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1、第 1 页 共 6 页专题三：解析几何专题三：解析几何第五课时第五课时 解析几何问题的解法（教师版）解析几何问题的解法（教师版） 2016-4-252016-4-25 一、一、解法指导解法指导 1、了解曲线与方程的概念，会求简单曲线的方程，掌握求曲线的轨迹的基本步骤：建 设现代化. 2、掌握直线、圆的几种方程形式，会判断直线与圆的位置关系。 3、掌握圆锥曲线的两种定义，并能够运用圆锥曲线的定义和性质求解解析几何中的基本量：离心率。4、能够结合平面几何知识，分析或探究解析几何中存在的平面几何联系，进而寻求到解决解析几何 的技巧或方法。 5、解析几何中常用方程：直线系方程：已知直线和直线相交于点，
2、则所0:1111cybxal0:2222cybxalP有经过点的直线方程可记为：不同时为零。P2122221111, 0cybxacybxa公共弦圆系方程：已知直线与圆 C:相交于点0:1111cybxal022FEyDxyx、，则所有经过点、的圆系方程可记为：。ABAB011122cybxaFEyDxyx已知圆 D：与圆 C:相交于点、011122FyExDyx022222FyExDyxA，则所有经过点、的圆系方程可记为：BAB。、不同时为零。0)(22222 211122 1FyExDyxFyExDyx126、方法指导：解析几何在高考中多以选择题和解答题出现，选择题中的解析几何问题考点要求
3、不高， 只须掌握圆锥曲线的定义和性质及直线、圆的基本知识就能解决，但解答题中的解析几何问题，主要体现 出步骤繁琐，过程灵活，不仅基本功要求扎实，而且还考查考生的细心程度与耐性，在解题过程中，要注 意如下几点： 正确引入参数，并注意参数的取值范围； 灵活运用函数与方程思想，通过联立方程并消元转化为一元二次方程，利用判别式确定参数的 范围，利用根与系数的关系搭建参数与所求问题的桥梁，有时需要利用求根公式求出根值。 解析几何中的存在性问题，常假设存在相关元素，进而将所要解决的问题当作已知条件使用。 二、例题导练二、例题导练 例 1 如图，过圆 O：x2+y2=4 与 y 轴正半轴交点 A 作此圆的切
4、线，M 为上任一点，过 M 作圆 O 的另一条 切线，切点为 Q，求MAQ 垂心 P 的轨迹方程。 分析：分析：从寻找点 P 满足的几何条件着手，着眼于平几知识的运用。连 OQ，则由 OQMQ，APMQ 得 OQAP同理，OAPQ又 OA=OQ OAPQ 为菱形 |PA|=|OA|=2第 2 页 共 6 页设 P(x，y)，Q(x0，y0)，则 2yyxx00又 x02+y02=4 x2+(y-2)2=4（x0）评注：一般说来，当涉及到圆的切线时，总考虑过焦点的弦与切线的垂直关系；涉及到圆的弦时，常 取弦的中点，考虑圆心、弦的中点、弦的端点组成的直角三角形。例 2：已知椭圆 C:xy2228和
5、点 P（4，1） ，过 P 作直线交椭圆于 A、B 两点，在线段 AB 上取点 Q，使AP PBAQ QB ，求动点 Q 的轨迹所在曲线的方程.解：设),(),(,2211yxQyxByxA，则由QBAQ PBAP可得：xxxx xx 2121 44，解之得：)(82)(4212121 xxxxxxx （1）设直线 AB 的方程为：1)4(xky，代入椭圆 C 的方程，消去y得出关于 x 的一元二次方程：08)41 (2)41 (412222kxkkxk （2） .128)41 (2,12) 14(42221221kkxxkkkxx代入（1） ，化简得：.234 kkx (3)与1)4(xky
6、联立，消去k得：. 0)4(42xyx在（2）中，由02464642kk，解得 4102 4102k，结合（3）可求得 .910216 910216x故知点 Q 的轨迹方程为：042 yx （910216 910216x）.点评：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维 易于想到. 这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参.，而“引参、用参、消参”三步曲， 正是解析几何综合问题求解的一条有效通道.例 3：设直线l过点 P（0，3） ，和椭圆xy22941 顺次交于 A、B 两点，试求AP PB的取值范围.第 3 页 共 6 页解 1：当直线
7、l垂直于 x 轴时，可求得51PBAP;当l与 x 轴不垂直时，设)(,2211yxByxA，直线l的方程为：3 kxy，代入椭圆方程，消去y得 045544922kxxk解之得 .4959627222, 1kkkx因为椭圆关于 y 轴对称，点 P 在 y 轴上，所以只需考虑0k的情形.当0k时，4959627221kkkx，4959627222kkkx，所以 21 xx PBAP= 5929592922kkkk= 5929181 2 kkk=25929181k.由 049180)54(22kk, 解得 952k，所以 51592918112 k，综上 511PBAP.解 2：设直线l的方程为
