《重庆市江津区高中数学 第二章 数列学案 新人教a版必修5》由会员分享，可在线阅读，更多相关《重庆市江津区高中数学 第二章 数列学案 新人教a版必修5（91页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1【三维设计三维设计】2015】2015 高中数学高中数学 第二章第二章 数列学案数列学案 新人教新人教 A A 版必修版必修 5 5_2.1 数列的概念与简单表示法第一课时 数列的概念与通项公式数列的概念提出问题观察下列示例，回答后面问题(1)正整数 1,2,3,4,5,6 的倒数依次是 1， .1 21 31 41 51 6(2)2 的 1 次幂，2 次幂，3 次幂、4 次幂依次是2,4，8,16.(3)人们在 1740 年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星每隔 83 年出现一次，那么从发现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为：1740,1823,1906,1989,2072，.(4)“一尺之
2、棰，日取其半，万世不竭”的意思为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完如果将“一尺之棰”视为 1 份，那么每日剩下的部分依次分为：， ， ，.1 21 41 81 161 32问题：观察上面 4 个例子，它们都涉及到了一些数，这些数的呈现有什么特点？提示：按照一定的顺序排列导入新知数列的概念(1)定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列(2)项：数列中的每一个数叫做这个数列的项a1称为数列an的第 1 项(或称为首项)，a2称为第 2 项，an称为第n项(3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，an简记为an化解疑难1数列的定义中要把握两个关键词：“一定顺序”与“一列数”
3、也就是说构成数列的元素是“数” ，并且这些数是按照“一定顺序”排列着的，即确定的数在确定的位置2项an与序号n是不同的，数列的项是这个数列中的一个确定的数，而序号是指项在数列中的位次3an与an是不同概念：an表示数列a1，a2，a3，an，；而an表示数列an中的第n项.数列的分类2提出问题问题：观察上面 4 个例子中对应的数列，它们的项数分别是多少？这些数列中从第 2项起每一项与它前一项的大小关系又是怎样的？提示：数列 1 中有 6 项，数列 2 中有 4 项，数列 3、4 有无穷多项；数列 1 中每一项都小于它的前一项，数列 2 中的项大小不确定，数列 3 中每一项都大于它的前一项，数列
4、 4中每一项都小于它的前一项导入新知分类标准名称含义有穷数列项数有限的数列按项的个数无穷数列项数无限的数列递增数列从第 2 项起，每一项都大于它的前一项的数列递减数列从第 2 项起，每一项都小于它的前一项的数列常数列各项相等的数列按项的变化趋势摆动数列从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列化解疑难在写数列时，对于有穷数列，要把末项写出例如，数列 1,2,3,4，100.表示有穷数列但是如果把数列写成 1,2,3,4，100，就表示无穷数列.数列的通项公式提出问题问题：仍然观察上面 4 个例子，你能否发现这些数列中，每一项与这一项的项数之间存在着某种关系？这种关系是否可
5、以表示为一个公式？提示：每一项与这一项的项数间存在一定的关系，有些可用公式表示，有些不能用公式表示导入新知数列的通项公式如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么就把这个公式叫做这个数列的通项公式化解疑难1数列的通项公式实际上是一个以正整数集 N N*或它的有限子集1,2,3，n为定义域的函数解析式2同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式3数列的概念及分类例 1 已知下列数列：(1)0,0,0,0,0,0；(2)0，1,2，3,4，5，；(3)0，；1 22 3n1 n(4)1,0.2,0.22,0.23，；(5)0，1,0，cos ，.n 2
6、其中，有穷数列是_，无穷数列是_，递增数列是_，递减数列是_，常数列是_，摆动数列是_(填序号)解析 (1)是常数列且是有穷数列；(2)是无穷摆动数列；(3)是无穷递增数列(因为1 )；n1 n1 n(4)是无穷递减数列；(5)是无穷摆动数列答案 (1) (2)(3)(4)(5) (3) (4) (1) (2)(5)类题通法判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需考察数列是有限项还是无限项若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列而判断数列的单调性，则需要从第 2 项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满足anan1，则是递减数列；若满足anan1，则是常数列；若an与an1的大小不确
7、定时，则是摆动数列活学活用1给出下列数列：(1)20062013 年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82,93,105,119,129,130,132,135.(2)无穷多个构成数列3， ， ， ，.3333(3)2 的 1 次幂，2 次幂，3 次幂，4 次幂，构成数列2,4，8,16，32，.(4)精确到 1,0.1,0.01,0.001，的不足近似值与过剩近似值分别构成数列241,1.4,1.41,1.414，；2,1.5,1.42,1.415，.指出其中哪些是有穷数列、无穷数列、递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？解：有穷数列有：82,93,105,119,129,130,13
