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1、高中数学知识要点重温（18）线面关系系1 “公理 1”用于证明“线在面内” ；“公理 2”用于证明“点在线上” ， “公理 3”及其推论用于证明“共面” 。举例 1ABC 和A1B1C1所在的平面交于直线l，AB 和 A1B1交于 P，BC 和 B1C1交于 Q，AC 和A1C1交于 R，则下列判断正确的是： （ ）AP、Q、R 确定平面，且l； BP、Q、R 确定平面，且l；CP、Q、R 确定平面，且l； DP、Q、R 都在直线l上解析：易见 P 是平面 ABC 和平面 A1B1C1的一个公共点，由公理 2 知，P 在它们的公共线l上，同理：Q、R 也在直线l上。举例 2 如图，在六面体11
2、11ABCDABC D中，四边形ABCD是边长为 2 的正方形，四边形1111ABC D是边长为 1 的正方形，1DD 平面1111ABC D，1DD 平面ABCD，12DD 求证：11AC与AC共面，11B D与BD共面（07 高考安徽理 17）解析：几何体为六面体，则 AB、A1B1共面，BC、B1C1共面，CD、C1D1共面，AD、A1D1共面；1D D 平面1111ABC D，1D D 平面ABCD平面1111ABC D 平面ABCD于是11C DCD，11D ADA设EF、分别为DADC、的中点，连结11EFAEC F、，有：A1D1平行且等于 AD，故 A1E 平行且等于 DD1，
3、同理 C1F 平行且等于 DD1，于是 A1E 平行且等于 C1F11ACEF又由1DEDF，得EFAC，故11ACAC，11AC与AC共面过点1B作1BO 平面ABCD于点O，则1111BOAEBOC F、，连结OEOF、，于是11OEB A，11OFBC，ABCD1A1B1C1DABCD1A1B1C1DMOEFABCDD1A1B1C1OEOF1111B AAD，OEAD1111BCC D，OFCD所以点O在BD上，而11D B与 DO 共面，故11D B与DB共面巩固 1已知在空间四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、AD 的中点，G、H 分别是 BC、CD 上的点，且 BG：GC=
4、DH：HC=2：1，则 EG、FH、AC 的位置关系是： （ ）A两两异面 B两两平行 C交于一点 D两两相交。巩固 2 如图，已知1111ABCDABC D是棱长为3的正方体，点E在1AA上，点F在1CC上，且11AEFC求证：1EBFD，四点共面； （07 高考江苏卷 18）2在分析比较复杂的“孤立”的线面关系（不在几何体中）时，可以将其放置于一个我们熟悉的几何体（如三棱锥、长方体等）中研究，以便观察、寻找它们之间的联系。举例 设、为平面，lnm、为直线，以下四组条件：lml,m； m,；mnn,；可以作为m的一个充分条件是 。解析：题中线面关系既复杂又抽象，注意到其中包含大量的垂直关系，
5、故可以在正方体内观察：记面 AD1为，面 AC 为，则 AD 为l，若视 AB 为m，ml，但m在面内；若、两两垂直，则可以得到m，但该条件中没有，故反例只可能存在于此处，记面 AD1为，面 BB1D1D 为，面 AC 为，则 AD为m，但m与成 450角；注意到m，只要、不平行，就得不到m，记面AD1为，面 BB1D1D 为，面 AC 为，视 AB 为m，但m与成 450角；由n，n得，再由m得m；故只有。巩固设a、b为直线，为平面，直线1a、1b分别为a、b在面内的射影，则下列四个命题中正确的个数是： （ ）若ab则1a1b；若1a1b则ab；若ab则1a1b；若1a1b则abCBAGHM
6、 DEF1B1A1D1CA3， B2 C1， D0注：07 年高考上海卷理科第 10 题就是由这一题变形、延伸而来：延伸 在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种 已知，是两个 相交平面，空间两条直线12ll，在上的射影是直线12ss，12ll，在上的射影是直线12tt，用1s与2s，1t与2t的位置关系，写出一个总能确定1l与2l是异面直线的充分 条件： 3证明立几问题时要有降维的思想：通过线线垂直证线面垂直，通过线面垂直证面面垂直；通过线线平行证线面平行，通过线面平行证面面平行。4证明“线面平行”的关键是找准“这条直线”平行于平面内的哪条直线哪条直线， （也可以先证经过“这条直线
7、”的平面与平面平行） ；举例 右图是一个直三棱柱（以111ABC为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC已知11111ABBC，11190ABCo， 14AA ，12BB ，13CC 若点O是AB的中点，证明：OC平面111ABC；（07 高考江西理 20）解析：取 A1B1中点 D，连1C D则11ODBBCC1111()32ODAABBCC四边形1ODC C是平行四边形，因此有1OCC D又1C D 平面111C B A且OC 平面111C B A，OC面111ABC注：在找“线”与面内的一条直线平行时，常用到一些平面图形的性质，如：三角形的中位线、梯形中位线、平行四边形、平行线分线
