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1、,电路基础,主编 黄学良,5. 1 非正弦周期量的傅里叶级数展开,5. 3 非正弦周期电流电路的分析,5.4 对称三相电路中的高次谐波,5. 2 非正弦周期量的有效值、平均值和平均功率,第5章 非正弦周期电流电路,5. 1 非正弦周期量的傅里叶级数展开,5. 1. 1 非正弦周期信号,线性电路 且 一个或多个同频正弦电源，则稳态响应是同频的正弦量。,非线性电路 或 非正弦电源 ，则稳态响应是非正弦量。,常见的非正弦周期量：,脉冲波形,方波,尖顶波 (如：电机的磁化电流),半波整流波形,二极管整流电路及波形,非正弦量可分为周期量与非周期量两种,非正弦周期电源作用于线性电路的情况,本章主要讨论,1
2、、将非正弦周期电源分解成一系列不同频率的正弦量； (应用周期函数的傅里叶级数分解方法),2、计算在各个正弦量单独作用下的电路的响应；,3、将各个响应按时域形式叠加。(线性电路的叠加定理),实质就是将非正弦周期电流电路的计算化为一系列正弦电流电路的计算。,线性非正弦周期电流电路的计算方法，即谐波分析(Harmonic Analysis)。其过程:,周期性的电源(信号)可以用周期函数表示：,f(t)=f(t+kT),T为周期，k=0,1,2。,由数学分析可知，若f(t)满足狄里赫利条件，则可以展开成收敛的傅里叶级数：,式中,5. 1. 2 周期函数分解为傅里叶级数,角频率,傅里叶系数,式中,恒定分
3、量（或直流分量）,Akmcos(kt+k)称为f (t)的k次谐波分量，第2项A1mcos(t+1)称为1次谐波(或基波)，周期为T；其余各项统称为高次谐波。,高次谐波频率是基波的整数倍，习惯上将k为奇数的分量称为奇次谐波，将k为偶数的分量称为偶次谐波。,利用周期函数的对称性，可以简化系数a0、ak、bk的确定。,偶函数 ：f(t)=f(-t)，波形对称于纵轴，则bk=0,奇函数 ：f(t)=-f(-t)，波形对称于原点，则ak=0,奇谐波函数：f(t)=f(t+T/2)，波形具有镜对称性，则a2k=b2k=0,函数的奇偶性不仅与波形有关，还与计时起点的选择有关，计时起点的选择不同，函数的奇、
4、偶性质也不同。因此适当选择计时起点有时会使函数的分解简化。但是函数是否为奇谐波函数与计时起点的选择无关，只决定于函数的波形是否为半波对称。,例,求图中周期性方波信号f ( t )的傅里叶级数展开式。,解,求f ( t )在一个周期内的表达式,f ( t )为奇函数,ak = 0,傅里叶级数是一个无穷三角级数，实际运算中，只能截取有限的项数，具体运算时截取多少项，要根据精度的要求和电路的频率特性来确定。,为了表示一个非正弦周期函数分解为傅里叶级数后包含哪些频率分量以及各频率分量的相对大小，将各谐波振幅Akm随角频率k变动的情形用图形表示，称为幅度频谱( Amplitude Spectrum)。,
5、频谱,将各谐波初相km随角频率k变动的情形用图形表示，就得到相位频谱( Phase Spectrum)。,由于各谐波的角频率是的整数倍，所以相邻两谱线的间隔也是频率的整数倍，这种谱线间具有一定间隔的频谱称为离散频谱，有时又称为线频谱。,5. 2 非正弦周期量的有效值、平均值和平均功率,有效值的一般定义(以电流i为例)：,5. 2. 1 有效值,对于正弦电流,对于非正弦周期电流，假设可以展开成下列傅里叶级数形式：,电流的有效值为,展开式平方后将得到下列两种类型的积分项：一种是谐波自乘积积分项，一种是谐波交叉乘积积分项，分别为,谐波交叉乘积积分项为零是根据三角函数的正交性,非正弦周期电流i的有效值
6、为,式中 为k次谐波的有效值,同理，非正弦周期电压的有效值为,非正弦周期量的有效值等于它的恒定分量与各次谐波分量有效值的平方和的平方根。,平均值的定义(以电流i为例)：,此“平均”的含义与平均功率中“平均”的含义有些不同。,正弦电流的平均值为,相当于正弦电流经全波整流后的平均值,5. 2. 2 平均值,非正弦周期电流的测量,用不同类型的仪表测量同一个非正弦周期电流，会得到不同的结果：,(a) 磁电系仪表，偏转角 。故测量结果是电流的恒定分量I0。,(c) 全波整流仪表，偏转角 Iav 。故测量结果是电流的平均值。,(b) 电磁系仪表，偏转角 。故测量结果是电流的有效值I 。,因此，在测量非正弦