8、2,135；无穷数列有：， ， ， ，；33332,4，8,16，32，；1,1.4,1.41,1.414，；2,1.5,1.42,1.415，.递增数列有：82,93,105,119,129,130,132,135；1,1.4,1.41,1.414，.递减数列有：2,1.5,1.42,1.415，.常数列有：， ， ， ，.3333摆动数列有：2,4，8,16，32，.由数列的前几项求通项公式例 2 写出下列数列的一个通项公式：(1) ，2，8， ，；1 29 225 2(2)9,99,999,9 999，；(3)，；221 1322 3423 5524 7(4)，；1 1 21 2 31
9、3 41 4 5解 (1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察： ，1 24 2， ， ，所以，它的一个通项公式为an(nN N*)9 216 225 2n2 2(2)各项加 1 后，变为 10,100,1 000,10 000，此数列的通项公式为 10n，可得原数列的通项公式为an10n1.(3)数列中每一项由三部分组成，分母是从 1 开始的奇数列，可用 2n1 表示；分子的前一部分是从 2 开始的自然数的平方，可用(n1)2表示，分子的后一部分是减去一个自然数，可用n表示，综上，原数列的通项公式为an(nN N*)n12n 2n1(4)这个数列的前 4 项的绝对值都
10、等于序号与序号加 1 的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是an(1)n.1 nn1类题通法5此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法具体方法为：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项的符号特征和绝对值特征；化异为同对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系活学活用2写出下列数列的一个通项公式：(1)0,3,8,15,24，；(2)1，3,5，7,9，；(3)1 ，2 ，3 ，4 ，；1 22 33 44 5(4)1,11,1
11、11,1 111，.解：(1)观察数列中的数，可以看到011,341，891,15161,24251，所以它的一个通项公式是ann21.(2)数列各项的绝对值为 1,3,5,7,9，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an(1)n1(2n1)(3)此数列的整数部分 1,2,3,4，恰好是序号n，分数部分与序号n的关系为，n n1故所求的数列的一个通项公式为ann.n n1n22n n1(4)原数列的各项可变为 9， 99， 999， 9 999，易知数列 9,99,999,9 1 91 91 91 9999，的一个通项公式为an10n1.所以原数列的一个通项
12、公式为an (10n1).1 9通项公式的简单应用例 3 已知数列an的通项公式是an.n2 n21(1)写出该数列的第 4 项和第 7 项；(2)试判断和是否是该数列中的项？若是，求出它是第几项；若不是，说明理由9 101 10解 (1)由通项公式an可得n2 n21a4，a7.42 42116 1772 72149 50(2)令，得n29，n2 n219 106所以n3(n3 舍去)，故是该数列中的项，并且是第 3 项；9 10令，得n2 ，所以n ，n2 n211 101 91 3由于 都不是正整数，1 3因此不是数列中的项1 10类题通法1数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n
13、之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项2判断某数值是否为该数列的项，需先假定它是数列中的项，列方程求解若方程的解为正整数，则该数值是数列的项；若方程无解或解不是正整数，则该数值不是此数列的项活学活用3已知数列an的通项公式为anqn，且a4a272.(1)求实数q的值；(2)判断81 是否为此数列中的项解：(1)由题意知q4q272q29或q28(舍去)，q3.(2)当q3 时，an3n，显然81 不是此数列中的项；当q3 时，an(3)n，令(3)n8134，也无解81 不是此数列中的项2.牢记数列中n N N *典例 已知数列an的通项公式为ann25n4.求n为何值
14、时，an有最小值？并求出最小值解ann25n42 ，可知对称轴方程为n 2.5.(n5 2)9 45 2又nN N*，故n2 或 3 时，an有最小值，其最小值为a2a3225242.7易错防范1忽视了借助二次函数求最值，而认为当n1 时取得最小值2由an2 知n 取最小值，忽视nN N*.(n5 2)9 45 23在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是 N N*(或它的有限子集1,2,3，n)这一约束条件成功破障求数列2n29n3中的最大项解：已知2n29n322，由于n为正整数，故当n2 时，取得最大(n9 4)105 8值为 13，所以数列2n29n3中的最大项为第二项，为 13.随堂即时演练1将正整数的前 5 个数排列如下：1,2,3,4,5；5,4,3,2,1；2,1,5,3,4；4,1,5,3,2.那么可以称为数列的有( )A BC D解析：选 D 数列是按“一定顺序”排列着的一列数因此选 D.注意此题易错选 B.2在数列1,0，中，0.08 是它的( )1 91 8n2 n2A第 100 项 B.第 12 项C第 10 项 D第 8 项解析：选 C an，令0.08，解得n10 或n (舍去)n2 n2n2 n25 23若数列an的通项公式是an32n，则a2n_，_.a2 a3解析：根据通项公式我们可以求出这个数列的任意一项
