2x1 cos2x5(4)y(3xex)(2x)e(3x)ex3x(ex)(2x)3xln 3ex3xex2xln 2(ln 31)(3e)x2xln 2.二 导数的几何意义若已知曲
9、线过点P(x0，y0)，求曲线过点P(x0，y0)的切线方程，则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解(1)点P(x0，y0)是切点时，切线方程为yy0f(x0)(xx0)(2)点P(x0，y0)不是切点时，可分为以下几步完成：第一步：设出切点坐标P(x1，f(x1)；第二步：写出过点P(x1，f(x1)的切线方程yf(x1)f(x1)(xx1)；第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1；第四步：将x1的值代入方程yf(x1)f(x1)(xx1)，由此即可得过点P(x0，y0)的切线方程【例 3】 (1)(2017全国卷)曲线yx2 在点(1,2)处的切线方程为_y
10、x1_.1 x(2)设曲线yex在点(0,1)处的切线与曲线y (x0)上点P处的切线垂直，则点P的1 x坐标为_(1,1)_.(3)已知f(x)ln x，g(x)x2mx (m0)的导数y，1 x1 x2曲线y (x0)在点P处的切线斜率k2.1 x1 m2依题意k1k21，所以m1，从而n1，则点P的坐标为(1,1)(3)f(x) ，1 x直线l的斜率kf(1)1.又f(1)0，切线l的方程为yx1.6又g(x)xm，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有x0m1，y0x01，y0xmx0 ，m0 时，x 2，当且仅当x1 时等号成立，a2.1 x故实数a的取值范围是2，)4
11、已知曲线C：y3x42x39x24.(1)求曲线C在横坐标为 1 的点处的切线方程；(2)第(1)问中的切线与曲线C是否还有其他公共点，若有，请求出；若没有，请说明理由解析 (1)y12x36x218x，ky|x11261812.又由x1，得y32944，切点的坐标为(1，4)所求切线的方程为y412(x1)，即 12xy80.(2)由Error!得 3x42x39x212x40，整理，得(x1)2(x2)(3x2)0，x1 或2 或 .2 3切线与曲线C还有其他公共点，由x2，得y32；由x ，得y0.2 3另外两个点的坐标为(2,32)，.(2 3，0)易错点 审题不认真致误错因分析：审题
12、时忽视了曲线“在点P处的切线”与曲线“过点P的切线”的不同【例 1】 求曲线S：yf(x)2xx3过点A(1,1)的切线方程解析 设切点为(x0，f(x0)f(x)23x2，切线方程为yf(x0)(xx0)f(x0)，即y(23x)(xx0)2x0x，将点A的坐标(1,1)代入得2 03 081(23x)(1x0)2x0x，2 03 0整理得 2x3x10，即 2x2xx10，3 02 03 02 02 0(x01)2(2x01)0，解得x01 或 ，1 2y01，f(x0)1 或y0 ，f(x0) .7 85 4切线方程为yx2 或yx .5 41 4【跟踪训练 1】 已知函数f(x)x34
13、x25x4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)求经过点A(2，2)的曲线f(x)的切线方程解析 (1)f(x)3x28x5，f(2)1，又f(2)2，曲线f(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y(2)x2，即xy40.(2)设切点坐标为(x0，x4x5x04)，f(x0)3x8x05，3 02 02 0切线方程为y(2)(3x8x05)(x2)，2 0又切线过点(x0，x4x5x04)，3 02 0x4x5x02(3x8x05)(x02)，3 02 02 0整理得(x02)2(x01)0，解得x02 或x01，经过A(2，2)的曲线f(x)的切线方程为xy40 或y20.课时达标课时达标 第第 1313 讲讲解密考纲本考点主要考查导数的计算和曲线的切线问题，涉及导数的问题，离不开导数的计算，所以它是导数中的基础；曲线的切线问题，有时在选择题、填空题中考查，有时会出现在解答题中的第(1)问一、选择题1若f(x)2xf(1)x2，则f(0)( D D )A2 B0 C2 D4解析 f(x)2f(1)2x，令x1，则f(1)2f(1)2，得f(1)2，所以f(0)2f(1)04.2在等比数列an中，a12，a84，f(x)x(xa1)(xa2)
