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1、专题六专题六 几何探究题的解题思路几何探究题的解题思路一、方法简述一、方法简述随着中考的改革,几何的综合题不再是定格在”条件-演绎-结论”这样封闭的模式中,而是必须利用题设大胆猜想、分析、比较、归纳、推理,或由条件去探索不明确的结论,或由结论去探索未给予的条件,或讨论存在的各种可能性;探索图形的运动、变换规律更是中考的热点题型.解决此类问题,数学思想的合理应用起着关键性的作用,一个题目往往需要几个思想方法交织应用.二、思想方法二、思想方法1.分类讨论思想分类讨论思想分类讨论思想是数学中的重要思想方法之一，数学中的许多问题由于题设交代笼统，需要进行讨论，另外由于题意复杂，包含情况多也需要讨论。分
2、类是按照数学对象的相同点或差异点，将数学对象分为不同种类的方法，其目的是复杂问题简单化。正确的分类必须周全，不重不漏；分类的原则是：（1）分类中的每一部分必须是独立的；（2）一次分类必须是一个标准；（3）分类讨论应逐级进行。2.2.数形结合思想数形结合思想数型结合就是将数和有关的图形结合起来，通过对图形的研究探索数量之间的关系，从而达到解决问题的方法。利用数型结合思想，可以将复杂的形化为具体的数，由形索数，由数导形，将数形有机地结合起来，加强数形思想的训练，对巩固数学知识，提高问题的解决能力，至关重要。3.3.函数与方程思想函数与方程思想函数关系是指某个变化过程中两个变量之间的对应关系，方程是
3、由已知量和未知量构成的矛盾的统一体，它是由已知探知未知的桥梁，从分析问题的数量关系入手，抓住问题的函数关系或等量关系，用数学语言将函数或等量关系转化为函数关系式或方程式，在通过函数的性质或方程的理论使问题获得解决的思想方法，就称为函数与方程思想。4.4.转化与化归思想转化与化归思想转化与化归思想，也是初中数学常用的思想方法之一，是将不熟悉的问题转化、归结成熟悉问题的思想方法，就是将待解决的问题，通过分析、联想、类比等过程，选择恰当的方法进行变换，转化到已解决或比较容易解决的问题上，最终达到解决问题的目的，解决问题的过程图 3yxOPDCBA图 2PDCBA图 1PDCBA实际上就是转化的过程。
4、转化与化归原则主要有：熟悉化原则、简单化原则、直观性原则、正难则反原则。三、典例分析三、典例分析 例 1: 阅读理解：阅读理解：如图 1，在直角梯形中，,ABCDABCDO90B 点在边上，当时，PBCO90APD 易证，从而得到.ABPPCDCDABPCBP 解答下列问题：（1）模型探究：模型探究：如图 2，在四边形中，ABCD 点在边上，当=时，PBCBCAPD 求证：；CDABPCBP（2）拓展应用：拓展应用：如图 3，在四边形中，ABCD=,4,AB 6,CD10,BCBO60C 于点，以为原点，以所在的直线AOBCOOBC 为轴，建立平面直角坐标系，点为线段上一动点（不与端点、重合）
5、 xPOCOC 当时，求点的坐标；OAPD60P 过点作，交轴于点，设，求与的函数关系式，PPEPDyExOP yOE yx并写出自变量的取值范围x(1)证明：如图 2，1=180 -B-2 3=180 -APD-2 B=APD001=3 又B=C ABPPCD CDBP PCABCDABPCBP(2) 如图 3，当APD=60 时 OB=0221AB设 P 点坐标为（x，0） ， （0 x8）则 BP=2+x，PC=8-x图 3图 2yxE2E1M P2P1PODCBA321321PDCBAB=C=APD=600 即（2+x）(8-x)= 解得：x =2, =4CDABPCBP6412x点
6、P 的坐标为 P（2，0）或 P（4，0） 解法一：如图 3，过点 D 作 DMx 轴于点 M则 CM=，DM= OM=5321CD33()当点 P 在线段 OM 上设为 P ，P M=x-5 (0x5)11E OP =DMP =E P D=90111110OP P M=OE DM 即)= (0x5)111xx5(33yxxy935 932() 当点 P 在线段 CM 上设为 P , P M=x-5 (5x8)221+3=90 2+3=90 1=2 RtE OPRtP MD00 222 即 x(x-5)= DMOP MPOE222DMOEMPOP22233y (5x8)xxy935 932解法
7、二：如图 3，过点 D 作 DMx 轴于点 M则 CM=，DM= OM=5 D(5，)321CD3333()当点 P 在线段 OM 上设为 P ，P M=5-x (0x5) 连接 DE；11 即 -x) + () =(-y) +5 2 12 12 11DEDPPEx5(22y23323322 (0x5)xxy935 932() 当点 P 在线段 CM 上设为 P , P M=x-5 (5x8) 连接 DE222 即-5) + () =(+y) +52 22 22 22DEDPPExxy(2223323322 (5x8)xxy935 932评析:本题通过“阅读理解模型探究拓展应用”三环节问题设置
