《2016届《步步高》高考数学大一轮总复习（人教新课标文科）配套文档 2.3 函数的奇偶性与周期性 word版含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016届《步步高》高考数学大一轮总复习（人教新课标文科）配套文档 2.3 函数的奇偶性与周期性 word版含解析（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.3 函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(x)f(x)，那么函数 f(x)是偶函数关于 y 轴对称奇函数如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(x)f(x)，那么函数 f(x)是奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数 yf(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(xT)f(x)，那么就称函数 yf(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫
2、做 f(x)的最小正周期【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数 f(x)0，x(0，)既是奇函数又是偶函数( )(2)若函数 yf(xa)是偶函数，则函数 yf(x)关于直线 xa 对称( )(3)若函数 yf(xb)是奇函数，则函数 yf(x)关于点(b,0)中心对称( )(4)若函数 f(x)为奇函数，则 a2.( )xx2xa(5)函数 f(x)在定义域上满足 f(xa)f(x)(a0)，则 f(x)是周期为 2a 的周期函数( )(6)函数 f(x)为 R 上的奇函数，且 f(x2)f(x)，则 f(2 016)0.( )1(2013山东)已知函数 f(x
3、)为奇函数，且当 x0 时，f(x)x2 ，则 f(1)等于( )1xA2 B0 C1 D2答案 A解析 f(1)f(1)(11)2.2已知 f(x)ax2bx 是定义在a1,2a上的偶函数，那么 ab 的值是( )A B. C. D13131212答案 B解析 依题意 b0，且 2a(a1)，a ，则 ab .13133(2014四川)设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 x1,1)时，f(x)Error!Error!则 f( )32_.答案 1解析 函数的周期是 2，所以 f( )f( 2)f( )，323212根据题意得 f( )4( )221.12124设函数 f(x)
4、是定义在 R 上的奇函数，若当 x(0，)时，f(x)lg x，则满足 f(x)0 的 x的取值范围是_答案 (1,0)(1，)解析 画草图，由 f(x)为奇函数知：f(x)0 的 x 的取值范围为(1,0)(1，)题型一 判断函数的奇偶性例 1 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)x3x；(2)f(x)(x1) ；1x1x(3)f(x)Error!Error!解 (1)定义域为 R，关于原点对称，又 f(x)(x)3(x)x3x(x3x)f(x)，所以函数为奇函数(2)由0 可得函数的定义域为(1,11x1x函数定义域不关于原点对称，函数为非奇非偶函数(3)当 x0 时，x0，f(x)x2x
5、，f(x)(x)2xx2x(x2x)f(x)所以对于 x(，0)(0，)，均有 f(x)f(x)函数为奇函数思维升华 (1)利用定义判断函数奇偶性的步骤：(2)在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)f(x)0(奇函数)或 f(x)f(x)0(偶函数)是否成立(1)若函数 f(x)3x3x与 g(x)3x3x的定义域均为 R，则( )Af(x)与 g(x)均为偶函数Bf(x)为偶函数，g(x)为奇函数Cf(x)与 g(x)均为奇函数Df(x)为奇函数，g(x)为偶函数(2)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f(x)2x3，则 f(2)等于( )
6、A1 B1C. D14114答案 (1)B (2)B解析 (1)由 f(x)3x3xf(x)可知 f(x)为偶函数，由 g(x)3x3x(3x3x)g(x)可知 g(x)为奇函数(2)f(2)2231.又 f(x)为奇函数，f(2)f(2)1.题型二 函数周期性的应用例 2 (1)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x6)f(x)，当3x0，又log2a1log2a.1 2log af(x)是 R 上的偶函数，f(log2a)f(log2a)f()1 2log af(log2a)f()2f(1)，1 2log a2f(log2a)2f(1)，即 f(log2a)f(1)又因 f(x)在0，
