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1、线性代数知识点总结线性代数知识点总结1 行列式行列式（一）行列式概念和性质（一）行列式概念和性质1、逆序数：所有的逆序的总数2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质：（用于化简行列式）（1）行列互换（转置） ，行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数 k，等于用数k 乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。（5）一行（列）乘 k 加到另一行（列） ，行列式的值不变。（6）两行成比例，行列式的值为 0。（二）重要行列式（二）重要行列式4、上（下）三角
2、（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace 展开式：（A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩阵） ，则7、n 阶（n2）范德蒙德行列式数学归纳法证明8、对角线的元素为 a，其余元素为 b 的行列式的值：（三）按行（列）展开（三）按行（列）展开9、按行展开定理：（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于 0（四）行列式公式（四）行列式公式10、行列式七大公式：（1）|kA|=kn|A|（2）|AB|=|A|B|（3）|AT|=
3、|A|（4）|A-1|=|A|-1（5）|A*|=|A|n-1（6）若 A 的特征值1、2、n，则 （7）若 A 与 B 相似，则|A|=|B|（五）克莱姆法则（五）克莱姆法则11、克莱姆法则：（1）非齐次线性方程组的系数行列式不为 0，那么方程为唯一解（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为 0（3）若齐次线性方程组的系数行列式不为 0，则齐次线性方程组只有 0 解；如果方程组有非零解，那么必有 D=0。2 矩阵矩阵（一）矩阵的运算（一）矩阵的运算1、矩阵乘法注意事项：（1）矩阵乘法要求前列后行一致；（2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若 B
4、=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律）（3）AB=O 不能推出 A=O 或 B=O。2、转置的性质（5 条）（1） （A+B）T=AT+BT（2） （kA）T=kAT（3） （AB）T=BTAT（4）|A|T=|A|（5） （AT）T=A（二）矩阵的逆（二）矩阵的逆3、逆的定义：AB=E 或 BA=E 成立，称 A 可逆，B 是 A 的逆矩阵，记为 B=A-1注：A 可逆的充要条件是|A|04、逆的性质：（5 条）（1） （kA）-1=1/kA-1 (k0)（2） （AB）-1=B-1A-1（3）|A-1|=|A|-1（4） （AT）-1=（A-1）T（5） （A-1）-1=A5、
5、逆的求法：（1）A 为抽象矩阵：由定义或性质求解（2）A 为数字矩阵：（A|E）初等行变换（E|A-1）（三）矩阵的初等变换（三）矩阵的初等变换6、初等行（列）变换定义：（1）两行（列）互换；（2）一行（列）乘非零常数 c（3）一行（列）乘 k 加到另一行（列）7、初等矩阵：单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵。8、初等变换与初等矩阵的性质：（1）初等行（列）变换相当于左（右）乘相应的初等矩阵（2）初等矩阵均为可逆矩阵，且 Eij-1=Eij（i，j 两行互换） ；Ei-1（c）=Ei（1/c） （第 i 行（列）乘 c）Eij-1（k）=Eij（-k） （第 i 行乘 k 加到 j）（四
6、）矩阵的秩（四）矩阵的秩9、秩的定义：非零子式的最高阶数注：（1）r（A）=0 意味着所有元素为 0，即 A=O（2）r（Ann）=n（满秩） |A|0 A 可逆；r（A）n|A|=0A 不可逆；（3）r（A）=r（r=1、2、n-1）r 阶子式非零且所有 r+1 子式均为 0。10、秩的性质：（7 条）（1）A 为 mn 阶矩阵，则 r（A）min（m,n）（2）r（AB）r（A）（B）（3）r（AB）minr（A） ，r（B）（4）r（kA）=r（A） （k0）（5）r（A）=r（AC） （C 是一个可逆矩阵）（6）r（A）=r（AT）=r（ATA）=r（AAT）（7）设 A 是 mn 阶
7、矩阵，B 是 ns 矩阵，AB=O，则 r（A）+r（B）n11、秩的求法：（1）A 为抽象矩阵：由定义或性质求解；（2）A 为数字矩阵：A初等行变换阶梯型（每行第一个非零元素下面的元素均为 0） ，则 r（A）=非零行的行数（五）伴随矩阵（五）伴随矩阵12、伴随矩阵的性质：（8 条）（1）AA*=A*A=|A|E A*=|A|A-1（2） （kA）*=kn-1A*（3） （AB）*=B*A*（4）|A*|=|A|n-1（5） （AT）*=（A*）T（6） （A-1）*=（A*）-1=A|A|-1（7） （A*）*=|A| n-2A（8）r（A*）=n （r（A）=n） ；r（A*）=1 （r
