《线性代数第二章矩阵2.4矩阵的初等变换和矩阵的秩》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数第二章矩阵2.4矩阵的初等变换和矩阵的秩（56页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1,2.4 矩阵的初等变换与矩阵的秩,主要内容,3.初等变换求逆矩阵,1.矩阵的初等变换,2.矩阵的秩,矩阵的初等变换是矩阵分析的重要工具，在 线性代数中有十分广泛的应用，所以必须熟练掌 握矩阵初等变换的方法。,2,1. 矩阵的初等变换,一. 矩阵的初等变换,定义2.14,下面三种变换称为矩阵的初等行变换:,3,同理可定义矩阵的初等列变换 (把“r”换成“c”),矩阵的初等变换包括,初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同,逆变换,逆变换,逆变换,4,等价关系的性质：,具有上述三条性质的关系称为等价,定义,5,阶梯型矩阵：（1）零行位于最下方（如果有零行的话）；（2）非零行的首非零元的列
2、标随行标的递增而严格增加。,6,行最简型阶梯矩阵： （1）非零行的第一个元素是1； （2）非零行首非零元素所在列的其它元素都为零,定理2.5： 对任何非零矩阵A总可以经过有限次的初等行变换化为行阶梯矩阵与行最简型阶梯矩阵,推论：任意可逆矩阵也可以经过有限次的初等行变换化为单位矩阵.,7,解,例2 将 化为单位矩阵.,例2 将 化为单位矩阵.,8,注意1 行最简形阶梯矩阵再经过初等列变换，即可化成 标准形矩阵,定义2.17 若一个矩阵具有如下特征：,（1）位于左上角的子块是一个 r 阶的单位矩阵；,（2）其余的子块都是零矩阵；,则称为标准形矩阵,定理2.6 任意非零矩阵都可经过初等变换化为标准形
3、矩阵.,9,例如，,10,注意 2 行最简形阶梯矩阵可以是不唯一的，但标准形矩阵是唯一的,注意 3 有时仅用初等行变换或初等列变换不一定能将矩阵化为标准形矩阵,二.矩阵秩的概念,梯形，行阶梯形矩阵中非零行的行数是唯一确定的.它反映了矩阵的一个本质特征 矩阵的秩.,任何矩阵总可经过有限次初等行变换把它变为行阶,11,则,都是A的全部4个3阶子式.,12,13,例3,解,14,例4,解,15,问题：经过变换的矩阵秩变吗？,推论,定理2.7,矩阵的初等行变换不改变矩阵的秩.,矩阵的初等列变换不改变矩阵的秩.,16,17,18,经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变,19
4、,证毕,20,例5,解,计算A的3阶子式，,21,另解,显然，非零行的行数为2，,此方法简单！,22,定义2.20 由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.,三种初等变换对应着三种初等方阵.,3.初等变换求逆矩阵,(1) 对调两行或两列，得初等对换矩阵。,(1)初等矩阵,23,24,25,26,初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。,27,初等变换,初等矩阵,初等逆变换,初等逆矩阵,例6 计算,28,29,定理2.8,证明,具体验证即可,30,另两种情形同理可证,31,一般记法：,32,例7 (1) 设初等矩阵,解,33,34,35,解,36,定理2.9,n 阶矩阵可逆的充要条件是
5、 A 可以表示成初等,矩阵的乘积.,证明,充分性是显然的，下面证明必要性.,若A可逆，则存在一系列的初等矩阵 ，使得,因为初等矩阵可逆，且逆矩阵也是初等矩阵，从而,推论,如果对可逆矩阵 A 和同阶单位矩阵 E 作同样的初等,行变换，那么当A 变成单位矩阵E 时，E 就变成 。,初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵，定理得证。,37,即，,等号两边右乘,即，,若A可逆，则存在一系列的初等矩阵 ，使得,38,(2)初等变换求逆矩阵,由推论，利用初等行变换求可逆矩阵A的逆矩阵,解,39,40,41,注意7 若作初等行变换时,出现全行为0，则矩阵的行列式等于0。结论：矩阵不可逆!,求逆时,若用初等行变换必须坚
6、持始终,不能夹杂任何列 变换.,注意6,即,初等行变换,注意8 利用初等行变换求逆矩阵的方法还可用于求矩阵,42,例9,解,方法1：先求出 ，再计算 。,方法 2： 直接求 。,43,44,若,45,又，,46,解,例10,47,48,49,例11 将矩阵A表示成三个初等矩阵的乘积。,解,50,51,2. 利用初等变换求逆阵的步骤是:,小结：,52,3.要求掌握内容,(1)掌握三种初等变换及与之对应的三种初等矩阵. 做到给出变换会写相应的初等矩阵,反之亦然.,(2)明确初等矩阵与其他矩阵做乘积的含义.,(3)会用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵.,53,思考题,将矩阵表示成有限个初等矩阵的乘积,思考题解答,因为A可逆，所以存在初等矩阵,使得,54,55,56,
