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1、上海市吴淞中学上海市吴淞中学 2011-2012 学年高二上学期期末考试学年高二上学期期末考试（数学）（数学）（满分 150 分，考试时间 120 分钟） 一填空题（本大题满分一填空题（本大题满分 5656 分）本大题共有分）本大题共有 1414 题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直 接填写结果，每个空格填对得接填写结果，每个空格填对得 4 4 分，否则一律得零分。分，否则一律得零分。1.若向量( 1,2)a ，(2,1)b ，则2ab 等于 52.正方体1111DCBAABCD 中，与直线1AD异面，且与1AD所成角为60的面对角线共有 条43.增广矩
2、阵为 111311的线性方程组的解为_. 12 yx4.行列式 987654321中元素 8 的代数余子式为_.6431=65.已知|a|4,|b |2,a与b 的夹角为3，则b 在a上的投影为_.16.已知极限nnx)1 (lim 存在，则实数x的取值范围是_.0 , 2(7.球的表面积为2cm 16，则球的体积为_3cm.32 3 8.已知21,ee是两个不共线的平面向量，向量)(,22121Reebeea，若ba/，则_219.已知数列 na中，43, 411nnaaa，则数列 na的前n项和nS= .nSan nn n213, 232110.若取地球的半径为6371米，球面上两点A位于
3、东经721210，北纬8310，B位于东经721210，北纬5250，则A、B两点的球面距离为_千米(结果精确到 1 千米) 67311.已知正数数列 na（nN）定义其“调和均数倒数”12111n naaaVn （nN） ，那么当1 2nnV时，2012a=_.2012112.如图，由编号1，2，n，（*nN且3n）的圆柱自下而上组成其中每一个圆柱的高与其底面圆的直径相等，且对于任意两个相邻圆柱，上面圆柱的高是 下面圆柱的高的一半若编号 1 的圆柱的高为4，则所有圆柱的体积的和为_（结果保留） 128 7 13.若na是等差数列，, ,m n p是互不相等的正整数，有正确的结论：()()()
4、0pmnmn anp apm a，类比上述性质，相应地，若等比数列 nb，, ,m n p是互不相等的正整数，有_.1mp npn mnm pbbb14.如图 1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点 P.如果将容器倒置，水面也恰好过点P（图 2）.有下列四个命题：A.正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半;B.将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P;C任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P;D.若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满.其中真命题的代号是：_（写出所有真命题的代号） B,D二选择题（本大题满分二选择题
5、（本大题满分 2020 分）本大题共有分）本大题共有 4 4 题，每题有且只有一个正确答案。考生必须题，每题有且只有一个正确答案。考生必须 在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 5 分，否则一律得零分。分，否则一律得零分。15.用一个平面去截正方体，所得截面不可能是 （ D ）A.平面六边形 B.菱形 C.梯形 D.直角三角形16.如图，P为正方体1111DCBAABCD 的中心，PAC在该正方体各个面上的射影可能是（ C ）ABCDA1B1C1D1P(1)(2)(3)(4)A.(1)、(2)、(3)、(4) B.(1)、
6、(3) C.(1)、(4) D.(2)、(4) 17.给出下列命题：(1)三点确定一个平面；(2)在空间中，过直线外一点只能作一条直线与该直线平行；(3)若平面上有不共线的三点到平面的距离相等，则/；(4)若直线cba,满足caba ,则cb/.其中正确命题的个数是 ( B )A.0 B1 C2 D3 18.点O在ABC所在平面内，给出下列关系式：（1）0OCOBOA；第 12 题12n3PP图12图 第 14 题（2）OAOCOCOBOBOA；（3）0 BABABCBCOB ABABACACOA；（4）0)()(BCOCOBABOBOA则点O依次为ABC的 （ C C ） A内心、外心、重心