7、)上递增|log2a|1，1log2a1，a，选 C.12，2忽视定义域致误典例：(1)若函数 f(x)在定义域上为奇函数，则实数 k_.k2x1k2x(2)已知函数 f(x)Error!Error!则满足不等式 f(1x2)f(2x)的 x 的取值范围是_易错分析 (1)解题中忽视函数 f(x)的定义域，直接通过计算 f(0)0 得 k1.(2)本题易出现以下错误：由 f(1x2)f(2x)得 1x22x，忽视了 1x20 导致解答失误解析 (1)f(x)，k2x1k2xk2x12xkf(x)f(x)k2x2xkk2x11k2x1k2x2xk.k2122x11k2x2xk由 f(x)f(x)
8、0 可得 k21，k1.(2)画出 f(x)Error!Error!的图象，由图象可知，若 f(1x2)f(2x)，则Error!Error!即Error!Error!得 x(1，1)2答案 (1)1 (2)(1，1)2温馨提醒 (1)已知函数的奇偶性，利用特殊值确定参数，要注意函数的定义域(2)解决分段函数的单调性问题时，应高度关注：对变量所在区间的讨论保证各段上同增(减)时，要注意左、右段端点值间的大小关系弄清最终结果取并集还是交集方法与技巧1判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件2利用函数奇偶性可以解决以下问题求函数值；求
9、解析式；求函数解析式中参数的值；画函数图象，确定函数单调性3若对于函数 f(x)的定义域内任一个自变量的值 x 都有 f(xa)f(x)或 f(xa)或1fxf(xa)(a 是常数且 a0)，则 f(x)是一个周期为 2a 的周期函数1fx失误与防范1f(0)0 既不是 f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件2判断分段函数的奇偶性要有整体的观点，可以分类讨论，也可利用图象进行判断.A 组 专项基础训练(时间：30 分钟)1(2013广东)定义域为 R 的四个函数 yx3，y2x，yx21，y2sin x 中，奇函数的个数是( )A4 B3 C2 D1答案 C解析 由奇函数的定义可知 yx3
10、，y2sin x 为奇函数2已知 f(x)在 R 上是奇函数，且 f(x4)f(x)，当 x(0,2)时，f(x)2x2，则 f(7)等于( )A2 B2C98 D98答案 A解析 f(7)f(3)f(1)f(1)2.3(2014福建)已知函数 f(x)Error!Error!则下列结论正确的是( )Af(x)是偶函数 Bf(x)是增函数Cf(x)是周期函数 Df(x)的值域为1，)答案 D解析 函数 f(x)Error!Error!的图象如图所示，由图象知只有 D 正确4定义在 R 上的偶函数 f(x)，对任意 x1，x20，)(x1x2)，有21，f(3)0 时，f(x)1，则当 x0 时
11、，f(x)1，x当 x0，f(x)f(x)(1)，x即 x013的解集为_答案 x|x 或 x0 等价于 f(|x|)f( )，13又 f(x)在0，)上为增函数，|x| ，即 x 或 x0，所以 f(x)(x)22(x)x22x.又 f(x)为奇函数，所以 f(x)f(x)，于是 x0，且a1)若 g(2)a，则 f(2)等于( )A2 B. C. Da2154174答案 B解析 f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，f(2)f(2)，g(2)g(2)a，f(2)g(2)a2a22，f(2)g(2)g(2)f(2)a2a22，由、联立，g(2)a2，f(2)a2a2.15412设奇函数 f(x
12、)的定义域为 R，最小正周期 T3，若 f(1)1，f(2)，则 a 的取值范2a3a1围是( )Aam21，即2m1.综合可知，1m1.即实数 m 的取值范围是1,1)15函数 f(x)的定义域为 Dx|x0，且满足对于任意 x1，x2D，有 f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求 f(1)的值；(2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果 f(4)1，f(x1)2，且 f(x)在(0，)上是增函数，求 x 的取值范围解 (1)对于任意 x1，x2D，有 f(x1x2)f(x1)f(x2)，令 x1x21，得 f(1)2f(1)，f(1)0.(2)f(x)为偶函数证明：令 x1x21，有 f(1)f(1)f(1)，f(1) f(1)0.12令 x11，x2x 有 f(x)f(1)f(x)，f(x)f(x)，f(x)为偶函数(3)依题设有 f(44)f(4)f(4)2，由(2)知，f(x)是偶函数，f(x1)2f(|x1|)f(16)又 f(x)在(0，)上是增函数0|x1|16，解之得15x17 且 x1.x 的取值范围是x|15x17 且 x1.
