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1、1高等数学高等数学 第四册（第三版）第四册（第三版）数学物理方法数学物理方法 答案（完整版）答案（完整版）第一章第一章复数与复变函数（复数与复变函数（1 1 1 1）1. 1. 1. 1.计算计算(1).( 2)(12 )222 ;iiiiii= = ( )122(12 )(34 )(2)5 102122 .;345(34 )(34 )59 1655iiiii iii iiii+ +=+= + 5551(3).;(1)(2)(3)(1 3 )(3)102iiiiiii=42 22(4).(1)(1) ( 2 )4;iii= = 11 2222 2222(5).()()ababiabiabi a
2、bab+=+=+ +11 222224(cossin )() (cossin);22abiabi=+=+3. 3. 3. 3.设设11,2iz+=23;zi=试用三角形式表示试用三角形式表示1 2z z及及12z z。解：解：121cossin;(cossin);44266zizi=+=+1 21155cos()sin()(cossin);2464621212z zii=+=+122cos()sin()2(cossin);46461212ziiz=+=+11.11.11.11. 设设123,z zz三 点 适 合 条 件三 点 适 合 条 件1230zzz+=及及1231;zzz=试证明试证明
3、123,z zz是一个内接于单位是一个内接于单位 圆圆z =1的正三角形的顶点。的正三角形的顶点。2证明：证明：1230;zz+=z123231;312;zzzzzz zzz= = = 122331;zzzzzz=123,z zz所组成的三角形为正 三角形。1231zzz=123,z zz为以z为圆心，1 为半径的 圆上的三点。即123z ,z ,z是内接于单位圆的正三角形。.xz1z2z317.17.17.17.证明：三角形内角和等于证明：三角形内角和等于。证明：证明：有复数的性质得：321321311223arg;arg;arg;zzzzzz zzzzzz=1332213112231;zz
4、zzzz zzzzzz= arg( 1)2;k+=+(0, );(0, );(0, );(0,3 );+0;k=;+=Z3yoZ1Z2x3第一章第一章 复数与复变函数（复数与复变函数（2 2 2 2） 7. 7. 7. 7.试解方程试解方程()4400zaa+=。解解: : : :由题意44za= ,所以有()4 10zaa= ;4 cossiniziea=+=;所以2 4(0,1,2,3)kizeka+ =;4 1izae =;3 4 2izae =;5 4 3izae =;7 4 4izae =.12121212 下列关系表示的下列关系表示的 z z z z 点的轨迹的图形点的轨迹的图形
5、是什么？它是不是区域？是什么？它是不是区域？1212(1).()zzzzzz=解解： 此图形表示一条直线， 它不是区域。(2).4 ;zz解：解：2222(4)xyxy+即816;2;xx此图形为x2的 区域。1(3).1;1z z此图形为x0的区域。4(4).0arg(1)2Re( )3;4zz且解解：1z表示半径为 1 的圆的外上半部分 及边界，它是区域。12(6).Im;yzy且解：解：此图形表示两圆的外部。131(8).;2222iizz且解：解：211()22y+2x，2231()22xy+，它表示两相切 圆半径为1 2的外部区域。(9).Im12;zz的部分，它是区域。(10).2
6、0arg;4zz13解解： （1）被积函数有奇点1z=，该奇点在 积分围道内，由哥西积分求导公式有：()5cos1czdz z()4524 4122cos1cos4!4!12zi dizidz= 2222222212()()(2):22(1)()()()()zzzzzccc z izieeeeezizidzdzdziizzizizizi=+=+=+(1)(1)2sin(1)224iii ei ei=+=第四章第四章解析函数的幂级数表示（解析函数的幂级数表示（1 1 1 1） 2.将下列函数展为含z的幂级数， 并指明 展式成立的范围： （1）1( ,a bazb+为复数，b0)， （2）20ze
7、 dz，（3）0sinzzdz z， （4）2cosz,(5)2sin.z(6)()211z，（ 1 ） 解 ： 原 式 =10111() 1nnazabbbzb= +| |bza11把( )1 1fzz=展成下列级数： （1）在1z上展成z的泰勒级数。解；解；( )0111111()( )1111nnfzzzzzz z= = = ，| 1z (3)在12z+上展成()1z+的泰勒级数。18解解：原式012(1)(1)()2111nnzzz z= += +2| 11z+12 把( )()1 1f zzz=展成在下列区域收敛的罗 朗或泰勒级数： （1）01z解：解：原式0111111( )11n