7、周期电流和电压时，要注意选择合适的仪表。,当 u、i 取关联参考方向，则任意一端口吸收的瞬时功率为：,5. 2. 3 平均功率,u和i如为同频率的非正弦周期量，其傅里叶级数形式分别为,式中,即平均功率等于恒定分量的功率和各次谐波平均功率的代数和,则平均功率P为： (平均功率的定义与前述平均值的定义有所不同),利用三角函数的正交性：同频率电压与电流谐波的乘积在一个周期内积分不为零，不同频率电压与电流谐波的乘积上述积分为零。化简可得：,若某电阻中流过的非正弦周期电流的有效值为I,该电阻吸收的平均功率,例,解,已知某一端口网络的端口电压和电流均为非正弦周期量,u、i的有效值分别为,A,V,求此一端口
8、网络端口电压、电流的有效值和吸收的平均功率,一端口网络吸收的平均功率为,A,V,5. 3 非正弦周期电流电路的分析,1、把给定的非正弦周期性电源电压或电流分解为傅里叶级数，高次谐波取到哪一项，要根据所要求的精度以及电路的频率特性来确定。,2、分别计算电路在电源电压或电流的恒定分量和各次谐波分量单独作用下的响应。,如前述，分析非正弦周期电流电路的方法一般用谐波分析法：,在恒定分量作用下，电感等效为短路，电容等效为开路，可应用直流电阻电路的计算方法求解。,在各次谐波作用下电路为正弦电流电路，可应用相量法求解。应该注意的是电感、电容元件对于不同频率的谐波呈现不同的电抗，所以必须分别计算各次谐波的响应
9、。,3、根据叠加定理，把恒定分量和各次谐波分量响应的瞬时值进行叠加，其结果就是电路在非正弦周期电源激励下的稳态响应。,注意：把表示不同频率正弦电流或电压的相量直接相加是没有意义的。,设基波感抗和容抗为,则对k次谐波，其感抗和容抗为,例1.,RLC串联电路,R 11，L 0.015H，C 80F,V,求电路中的电流i( t )和电路消耗的功率,解,( 1 ) 直流U0 = 11V作用时，L为短路，C为开路， I0 = 0，P0 = 0,( 2 ) 基波作用时,所以,( 3 ) 二次谐波作用时,所以,电路中的电流i( t )为,电路消耗的功率为,例2.,电路中 R1 1， R 2 3 ，L 2H，
10、IS 4A,求电流i的有效值及两个电源各自提供的功率,解,1、令直流电源单独作用,电流i中的直流分量为,电流源IS的端电压,电流源IS发出的平均功率为,电感短路，,2、令uS单独作用,uS发出的平均功率为,uS和IS共同作用，有,电流i的有效值为,对称三相非正弦周期电源电压的频率相同，变化规律相似，即波形相同，在时间上依次互差1/3周期，可表示为,5.4 对称三相电路中的高次谐波,由于发电机的每相电压为奇谐波函数，三相电路的非正弦波通常都是半波镜像对称的，所以其傅里叶级数只含奇次谐波,将uA、uB、uC分解成傅里叶级数为,谐波次数k为奇数,将上述各式展开，即,相序A-B-C：正序对称组,同相：
11、零序对称组,相序A-C-B：负序对称组,正序对称组：1、7、13、19、 (6n+1次谐波),负序对称组：5、11、17、23、 (6n-1次谐波),零序对称组：3、9、15、21、 (6n-3次谐波),发电机(电力系统)的电压波形中不含偶次谐波分量。,相量图：,一 . Y-Y连接,线电流(Y-Y)：无零序,负载端(Y-Y)：,相电压：无零序,线电压：无零序,中点电压：只有零序,线电流(Y-Y0)：有正、负、零序,负载端(Y-Y0)：,相电压：有正序、负序、零序,线电压：无零序,中点电压：零,中线电流：只有零序,Y-Y,(无中线),Y-Y,(有中线),二. - 连接 (即电源侧连接),由于环流在阻抗上的压降与零序的相电压抵消，故线电压中无零序。 线电流中也无零序。,沿电源回路的电压之和为：,即电源回路的电压之和为零序电压(6n-3次)。零序电压会形成环流，有效值为：,，Z3为3次谐波下电源的阻抗,，Z9为9次谐波下电源的阻抗,线电流：无零序,电源端：,线电压：无零序,负载端：,相电压：无零序,线电压：无零序,相电流：有正序、负序、零序,相电压：无零序 (若电源开路，则含正、负、零序),例,本章结束,