7、、垂心 B重心、外心、内心、垂心 C重心、垂心、内心、外心 D外心、内心、垂心、重心 三解答题（本大题满分三解答题（本大题满分 7474 分）本大题共有分）本大题共有 5 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤。规定区域内写出必要的步骤。 19.（本题满分（本题满分 1212 分）分） 用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，如图，已知该圆锥的母线与底面所在平面的夹角为045，容器的高为cm10.制作该容器需要多少面积的铁皮?该容器的容积又是多少?(衔接部分忽略不计,结果精确到21 . 0 cm)解:由已知得该容器的底面半径10r,母
8、线,210/h其侧面积)(3 .44421002/cmrhS侧;其体积)(2 .104731000 3132cmhrV答:该容器需要铁皮的面积约是23 .444 cm,该容器的容积约是32 .1047 cm.20.（本题满分（本题满分 1414 分）分）(文科同学做)已知1111ABCDABC D是底面边长为 1 的正四棱柱，高12AA .求： 异面直线BD与1AB所成的角的大小（结果用反三角函数表示） ； 四面体11AB DC的体积.解: 连1111,BD AB B D AD， 1111/,BDB D ABAD， 异面直线BD与1AB所成角为11AB D，记11AB D，222 111111
9、110cos210ABB DAD ABB D 异面直线BD与1AB所成角为10arccos10. 连11,AC CB CD，则所求四面体的体积1 1 111 111242433ABCD A B C DC B C DVVV .20.(理科同学做)已知1111ABCDABC D是底面边长为1 的正四棱柱，1O是11AC和11B D的交点.设1AB与底面1111ABC D所成的角的大小为，二面角111AB DA的大小为,试确定tan与tan的一个等量关系,并给出证明;若点C到平面11AB D的距离为4 3，求正四棱柱1111ABCDABC D的高.解：设正四棱柱的高为h. 连1AO，1AA 底面11
10、11ABC D于1A， 1AB与底面1111ABC D所成的角为11AB A，即11AB A. 11ABAD，1O为11B D中点，111AOB D，又1111AOB D， 11AO A是二面角111AB DA的平面角，即11AO A. 111tanAAhAB，111tan22 tanAAhAO. 建立如图空间直角坐标系，有11(0,0, ),(1,0,0),(0,1,0),(1,1, )Ah BDChO1DCBAD1C1B1A1A1B1C1D1ABCDO1zyxA1B1 C1D1ABCDO111(1,0,),(0,1,),(1,1,0)ABh ADh AC 设平面11AB D的一个法向量为(
11、 , , )nx y z ， 111100nABn ABnADn AD ，取1z 得( , ,1)nh h 点C到平面11AB D的距离为 22|04 3|1n AChhdnhh ，则2h .21.（本题满分（本题满分 1414 分）分）已知向量),(),(aanaamxx，其中0a且1a，（1）当x为何值时，nm ；（2）解关于x的不等式nmnm.22.（本题满分（本题满分 1616 分）分）如图，在四棱锥ABCDP 中，底面ABCD是矩形已知60,22, 2, 2, 3PABPDPAADAB（1）证明AD平面PAB；（2）求异面直线PC与AD所成的角的大小； （3）求二面角ABDP的大小解
12、:（1）证明：在PAD中，由题设22, 2PDPA可得222PDADPA于是PAAD .在矩形ABCD中，ABAD .又AABPA，所以AD平面PAB（2）解：由题设，ADBC /，所以PCB（或其补角）是异面直线PC与AD所成的角. 在PAB中，由余弦定理得7cos222PABABPAABPAPB由（1）知AD平面PAB，PB平面PAB，所以PBAD ，因而PBBC ，于是PBC是直角三角形，故27tanBCPBPCB所以异面直线PC与AD所成的角的大小为27arctan23.（本题满分（本题满分 1818 分）分）各项均为正数的数列na的前n项和为nS，满足)() 1(2*2NnaaSnn
13、n.（1）求数列na的通项公式；（2）若数列nb满足)(2, 2* 11Nnbbbnn，数列nc满足)(,2, 12,*Nkknbknacnn n ，数列nc的前n项和为nT，求nT；（3）若数列)(244*2 NnnnPn，甲同学利用第（2）问中的nT，试图确定)(* 22NkPTkk的值是否可以等于 2011？为此，他设计了一个程序（如图） ，但乙同学认为这个程序如果被执行会 是一个“死循环” （即程序会永远循环下去，而无法结束） ，你是否同意乙同学的观点？请说 明理由.解：（1）2) 1(2 , 1112 11aaaSn, 2n,nnnaaS2) 1(2,12 11) 1(2nnnaaS,两式相减，得12 122nnnnnaaaaa,1, 01nnnaaa, na为等差数列，首项为 2，公差为 1,1nan .（2）nb是首项为 2，公比为 2 的等比数列，n nb2 46810121422011,2011ddddddd 且2011,2011(nnndTPn即为偶数）乙同学的观点正确.高考资源网w w 高 考 资源 网
