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1、1广东省百校广东省百校 2018 届高三第二次联考届高三第二次联考数学(理科)数学(理科)第第卷(共卷(共 60 分)分)一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 12 个小题个小题,每小题每小题 5 分分,共共 60 分分.在每小题给出的四个选在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数z满足()(1)1zii,则z ( ) A2 2B3 2C2 D1 2.已知22 2 |log (31), |4Ax yxBy xy,则AB ( )A1(0, )3B1 2, )3 C1( ,23D1( ,2)33. 下表是我国某城市在 2017 年 1 月份至
2、10 月份各月最低温与最高温()C的数据一览表.椅子该城市的各月最低温与最高温具有相关关系,根据该一览表,则下列结论错误的是( )A最低温与最高温为正相关 B每月最高温与最低温的平均值在前 8 个月逐月增加 C月温差(最高温减最低温)的最大值出现在 1 月 D1 月至 4 月的月温差(最高温减最低温)相对于 7 月至 10 月,波动性更大4. 已知命题:2p x 是2log 5x 的必要不充分条件;命题:q若3sin3x ,则2cos2sinxx,则下列命题为真命题的上( )Apq B()pq C()pq D()()pq 5. 在ABC中,角, ,A B C的对边分别为, ,a b c,若si
3、n3sin,5AB c,且5cos6C ,则a ( )A2 2 B3 C3 2 D4 26.某几何体的三视图如图所示,网格纸上小正方形的边长为 1,则该几何体的表面积为 ( )A84 22 5 B64 24 5 C62 22 5 D82 22 57. 将曲线1:sin()6Cyx上各点的横坐标缩短到原来的1 2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移2个单位长度,得到曲线 2:Cyg x,则 g x在,0上的单调递增区间是( )A5,66 B2,36 C2,03 D,68. 执行如图所示的程序框图,若输入的4t ,则输出的i ( )A7 B10 C13 D16 9. 设, x y满足约束条件22
4、0 260 20xy xy y ,则2yxzxy的取值范围是( )A7,12 B7 2, 2 C77,23 D3,1210. 函数 22xxeef xxx的部分图象大致是( )311. 过双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于,A B两点,D为虚轴上的一个端点,且ABD为钝角三角形,则此双曲线离心率的取值范围为( )A(1,2) B( 2,22) C( 2,2) D(1,2)( 22,)12. 已知函数 231,ln42xxf xeg x,若 f mg n成立,则nm的最小值为( )A1ln22 Bln2 C12ln22 D2ln2 第第卷(共卷(共 90
5、 分)分)二、填空题(每题二、填空题(每题 5 分,满分分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)分,将答案填在答题纸上)13.设平面向量m 与向量n 互相垂直,且2(11, 2)mn ,若5m ,则n 14.在二项式611( 2) 2xx的展开式中,其 3 项为120,则x 15.如图,E是正方体1111ABCDABC D的棱11C D上的一点,且1/ /BD平面1BCF,则异面直线1BD与CE所成角的余弦值为 16.已知点A是抛物线2:2(0)C xpy p上一点,O为坐标原点,若,A B是以点(0,8)M为圆心,OA的长为半径的圆与抛物线C 的两个公共点,且ABO为等边三角形,则p的值是
6、4三、解答题三、解答题 (本大题共(本大题共 6 小题,共小题,共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤算步骤.) (一)必考题(一)必考题(60 分)分)17. 已知正项数列 na满足22 1111,nnnnaaaaa,数列 nb的前n项和nS满足2 nnSna.(1)求数列 na, nb的通项公式;(2)求数列11nnab的前n项和nT.18. 唐三彩,中国古代陶瓷烧制工艺的珍品,它吸取了中国国画,雕塑等工艺美术的特点,在中国文化中占有重要的历史地位,在陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔,唐三彩的生产至今已由 1300 多年的历史,制作工艺蛇粉复杂,
7、它的制作过程中必须先后经过两次烧制,当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制,两次烧制过程互相独立,某陶瓷厂准备仿制甲乙丙三件不同的唐三彩工艺品,根据该厂全面治污后的技术水平,经过第一次烧制后,甲乙丙三件工艺品合格的概率依次为1 4 3,2 5 5,经过第二次烧制后,甲乙丙三件工艺品合格的概率依次为4 1 2,5 2 3.(1)求第一次烧制后甲乙丙三件中恰有一件工艺品合格的概率;(2)经过前后两次烧制后,甲乙丙三件工艺品成为合格工艺品的件数为X,求随机变量X的数学期望.19.如图,四边形ABCD是矩形,3 3,3,2,ABBCDEEC PE平面,6ABCD PE .(1)证明:平面PAC 平面PB