8、nzzzzz z= ， （3）011z解：解：原式22011111( 1) ()1111111n nnabzzzz z=+11( 1) ()1n nnz=， （5）11z+解解： 原式001111211()()2111111(1)(1)111nnnnzzzzzzzz= += +11(1)(1)n n nzz=+|1| 2z+第四章第四章解析函数的幂级数表示（解析函数的幂级数表示（3 3 3 3） 13131313确定下列各函数的孤立奇点确定下列各函数的孤立奇点，并指并指 出他们是什么样的类型出他们是什么样的类型， 对于无穷远点对于无穷远点 也要加以讨论：也要加以讨论：（1）()2211zz z
9、+解：孤立奇点为：0,zzi zi= ，对于0,z=原式=1( )1()zX z z ziz= Z 为一阶极点zi=，原式=222 211 1() ()()(1)zz z ziziz ziz=+zi=为二阶极 点，20同理：zi= 也为二阶极点。对z= ，原式=4222 211(1) 11(1)(1)z zz z z z=+，由于4220(1)lim0(1)nz z z=+， 即为可去奇点。（2）221 ()zi+ 解：20zi+ =，3()4i kze+=为二阶极点。42222222 22111limlimlimlim011()(1)()()zzzzz z iziz iizz=+即为可去极
10、点。 (3)31 cosz z解；2331 cos1 22zz zzz=，0z=为一阶极点。3 300311 cos1 cos1limlimlim(1 cos )01zzzzzzzz z= 即为可去极点。 (4)1coszi+ 解：zi= 为本性极点。011limcoslimcoslimcos()111()zzozz ziziiz=+即在无穷远点为 可去极点。(5)1zze e解：z=0，11zzzmee emz=即 z=0 时，有(m-1)阶21极点，100111limlimlim(1)01( )z mzzzzmeezzezm z= 即无穷远点为可去极 点。(6)1zze e解：0z=，01
11、1lim1111zzzze ee=即无穷远点为可去极 点。 (7)1 sincoszz+ 解：sincos2sin()4zzz+=+，4zk+=，4zk=(k=0,1,)一阶极点，00111limlimlim111sincossincos2sin()4zzzzz zzz=+不存在，为本 性极点。(8)1 1zze e + 解：1ze= ，zi=，1ie= (21)zik=+(0k=,1) 一阶 极点。11121110021()11(1)limlimlimlim1111()()zzzzzzzzz zzzeeeez eeieez= +i即可去极点。 (9)2 23(32)zz+22解：1,2zz=
12、，三阶极点，222 2333 2001111lim(32)lim(32)lim(1)(2) zzzzzzzzz+=+=2 2340(1 32)lim3zzz z+= (10)tgz解：2zk=+(0k=,1,)一阶极点，01sin limlim1coszzztgzz= 不存在 (11)1sin1z 解 ：1z=， 为 本 性 奇 点 ，0011limsinlimsinlimsin01111zzzz zz z=即为可去奇点。(12)1 11zze e解：0,1zz=， 一阶极点，1 1111111100limlimlim0 11z zzzzzzz zzeee eee= 可 去奇点。 14.14.
13、14.14.设设( )( ),f zg z分别以分别以za=为为m阶极点阶极点， 试问试问za=为为,ffg fgg+的什么样的特点。的什么样的特点。解；设nmazzzgazzzf)()()(,)()()(=23=+=+)()()()()()()()()()()()()()(nmazzznmazzzaznmazzazzgfnnmnmnm（1）( ) ( ).()m nzzf gza+=(m+n) 阶 极 点 （2）可去奇点级零点）级极点（）（)()()()()()()()()()( )(1)()(nmnmnmzznmzzaznmzz azzgzfmnnm= =(3) 所以 当mn时z=a为f+
14、g的maxm,n 阶极点当 m=n 时阶的极点或可去极点低于阶极点 nn aaaa_ 0)()(0)()( =+15.15.15.15.设设( )0f z，且以，且以za=为解析点或极点为解析点或极点， 而而( )z以以za=为本性奇点，证明为本性奇点，证明za=是是( )( )zf z，( )( )zf zi，( ) ( )z f z 的本性奇点。的本性奇点。证明：证明：设=0)()()(,)()()(nnmazzzazzzfm nnazz azzzfz)()( )()()()(0=显然其中主要部分有 无限项。 所以 z=a 是f(z)+(z)的本性奇点。24nmn mnnnnmazzzazzazzzfzazz azzzfz= =)()()()()()()()()()()( )()()().(000所以 z=a 是 f(z)(z)及)()( zfz的本性奇点。 16161616讨论下列函数在无穷远点的性质讨论下列函数在无穷远点的性质。 (1)2z 解：= 221l
