《湖南省新化四中高二数学《函数的极值与导数》学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《湖南省新化四中高二数学《函数的极值与导数》学案（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 教学目标： 1.理解极大值、极小值的概念； 2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值； 3.掌握求可导函数的极值的步骤； 教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤. 教学过程： 一创设情景一创设情景 观察图 3.3-8，我们发现，时，高台跳水运动员距水面高度最大那么，函数ta在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化( )h t规律？放大附近函数的图像，如图 3.3-9可以看出；在，当时，ta( )h t( )h atata函数单调递增，；当时，函数单调递减，；
2、这就说明，在( )h t( )0h tta( )h t( )0h t附近，函数值先增（，）后减（，） 这样，当 在的tata( )0h tta( )0h tta附近从小到大经过时，先正后负，且连续变化，于是有a( )h t( )h t( )0h a对于一般的函数，是否也有这样的性质呢？ yf x附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就 函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值 点的关键是这点两侧的导数异号 二新课讲授二新课讲授1问题：问题：图 3.3-1（1） ，它表示跳水运动中高度随时间 变化的函数ht的图像，图
3、3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度随时间 变化2( )4.96.510h ttt vt的函数的图像( )( )9.86.5v th tt 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ 通过观察图像，我们可以发现：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度随时间 的增加而增加，即是增ht( )h t函数相应地，( )( )0v th t（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度随时间 的增加而减少，即是减ht( )h t函数相应地，( )( )0v th t2函数的单调性与导数的关系函数的单调性与导数的关系 观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系来源
4、: 如图 3.3-3，导数表示函数在点处的切线的斜率在处， 0()fx( )f x00(,)xy0xx，切线是“左下右上”式的，这时，函数在附近单调递增；在处， 0()0fx( )f x0x1xx，切线是“左上右下”式的，这时，函数在附近单调递减来源: 0()0fx( )f x1x结论：函数的单调性与导数的关系结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间在某个区间内，如果内，如果，那么函数，那么函数在这个区间内单调递增；如在这个区间内单调递增；如( , )a b( )0fx ( )yf x果果，那么函数，那么函数在这个区间内单调递减在这个区间内单调递减( )0fx ( )yf x说明：（说明：（1
5、）特别的，如果）特别的，如果，那么函数，那么函数在这个区间内是常函数在这个区间内是常函数( )0fx ( )yf x3求解函数求解函数单调区间的步骤：单调区间的步骤：( )yf x（1）确定函数）确定函数的定义域；的定义域；来源来源: ( )yf x（2）求导数）求导数；( )yfx（3）解不等式）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；，解集在定义域内的部分为增区间；( )0fx （4）解不等式）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间，解集在定义域内的部分为减区间( )0fx 三典例分析三典例分析例例 1已知导函数的下列信息：( )fx当时，；14x( )0fx 当，或时，；4x 1x (
6、)0fx 当，或时，4x 1x ( )0fx 试画出函数图像的大致形状( )yf x解：解：当时，可知在此区间内单调递增；14x( )0fx ( )yf x当，或时，；可知在此区间内单调递减；4x 1x ( )0fx ( )yf x当，或时，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点” 4x 1x ( )0fx 综上，函数图像的大致形状如图 3.3-4 所示( )yf x例例 2判断下列函数的单调性，并求出单调区间（1）； （2）3( )3f xxx2( )23f xxx（3）； （4）( )sin(0,)f xxx x32( )23241f xxxx解：（1）因为，所以， 3( )3f xxx22
7、( )333(1)0fxxx因此，在 R 上单调递增，如图 3.3-5（1）所示3( )3f xxx（2）因为，所以， 2( )23f xxx( )2221fxxx当，即时，函数单调递增；( )0fx 1x 2( )23f xxx当，即时，函数单调递减；( )0fx 1x 2( )23f xxx函数的图像如图 3.3-5（2）所示2( )23f xxx（3）因为，所以，( )sin(0,)f xxx x( )cos10fxx 因此，函数在单调递减，如图 3.3-5（3）所示来源:( )sinf xxx(0,)（4）因为，所以 32( )23241f xxxx当，即 时，函数 ；( )0fx 2
8、( )23f xxx当，即 时，函数 ；( )0fx 2( )23f xxx函数的图像如图 3.3-5（4）所示32( )23241f xxxx注：（注：（3） 、 （4）生练）生练 例例 3如图 3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度与时间 的函数关系图像ht 分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得 慢，以后高度增加得越来越快反映在图像上， （A）符合上述变化情况同理可知其它三种 容器的情况解： 1, 2, 3, 4BADC思考：思考：例 3 表明，通过函数图像，不仅可以看
9、出函数的增减，还可以看出其变化的快慢结 合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较这时，函数的图像就比较“陡峭陡峭” ；反之，函数的图像就；反之，函数的图像就“平缓平缓”一些一些如图 3.3-7 所示，函数在或内的图像 “陡峭” ，在或内的图像“平缓”( )yf x0,b,0a,b ,a例例 4求证：函数在区间内是减函数3223121yxxx2,1证明：因为22661262612yxxxxxx当即时，所以函数在
10、区间内是2,1x 21x 0y 3223121yxxx2,1减函数说明：证明可导函数说明：证明可导函数在在内的单调性步骤：内的单调性步骤： f x,a b（1）求导函数）求导函数； fx（2）判断）判断在在内的符号；内的符号； fx,a b（3）做出结论：）做出结论：为增函数，为增函数，为减函数为减函数 0fx 0fx 例例 5已知函数 在区间上是增函数，求实数的取值232( )4()3f xxaxxxR1,1a范围解：，因为在区间上是增函数，所以对2( )422fxaxx f x1,1( )0fx 恒成立，即对恒成立，解之得：1,1x 220xax1,1x 11a 所以实数的取值范围为a1,
11、1说明：说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则若函数单调递增，则；若函数单调递减，则；若函数单调递减，则”来求解，注意此( )0fx ( )0fx 时公式中的等号不能省略，否则漏解 四课堂练习四课堂练习 1求下列函数的单调区间求下列函数的单调区间1.f(x)=2x36x2+7 2.f(x)=+2x x13. f(x)=sinx , x4. y=xlnx2 , 02课本课本 P101练习练习 五回顾总结五回顾总结 （1）函数的单调性与导数的关系（2）求解函数单调区间( )yf x（3）证明可导函数在内的单调性 f x,a b来源来源: 六布置作业六布置作业
