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1、6.4 数列求和数列求和1.求数列的前 n 项和的方法(1)公式法等差数列的前 n 项和公式Snna1d.na1an2nn12等比数列的前 n 项和公式()当 q1 时，Snna1；()当 q1 时，Sn.a11qn1qa1anq1q(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项.(4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广.(5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广.(6)并项求和
2、法一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如 an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解.例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.2.常见的裂项公式(1) ；1nn11n1n1(2)；12n12n112(12n112n1)(3).1n n1n1n1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)如果数列an为等比数列，且公比不等于 1，则其前 n 项和 Sn.( a1an11q )(2)当 n2 时， ().( )1n21121n11n1(3)求 Sna2a23a3nan之和时只要把上式等号两边同时乘以 a 即可根
3、据错位相减法求得.( )(4)数列2n1的前 n 项和为 n2.( )12n12n(5)若数列 a1，a2a1，anan1是首项为 1，公比为 3 的等比数列，则数列an的通项公式是 an.( )3n12(6)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得 sin21sin22sin23sin288sin28944.5.( )2.(2012大纲全国改编)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，a55，S515，则数列的前 100 项和为_.1anan1答案 100101解析 利用裂项相消法求和.设等差数列an的首项为 a1，公差为 d.a55，S515，Error!Error!Err
4、or!Error!ana1(n1)dn. ，1anan11nn11n1n1数列的前 100 项和为 1 1.1anan11212131100110111011001013.若数列an的通项公式为 an2n2n1，则数列an的前 n 项和 Sn为_.答案 2n1n22解析 Sn(222232n)(135(2n1)2n12n2.212n12n12n124.数列an的通项公式为 an(1)n1(4n3)，则它的前 100 项之和 S100_.答案 200解析 S100(413)(423)(433)(41003)4(12)(34)(99100)4(50)200.5.321422523(n2)2n_.答
5、案 4n42n解析 设 S3 45(n2)，1212212312n则 S345(n2).1212212312412n1两式相减得 S3 ().121212212312nn22n1S3( )1212212n1n22n34.12112n1112n22nn42n题型一 分组转化求和例 1 已知数列an是 321,6221,9231,12241，写出数列an的通项公式并求其前 n 项和 Sn.思维启迪 先写出通项，然后对通项变形，分组后利用等差数列、等比数列的求和公式求解.解 由已知得，数列an的通项公式为an3n2n13n12n，Sna1a2an(253n1)(2222n)n23n12212n12
6、n(3n1)2n12.12思维升华 某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解 转化.特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论.求和 Sn1.(112) (11214)(1121412n1)解 和式中第 k 项为ak1 2.121412k11(12)k112(112k)Sn2(112)(1122)(112n)2(111)( )1212212n22n2.(n12(112n)112)12n1题型二 错位相减法求和例 2 已知等差数列an的前 3 项和为 6，前 8 项和为4.(1)求数列an的通项公
7、式；(2)设 bn(4an)qn1(q0，nN*)，求数列bn的前 n 项和 Sn.思维启迪 (1)列方程组求an的首项、公差，然后写出通项 an.(2)q1 时，bn为等差数列，直接求和；q1 时，用错位相减法求和.解 (1)设等差数列an的公差为 d.由已知得Error!Error!，解得Error!Error!.故 an3(n1)(1)4n.(2)由(1)得，bnnqn1，于是Sn1q02q13q2nqn1.若 q1，将上式两边同乘以 q 有qSn1q12q2(n1)qn1nqn.n 个两式相减得到(q1)Snnqn1q1q2qn1nqn.qn1q1nqn1n1qn1q1于是，Sn.nq
8、n1n1qn1q12若 q1，则 Sn123n.nn12所以 SnError!Error!.思维升华 (1)错位相减法是求解由等差数列bn和等比数列cn对应项之积组成的数列an，即 anbncn的前 n 项和的方法.这种方法运算量较大，要重视解题过程的训练.(2)注意错位相减法中等比数列求和公式的应用范围.已知等差数列an满足 a20，a6a810.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列的前 n 项和.an2n1解 (1)设等差数列an的公差为 d，由已知条件可得Error!Error!解得Error!Error!.故数列an的通项公式为 an2n.(2)设数列的前 n 项和为 Sn，an2
9、n1即 Sna1，a22an2n1故 S11，.Sn2a12a24an2n所以，当 n1 时，得a1Sn2a2a12anan12n1an2n1( )121412n12n2n1(1).12n12n2nn2n所以 Sn.当 n1 时也成立.n2n1综上，数列的前 n 项和 Sn.an2n1n2n1题型三 裂项相消法求和例 3 在数列an中，a11，当 n2 时，其前 n 项和 Sn满足 S an.2 n(Sn12)(1)求 Sn的表达式；(2)设 bn，求bn的前 n 项和 Tn.Sn2n1思维启迪 第(1)问利用 anSnSn1 (n2)后，再同除 Sn1Sn转化为的等差数列即1Sn可求 Sn.