8、（A）=n-1） ；r（A*）=0 （r（A）n-1）（六）分块矩阵（六）分块矩阵13、分块矩阵的乘法：要求前列后行分法相同。14、分块矩阵求逆：3 向量向量（一）向量的概念及运算（一）向量的概念及运算1、向量的内积：（，）=T=T2、长度定义： |= 3、正交定义：（，）=T=T=a1b1+a2b2+anbn=04、正交矩阵的定义：A 为 n 阶矩阵，AAT=E A-1=AT ATA=E |A|=1（二）线性组合和线性表示（二）线性组合和线性表示5、线性表示的充要条件：非零列向量 可由 1，2，s线性表示(1)非齐次线性方程组（1，2，s） （x1，x2，xs）T= 有解。(2)r（1，2，
9、s）=r（1，2，s，） （系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，用于大题第一步的检验）6、线性表示的充分条件：（了解即可）若 1，2，s线性无关，1，2，s， 线性相关，则 可由1，2，s线性表示。7、线性表示的求法：（大题第二步）设 1，2，s线性无关， 可由其线性表示。（1，2，s|）初等行变换（行最简形|系数）行最简形：每行第一个非 0 的数为 1，其余元素均为 0（三）线性相关和线性无关（三）线性相关和线性无关8、线性相关注意事项：（1） 线性相关=0（2）1，2线性相关1，2成比例9、线性相关的充要条件：向量组 1，2，s线性相关（1）有个向量可由其余向量线性表示；（2）齐次方程（1，2，
10、s） （x1，x2，xs）T=0 有非零解；（3）r（1，2，s）s 即秩小于个数 特别地，n 个 n 维列向量 1，2，n线性相关（1） r（1，2，n）n（2）|1，2，n |=0（3）（1，2，n）不可逆10、线性相关的充分条件：（1）向量组含有零向量或成比例的向量必相关（2）部分相关，则整体相关（3）高维相关，则低维相关（4）以少表多，多必相关推论：n+1 个 n 维向量一定线性相关11、线性无关的充要条件向量组 1，2，s 线性无关（1）任意向量均不能由其余向量线性表示；（2）齐次方程（1，2，s） （x1，x2，xs）T=0 只有零解（3）r（1，2，s）=s特别地，n 个 n 维
11、向量 1，2，n 线性无关r（1，2，n）=n |1，2，n |0 矩阵可逆12、线性无关的充分条件：（1）整体无关，部分无关（2）低维无关，高维无关（3）正交的非零向量组线性无关（4）不同特征值的特征向量无关13、线性相关、线性无关判定（1）定义法（2）秩：若小于阶数，线性相关；若等于阶数，线性无关【专业知识补充】（1）在矩阵左边乘列满秩矩阵（秩=列数） ，矩阵的秩不变；在矩阵右边乘行满秩矩阵，矩阵的秩不变。（2）若 n 维列向量 1，2，3 线性无关，1，2，3 可以由其线性表 示，即（1，2，3）=（1，2，3）C，则 r（1，2，3）=r（C） ， 从而线性无关。 r（1，2，3）=3
12、 r（C）=3 |C|0（四）极大线性无关组与向量组的秩（四）极大线性无关组与向量组的秩14、极大线性无关组不唯一15、向量组的秩:极大无关组中向量的个数成为向量组的秩对比：矩阵的秩:非零子式的最高阶数注:向量组 1，2，s 的秩与矩阵 A=（1，2，s）的秩相等16、极大线性无关组的求法（1）1，2，s 为抽象的：定义法（2）1，2，s 为数字的：（1，2，s）初等行变换阶梯型矩阵则每行第一个非零的数对应的列向量构成极大无关组（五）向量空间（五）向量空间17、基（就是极大线性无关组）变换公式：若 1，2，n 与 1，2，n 是 n 维向量空间 V 的两组基，则基变换公式为（1，2，n）=（1
13、，2，n）Cnn其中，C 是从基 1，2，n 到 1，2，n 的过渡矩阵。C=（1，2，n）-1（1，2，n）18、坐标变换公式：向量 在基 1，2，n与基 1，2，n 的坐标分别为x=（x1，x2，xn）T，y=（y1，y2，yn）T， ，即 =x11 + x22 + +xnn =y11 + y22 + +ynn，则坐标变换公式为 x=Cy 或 y=C-1x。其中，C 是从基1，2，n 到 1，2，n 的过渡矩阵。C=（1，2，n）-1（1，2，n）（六）（六）Schmidt 正交化正交化19、Schmidt 正交化设 1，2，3 线性无关（1）正交化令 1=1（2）单位化4 线性方程组线性
14、方程组（一）方程组的表达形与解向量（一）方程组的表达形与解向量1、解的形式： (1)一般形式(2)矩阵形式：Ax=b；(3)向量形式：A=（1，2，n）2、解的定义：若 =（c1，c2，cn）T满足方程组 Ax=b，即 A=b，称 是 Ax=b 的一个解（向量）（二）解的判定与性质（二）解的判定与性质3、齐次方程组：（1）只有零解r（A）=n（n 为 A 的列数或是未知数 x 的个数）（2）有非零解r（A）n4、非齐次方程组：（1）无解r（A）r（A|b）r（A）=r（A）-1（2）唯一解r（A）=r（A|b）=n（3）无穷多解r（A）=r（A|b）n5、解的性质：（1）若 1，2是 Ax=0 的解，则 k11+k22是 Ax=0 的解（2）若 是 Ax=0 的解， 是 Ax=b 的解，则 + 是 Ax=b 的解（3）若 1，2是 Ax=b 的解，则 1-2是 Ax=0 的解【推广】（1）设 1，2，s是 Ax=b 的解，则 k11+k22+kss为Ax=b 的解 （当 ki=1）Ax=0 的解 （当 ki=0）（2）设 1，2，s是 Ax=b 的 s 个线性无关的解，则 2-1，3-1，s-1为 Ax=0 的 s-1 个线性无关的解。变式：1-2，3-2，s-22-1，3-2，s-s-1（三）基础解系（三）基础解系6、基础解系定义：（1）1，2，s 是 Ax=0 的解（