8、，实际上向学生展示 3 2PNM FEDCBAPFEDCBA 1FEODCBA了一个研究具有一般性问题的较完整的过程：先从这个一般性问题的“特殊” （图 1 为直角情形）入手，到“一般” （图 2 为非直角情形） ；再从“一般” （问题（2）上升到新背景中的“特殊” （问题（2） ，使学生经历了“特殊一般特殊”由浅入深、归纳与演绎交替变化的思维过程.试题在第一环节中提供了 “易证, ”的启示，学生在解破ABPPCD“易证”中的具有广泛意义的思考或研究方法（即所谓“一般性方法” ）后，就能类比解决后续的各个问题.考查学生利用类比方法进行自主探究学习的能力.本题的价值不仅在于环环相扣、层层推进的精
9、彩设置，更在于其本身突出地展示着“一般性方法”的深刻含义和普遍适用性，能掌握并善于运用一般性方法，就显示出较高的数学学习能力. 例例 2. 已知菱形的边长为 1，等边两边分别交边、ABCD060ADCAEFDC于点、.CBEF（1）特殊发现：如图 1，若点、分别是边、的中点，求证：菱形对角线EFDCCBABCD、的交点即为等边的外心；ACBDOAEF（2）若点、始终在分别在边、上移动，记等边的外心为点.EFDCCBAEFP猜想验证：如图 2，猜想的外心落在哪一直线上，并加以证明；AEFP拓展运用：如图 3，当面积最小时，过点任作一直线分别交边于点，AEFPDAN交边的延长线于点，试判断是否为定
10、值，若是，请求出该定值；若不DCM11 DMDN是，请说明理由解：（1）证明：如图 1，分别连接、OEOF 四边形是菱形ABCD ,平分，ACBD BDADCBCDCADOAODCOBCOD90OOADCADO306021 21又、分别为、中点EFDCCB、CDOE21BCOF21ADAO21O图 1FEDCBA 点即为的外心OAOFOEOAEF（2）猜想：外心一定落在直线上PDB证明：如图 2，分别连接、，过点分别作于，于.PEPAPPICDIPJADJ则 OPJDPIE90OADC60JDIPJDPIEIPJO360 OOOOOIPJ120609090360点是等边的外心，PAEF，OEP
11、A120PAPE EPAIPJJPAIPJ PIEPJAPJPI 点在的平分线上，即点落在直线上PADCPDB分析：证点落在的平分线上，也就证明点到直线、的距离相等，如PADCPADAC此便可构造两个直角三角形证明全等。若考虑对角互补，便可联想到四点共圆，从而利用圆的性质便有下面两种解法。另解法一：分别连接、 四边形是菱形,PAPCPDABCDOADC60,OBCD120CDAD 点是等边的外心，PAEF, OEAF60OBCEEAF180、四点共圆，AFCEPCPA DCDA CDPADP ADPCDP 落在的平分线上.即点落在直线上.PADCPDB另解法二：:分别连接、PAPEPD 点是等
12、边的外心PAEF，OEPA120PAPE OPEA30OEPAADC180、 四点共圆.APEDOPEAPDA30图 2JI PFEDCBA图 3PFEDCBA图 4PFEDCBA图 5PMGFEDCBAN落在的平分线上.即点落在直线上.PADCPDB为定值 211 DMDN当时，面积最小，AEDCAEF 此时点、分别为、中点EFDCCB 连接、交于点，由（1）BDACP 可得点即为的外心PAEF解法一：如图，设交于点MNBCG设，则,(0,0)DMx DNy xy1CNy，且，是的中点 BCDADABC PBDGBPMDPxDMBG xCG1BCDANCGNDM 即DMCG DNCNxx y
13、y11xyyx2211yx211DNDM分析：观察图形，得到结论，把 1 用或代替，把要计算的线段或相CGAM ADCD 关线段集中到两个相似的三角形，中，并把长度用字母表示，化简含字母的NCGNDM 代数式从而得到结论。依据此策略，可得到解法二、三、四。解法二：如图，连接 点、分别为、的中点PEPEACDC，21 21DAPEPEDA NEPNDMDMEP NDNE设，则 ,DMx DNy21 yNExyy21 21 yxxy21 21211211DNDMyx，则解法三：过点作直线交于点，GGHCDADH GHCDHMGDMN DMHM DNHGDMDMDM DMAMDM DN)1 (121
14、1DNDM图 6PNMGFEDCBAH 图 7PNMGFEDCBA解法四：过点作直线交于点，过点作交于.CCKMNBDKAAHMNBDH ， CKMNAHMN，DCKDNPDMPDAH， ， DPDK DNDCDPDH DMDADPDK DN1 DPDH DM1DPDHDK DNDM11由得：CKPAHPHPKP DPDHDK2211DNDM解法五：如图，过点作于，于，则PPIDCIPJDAJ3 4PIPJ DMNDMPDNPSSSoDNDMPJDMPIDN60sin21 21 21 23 21 43 21 43 21DNDMDMDN DNDMDNDM2211DNDM分析：因为，而正与的面积有关，其中11DMDN DMDNDMDNDMDNDMN，也可以看成是将分为和后，计算面积过程中涉及的底边。DMDNDMNDNPDMP 这种对所求的结论作等份变形，找寻解题思路的方法是我们分析问题时常采用的一种重要方法。解法六：如图 4，以点为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系DDAx设直线的解析式为MNykxb可求得点的坐标为 P33