8、：3 kxy，代入椭圆方程，消去y得045544922kxxk （*）则 .4945,4954221221kxxkkxx令21 xx，则，.20453242122kk 在（*）中，由判别式, 0可得 952k，从而有 536 2045324422 kk，所以 536214，第 4 页 共 6 页解得 551.结合10得151. 综上，511PBAP.点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的 性质法，数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.例 4：已知椭圆1C：22221(0)yxabab 的右顶点为(1,0)A，过1C的
9、焦点且垂直长轴的弦长为1（I）求椭圆1C的方程；（II）设点P在抛物线2C：2()yxh hR上，2C在点P处的切线与1C交于点,M N当线段 AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值解析：（I）由题意得212,121ba bba所求的椭圆方程为2 214yx， （II）不妨设2 1122( ,),(,), ( ,),M x yN xyP t th则抛物线2C在点 P 处的切线斜率为2x tyt，直线 MN 的方程为22ytxth，将上式代入椭圆1C的方程中，得2224(2)40xtxth，即 222224 14 ()()40txt th xth，因为直线 MN 与椭圆1C有两个不同
10、的交点，所以有422 1162(2)40thth ，设线段 MN 的中点的横坐标是3x，则2 12 32() 22(1)xxt thxt， 设线段 PA 的中点的横坐标是4x，则41 2tx，由题意得34xx，即有2(1)10th t ，其中的2 2(1)40,1hh 或3h ；当3h 时有220,40hh，因此不等式422 1162(2)40thth 不成立；因此1h ，当1h 时代入方程2(1)10th t 得1t ，将1,1ht 代入不等式422 1162(2)40thth 成立，因此h的最小值为 1例 5 已知曲线2:C yx与直线:20l xy交于两点(,)AAA xy和(,)BBB
11、 xy，且ABxx记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D设点( , )P s t是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合（1）若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程； 第 5 页 共 6 页（2）若曲线22251:24025G xaxyya与D有公共点，试求a的最小值解：（1）联立2xy 与2 xy得2, 1BAxx，则AB中点)25,21(Q，设线段PQ的中点M坐标为),(yx，则225,221t ys x ，即252,212ytxs，又点P在曲线C上，2)212(252xy化简可得8112xxy，又点P是L上的任一点，且不与点A和点B重合
12、，则22121x，即45 41x，中点M的轨迹方程为8112xxy（45 41x）.（2）曲线22251:24025G xaxyya，即圆E：2549)2()(22yax，其圆心坐标为)2 ,(aE，半径57r由图可知，当20 a时，曲线22251:24025G xaxyya与点D有公共点；当0a时，要使曲线22251:24025G xaxyya与点D有公共点，只需圆心E到直线:20l xy的距离572|2|22|aad，得0527a，则a的最小值为527.例 6 在直角坐标系 xOy 中，已知圆心在第二象限、半径为 22的圆 C 与直线 y=x 相切于坐标原点 O.椭圆22219xy a与圆
13、 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 10。（1）求圆 C 的方程；（2）试探究圆 C 上是否存在异于原点的点 Q，使 Q 到椭圆的右焦点 F 的距离等于线段OF 的长，若存在求出 Q 的坐标；若不存在，请说明理由。(1)设圆心坐标为(m，n)（m0）,则该圆的方程为(x-m)2+(y-n)2=8解：已知该圆与直线 y=x 相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则2nm=22即nm =4 又圆与直线切于原点，将点(0，0)代入得m2+n2=8 联立方程和组成方程组解得 22 nmxyoxAxBD第 6 页 共 6 页故圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=8(2)a=5，a2=25，则椭圆的方程为+=1其焦距 c=925=4，右焦点为(4，0)，那么OF=4。要探求是否存在异于原点的点 Q，使得该点到右焦点 F 的距离等于OF的长度 4，我们可以转化为探求以右焦点 F 为顶点，半径为 4 的圆(x4)2+y2=8 与(1)所求的圆的交点数。通过联立两圆的方程解得 x=54，y=512即存在异于原点的点 Q(54，512)，使得该点到右焦点 F 的距离等于OF的长。三、课后反馈（略）252x 92y
