《【步步高】2015高考数学（苏教版，理）一轮配套文档：第6章6.2等差数列及其前n项和》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【步步高】2015高考数学（苏教版，理）一轮配套文档：第6章6.2等差数列及其前n项和（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、6.2 等差数列及其前等差数列及其前 n 项和项和1.等差数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母_d_表示.2.等差数列的通项公式如果等差数列an的首项为 a1，公差为 d，那么它的通项公式是 ana1(n1)d.3.等差中项如果 A，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项.ab24.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*).(2)若an为等差数列，且 klmn(k，l，m，nN*)，则 akalaman.(3)若an是等差数列，公差为 d，则a2n也是等
2、差数列，公差为 2d.(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列.(5)若an是等差数列，公差为 d，则 ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为 md 的等差数列.5.等差数列的前 n 项和公式设等差数列an的公差为 d，其前 n 项和 Sn或 Snna1d.na1an2nn126.等差数列的前 n 项和公式与函数的关系Sn n2n.d2(a1d2)数列an是等差数列SnAn2Bn(A、B 为常数).7.等差数列的前 n 项和的最值在等差数列an中，a10，d0，则 Sn存在最_小_值.1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它
3、的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.( )(2)数列an为等差数列的充要条件是对任意 nN*，都有 2an1anan2.( )(3)等差数列an的单调性是由公差 d 决定的.( )(4)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为 n 的一次函数.( )(5)数列an满足 an1ann，则数列an是等差数列.( )(6)已知数列an的通项公式是 anpnq(其中 p，q 为常数)，则数列an一定是等差数列.( )2.设an为等差数列，公差 d2，Sn为其前 n 项和，若 S10S11，则 a1_.答案 20解析 因为 S10S11，所以 a110.又因为 a11a110d，所以 a120
4、.3.(2012辽宁改编)在等差数列an中，已知 a4a816，则该数列前 11 项和 S11_.答案 88解析 S1188.11a1a11211a4a824.(2013课标全国改编)设等差数列an的前 n 项和为 Sn，Sm12，Sm0，Sm13，则 m_.答案 5解析 am2，am13，故 d1，因为 Sm0，故 ma1d0，mm12故 a1，m12因为 amam15，故 amam12a1(2m1)d(m1)2m15，即 m5.5.(2013课标全国)等差数列an的前 n 项和为 Sn，已知 S100，S1525，则 nSn的最小值为_.答案 49解析 由题意知 a1a100，a1a15.
5、103两式相减得 a15a105d，103d ，a13.23nSnnf(n)，(na1nn12d)n310n23令 f(x)，x0，x310x23f(x) x(3x20).13令 f(x)0 得 x0(舍)或 x.203当 x时，f(x)是单调递增的；203当 00，n14 时，an0，a710，a10a110，a10a110，a110 的 n 的a11a10最大值为_.答案 19解析 0，a110，19a1a192S2010(a10a11)0 的 n 的最大值为 19.2.设等差数列an，bn的前 n 项和分别为 Sn，Tn，若对任意自然数 n 都有，则SnTn2n34n3的值为_.a9b5
6、b7a3b8b4答案 1941解析 an，bn为等差数列，.a9b5b7a3b8b4a92b6a32b6a9a32b6a6b6，S11T11a1a11b1b112a62b62 1134 1131941.a6b619413.九章算术 “竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则第 5 节的容积为_升.答案 6766解析 设所构成数列an的首项为 a1，公差为 d，依题意Error!Error!即Error!Error!解得Error!Error!a5a14d4.132276667664.已知两个等差数列an和
7、bn的前 n 项和分别为 An和 Bn，且，则使得为整AnBn7n45n3anbn数的正整数 n 的个数是_.答案 5解析 由等差数列的前 n 项和及等差中项，可得anbn12a1a2n112b1b2n1122n1a1a2n1122n1b1b2n1A2n1B2n172n1452n1314n382n27n19n17(nN*)，12n1故 n1,2,3,5,11 时，为整数.anbn5.已知方程(x22xm)(x22xn)0 的四个根组成一个首项为 的等差数列，则14|mn|_. 答案 12解析 设 a1 ，a2 d，a3 2d，a4 3d，14141414而方程 x22xm0 中的两根之和为 2
8、，x22xn0 中的两根之和也是 2，a1a2a3a416d4，dCTra，12a1 ，a4 是一个方程的两个根，1474a2 ，a3 是另一个方程的两个根，3454故Error!Error!或Error!Error!|mn| .126.已知等差数列的前三项依次为 a,4,3a，前 n 项和为 Sn，且 Sk110.(1)求 a 及 k 的值；(2)设数列bn的通项 bn，证明数列bn是等差数列，并求其前 n 项和 Tn.Snn解 (1)设该等差数列为an，则 a1a，a24，a33a，由已知有 a3a8，得 a1a2，公差 d422，所以 Skka1d2k2k2k.kk12kk12由 Sk1
9、10，得 k2k1100，解得 k10 或 k11(舍去)，故 a2，k10.(2)由(1)得 Snn(n1)，则 bnn1，n22n2Snn故 bn1bn(n2)(n1)1，即数列bn是首项为 2，公差为 1 的等差数列，所以 Tn.n2n12nn327.(2012湖北)已知等差数列an前三项的和为3，前三项的积为 8.(1)求等差数列an的通项公式；(2)若 a2，a3，a1成等比数列，求数列|an|的前 n 项和.解 (1)设等差数列an的公差为 d，则 a2a1d，a3a12d.由题意得Error!Error!解得Error!Error!或Error!Error!所以由等差数列通项公式可得an23(n1)3n5 或 an43(n1)3n7.故 an3n5 或 an3n7.(2)当 an3n5 时，a2，a3，a1分别为1，4,2，不成等比数列；当 an3n7 时，a2，a3，a1分别为1,2，4，成等比数列，满足条件.故|an|3n7|Error!Error!记数列|an|的前 n 项和为 Sn.当 n1 时，S1|a1|4；当 n2 时，S2|a1|a2|5；当 n3 时，SnS2|a3|a4|an|5(337)(347)(3n7)5 n2n10.n223n7232112当 n2 时，满足此式.综上，SnError!Error!