8、E;(2)求二面角APBC的余弦值.520. 已知椭圆2222:1(0)xyCabab的长轴长是短轴长的2 2倍,且椭圆C经过点2(2,)2A.(1)求椭圆C的方程;(2)设不与坐标轴平行的直线l 交椭圆C于,M N两点,2 2MN ,记直线l在y轴上的截距为m,求m的最大值.21.函数 2ln(1)f xxmx .(1)当0m 时,讨论 f x的单调性;(2)若函数 f x有两个极值点12,x x,且12xx,证明:2112 ()2ln2f xxx .请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.在平
9、面直角坐标系xOy中,曲线1C的参数方程为cos(1 sinx y 为参数) ,曲线2C的参数方程为2cos(sinx y 为参数)(1)将1C,2C的方程化为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;(2)以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,已知直线l的极坐标方程为(cos2sin )4,若1C上的点P对应的参数为2,点Q上在2C,点M为PQ的中点,求点M到直线l距离的最小值.23.已知 223f xxaxa .(1)证明: 2f x ;(2)若3()32f ,求实数a的取值范围.6数学(理科)参考答案数学(理科)参考答案一、选择题一、选择题1-5: ACBAB 6-10: C
10、BDAD 11、D 12:A二、填空题二、填空题13. 5 14.2 15. 15 516.2 3三、解答题三、解答题17.解:(1)因为22 11nnnnaaaa,所以,1110nnnnaaaa,因为10,0nnaa,所以10nnaa,所以11nnaa,所以 na是以1为首项,1为公差的等差数列,所以nan,当2n 时,12nnnbSSn,当1n 时12b 也满足,所以2nbn.(2)由(1)可知1111 11()2 (1)21nnabn nnn,所以11111111(1)()()()22233412(1)nnTnnn.18.解:分别记甲乙丙第一次烧制后合格为事件123,A A A,(1)设
11、事件E表示第一次烧制后恰好有一件合格,则11214211313( )25525525550P E .(2)因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为2 5p ,所以随机变量(3,0.4)XB:,所以 3 0.41.2E Xnp .19.(1)证明;设BE交AC于F,因为四边形ABCD是矩形,3 3,3,2ABBCDEEC,7所以3,CEBCCEBCAB,又2ABCBCD ,所以,ABCBCEBECACB :,因为2BECACEACBACE ,所以ACBE,又PE 平面ABCD.所以ACPE,而PEBEE,所以平面PAC 平面PBE;(2)建立如图所示的空间直角坐标系,由题意可得(3, 2 3,
12、0), (3, 3,0),(0, 3,0), (0,0, 6)ABCP,则6(0,3 3,0),( 3,3, 6),(,0,1)3ABBPCB ,设平面APB的法向量1111( ,)nx y z ,则11113 303360yxyz,取1116,0,13xyz,即16(,0,1)3n 设平面BPC的法向量2222(,)nxyz ,则2222303360xxyz,取2110,2,1xyz,即1(0,2,1)n 设平面APB与平面BPC所成的二面角为,则12 12125coscos,5n nn n nn 由图可知二面角为钝角,所以5cos5 .820.解:(1)因为2 2ab,所以椭圆的方程为22
13、2218xy bb,把点2(2,)2A 的坐标代入椭圆的方程,得221118bb,所以221,8ba,椭圆的方程为2 218xy.(2)设直线l的方程为1122,( ,),(,)ykxm M x yN xy,联立方程组2 218xyykxm 得222(1 8)16880kxkmxm,由22225632(1)(1 8)0mmk,得221 8mk ,所以21212221688,1 81 8kmmxxx xkk,所以2222 2222 121222216884 2 1811()41()41 81 81 8kmmkkmMNkxxx xkkkk 由22224 2 1812 21 8kkm k ,得22 2 2(81)(34) 4(1)kkmk,令221(1)1kt tkt ,所以2 2328449 4ttmt,24921 (8)21 14 24mtt,即147m ,当且仅当4984tt,即7 2 8t 时,上式取等号,9此时27 28 8k,27(32 2) 8m,满足221 8mk ,所以m的最大值为147.21.解:函数 f x的定义域为 222( 1,),1xxmfxx ,(1)令 222g xxxm,开口向上,1 2x 为对称轴的抛物线,当1x 时,11()022gm ,即1 2m 时, 0g x ,即 0fx在( 1,) 上恒成立,当102m时,由 222g xxx