10、第(2)问求出bn的通项公式，用裂项相消法求和.解 (1)S an，2 n(Sn12)anSnSn1 (n2)，S (SnSn1)，2 n(Sn12)即 2Sn1SnSn1Sn，由题意得 Sn1Sn0，式两边同除以 Sn1Sn，得2，1Sn1Sn1数列是首项为1，公差为 2 的等差数列.1Sn1S11a112(n1)2n1，Sn.1Sn12n1(2)bnSn2n112n12n1，12(12n112n1)Tnb1b2bn (1 )( )()1213131512n112n1.12(112n1)n2n1思维升华 利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后
11、面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.已知数列an的各项均为正数，前 n 项和为 Sn，且 Sn，nN*.anan12(1)求证：数列an是等差数列；(2)设 bn，Tnb1b2bn，求 Tn.12Sn(1)证明 Sn，nN*，anan12当 n1 时，a1S1 (an0)，a11.a1a112当 n2 时，由Error!Error!得 2ana anaan1.2 n2n1即(anan1)(anan11)0，anan10，anan11(n2).所以数列an是以 1 为首项，以 1 为公差的等差数列.(2)解 由(1)可得 an
12、n，Sn，nn12bn .12Sn1nn11n1n1Tnb1b2b3bn1 1212131n1n11.1n1nn1四审结构定方案典例：(14 分)(2012江西)已知数列an的前 n 项和 Sn n2kn(其中 kN*)，且 Sn的最大12值为 8.(1)确定常数 k，并求 an；(2)求数列的前 n 项和 Tn.92an2nSn n2kn 及 Sn最大值为 812Sn是 n 的二次函数nk 时(Sn)maxSk8根据 Sn的结构特征确定 k 值k4，Sn n24n12利用 an、Sn的关系an n92 92an2nn2n1 根据数列的结构特征，确定求和方法：错位相减法Tn1 22322n12
13、n2n2n1式两边同乘以 22Tn22 32n12n3n2n2错位相减Tn21 4.1212n2n2n1n22n1规范解答解 (1)当 nkN*时，Sn n2kn 取得最大值，12即 8Sk k2k2 k2，故 k216，k4.1212当 n1 时，a1S1 4 ，4 分1272当 n2 时，anSnSn1 n.6 分92当 n1 时，上式也成立，综上，an n.7 分92(2)因为，92an2nn2n1所以 Tn1 ，22322n12n2n2n1所以 2Tn22 32n12n3n2n2：2TnTn21 1212n2n2n1441212n2n2n1n22n1分故 Tn4.14n22n1分温馨提醒 (1)根据数列前 n 项和的结构特征和最值确定 k 和 Sn，求出 an后再根据的92an2n结构特征确定利用错位相减法求Tn.在审题时，要审题目中数式的结构特征判定解题方案；(2)利用 Sn求 an时不要忽视 n1 的情