8、段成比例定理的逆定理等。巩固 如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD底面ABCDEF，分别为ABSC，的中点证明EF平面SAD；（07 高考全国卷理 19）5已知“线面平行”的条件，一般只有一个“发展”方向：过“线”的议和平面与已知“面”的交线和已知的“线”平行，故设法找到经过“线”的平面与已知“面”的交线往往是解题的关键。举例如图 4-1，正四棱锥 S-ABCD 的底面边长为 a，侧棱长为 2a，点 P、Q 分别在 BD 和 SC上，并且 BP：PD=1：2，PQ面 SAD，求线段 PQ 的长。ABCO1A1B1CDAEBCFSDABCDS图 4-1QPA BCDS图 4
9、-2QPRABCDS图 4-3QPQ1P1解析：要用条件“PQ面 SAD” ，需找到过 PQ 的平面与面 SAD 的交线，方法有二：分别延长 CP、DA 交于点 R，如图 4-2，则面 SCR 交面 SAD 于 SR，又 PQ面 SAD，QPSR；而在面 ABCD 中，PDRPBC，且 PD=2PB， PR=2PC，PR=2BC=2a； 于是在CSR 中有：SR=3QP；在等腰SAD 中，可以求出 cosSDA=41,则在SRD 中由余弦定理可以求得SR=6a，即 PQ=36a；过 P、Q 分别作 CD 的平行线，分别交 AD 于 P1、交 SD 于 Q1，连P1Q1，如图 4-3，面 PP1
10、Q1Q 交面 SAD 于 P1Q1且 PQ面 SAD，则 PQP1Q1，四边形 PP1Q1Q 是平行四边形，即 PQ=P1Q1；在DAB 中，PD=2PB，PD=2PA=32a，PP1=32AB=32a，QQ1=32a=32CD，于是在SCD 中有：SQ1=32SD，Q1D=32a，仿方法可以求出 P1Q1。巩固如图，在矩形ABCD中，aBCAB22，E为AB上一点，将B点沿线段EC折起至点P，连结、PAPDPC、，取PD的中点F，若有/AF平面PEC试确定E点位置。6. 证明“面面垂直”关键要找准哪个平面哪个平面内的哪条直线哪条直线垂直于另一个平面. 也可以证明两个平面的法向量垂直举例 如图
11、，已知 PA矩形 ABCD 所在的平面，M、N 分别是 AB，PC 的中点；若 P-CD-A 为 450的二面角，求证： 平面 MND平面 PDC；解析：仅仅观察平面 MND 和平面 PDC，很难发现垂直的线索；从二面角 P-CD-A 入手，易见CDAD，CDAP，CD面 PAD，CDPD，即PDA 是二面角 P-CD-A 的平面角，PDA=450，那么在 RtPAD 中有 AP=AD，取 PD 中点E，则 AEPD，又由 CD面 PAD 得 CDAE，故 AE面 PCD；而 EN 平行且等于21DC，即 EN 平行且等于 AM，四边形 AMNE 是平行四边形，即 MNAE；于是有 MN面 P
12、CD，又MN 在面 MND 内，平面 MND平面 PDC。BDCAPEFC1B1 A111 DBCAAMBCNPDEABCDD1A1B1C1OA1B1C1ABC巩固如图，直三棱柱111ABCABC中，112ABACAA，90BACo，D为棱1BB的中点求证：平面1ADC 平面ADC6已知“面面垂直”的条件，一般发展为“一个面内垂直于交线的直线垂直于另一个面” 。iBvg在直棱柱中隐藏着侧面与底面垂直的条件。举例 四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC 底面ABCD已知45ABC o，2AB ，2 2BC ，3SASB证明：SABC；（07 高考全国卷理 19）解析：作SOBC
13、，垂足为O，连结AO，由侧面SBC底面ABCD，得SO底面ABCDSASB， AOBO，又45ABC o故AOB为等腰直角三角形，AOBO，又 SOBO，BC面 SAO，BCSA（或直接由三垂线定理得到） 注：证明“线线垂直”一般去证一条“线”垂直于过另一条“线”的面，或者使用三垂线定理。巩固 如图，已知直三棱柱 ABC-A1B1C1中，B1C1= A1C1，A1BAC1，求证：A1BB1C。7. 三垂线定理要注意“平面内平面内”的条件：“平面内平面内”一条直线垂直于“射影”则垂直于斜线。由三垂线定理得到的两个常用结论：直线与角的两边所成的角相等，则直线在（角所在的）平面内的射影是角的平分线；
14、直线与平面内一条直线所成角的余弦等于直线与它在平面内的射影所成角的余弦和射影与这条直线所成角的余弦的积。举例在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1,已知 AB=AD=4,AA1=3, A1AB=A1AD=BAD=3,（1）求 AC1的长（2）求平行六面体 ABCD-A1B1C1D1的体积。解析：记 A1在面 ABCD 内的射影为 O，A1AB=A1AD，O 在BAD 的平分线上，又 AB=AD，BAD 的平分线即菱形 ABCD 的对角线 AC，故 O 在 AC 上；cosA1AB=cosA1AOcosOABDBCASOcosA1AO=33,sinA1AO=36,cosACC1=-33；又 AC=43，在ACC1中由余弦定理得 AC1=9；在A1AO 中，A1O=6，1111DCBAABCDV=62344=242。注：求 AC1的长还可以用向量：11CCBCABAC，平方即可。巩固MN 是两条互相垂直的异面直线 a、b 的公垂线段，点 P 是线段 MN 上除 M，N 外一动点，若点 A 是 a 上不同于公垂线垂足的一点，点 B 是 b 上不同于公垂线垂足的一点，APB 是：A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形
