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1、学业分层测评学业分层测评( (二十一二十一) )(建议用时：45 分钟)学业达标一、选择题1.已知|b|3，a 在 b 方向上的投影是 ，则 ab 为( )23A. B. 1343C.3 D.2【解析】 由数量积的几何意义知ab 32，故选 D.23【答案】 D2.已知向量 a，b 满足|a|1，|b|3，且|2ab|，则 a 与 b 的夹角 为( )7【导学号：72010065】A. B.623C. D.356【解析】 |2ab|2494ab7，ab ，32cos .ab|a|b|12又 0，.23【答案】 B3.设 e1和 e2是互相垂直的单位向量，且 a3e12e2，b3e14e2，则a
2、b 等于( )A.2 B.1 C.1 D.2【解析】 因为|e1|e2|1，e1e20，所以 ab(3e12e2)(3e14e2)9|e1|28|e2|26e1e2912812601.故选 B.【答案】 B4.若向量 a 与 b 的夹角为 60，|b|4，且(a2b)(a3b)72，则 a 的模为( )A.2 B.4 C.6 D.12【解析】 (a2b)(a3b)a2ab6b2|a|2|a|b|cos 606|b|2|a|22|a|9672，|a|22|a|240，|a|6.【答案】 C5.已知向量 a，b 的夹角为 120，|a|b|1，c 与 ab 同向，则|ac|的最小值为( )A.1
3、B.12C. D.3432【解析】 |a|b|1，c 与 ab 同向，a 与 c 的夹角为 60.又|ac|a22acc21|c|c|2，(|c|12)234故|ac|的最小值取.32【答案】 D二、填空题6.已知 ab，|a|2，|b|1，且 3a2b 与 ab 垂直，则 等于_.【解析】 (3a2b)(ab)，(ab)(3a2b)0，3a2(23)ab2b20.又|a|2，|b|1，ab，12(23)21cos 9020，1220， .16【答案】 167.已知|a|b|c|1，且满足 3amb7c0，其中 a 与 b 的夹角为 60，则实数 m_.【解析】 3amb7c0，3amb7c，
4、(3amb)2(7c)2，化简得 9m26mab49.又 ab|a|b|cos 60 ，m23m400，12解得 m5 或 m8.【答案】 5 或8三、解答题8.已知|a|4，|b|2.(1)若 a、b 的夹角为 120，求|3a4b|；(2)若|ab|2，求 a 与 b 的夹角 .3【解】 (1)ab|a|b|cos 120424.(12)又|3a4b|2(3a4b)29a224ab16b294224(4)1622304，|3a4b|4.19(2)|ab|2(ab)2a22abb2422ab22(2)2，3ab4，cos .ab|a|b|44 212又 0，.239.在ABC 中，a，b，c
5、，且 abbcca，试判断ABCBCCAAB的形状.【解】 如图，abc0.则 abc，即(ab)2(c)2，故 a22abb2c2.同理，a22acc2b2, b22bcc2a2. 由，得b2c2c2b2，即 2b22c2，故|b|c|.同理，由，得|a|c|.故|a|b|c|，故ABC 为等边三角形.能力提升1.(2016玉溪高一检测)已知|a|2|b|0，且关于 x 的方程 x2|a|xab0有实根，则 a 与 b 的夹角的取值范围是( )A. B.0，63，C. D.3，236，【解析】 因为 a24|a|b|cos ( 为向量 a 与 b 夹角).若方程有实根，则有 0 即 a24|a|b|cos 0，又|a|2|b|，4|b|28|b|2cos 0，cos ，又 0，12 .3【答案】 B2.已知单位向量 e1，e2的夹角为 60，求向量 ae1e2，be22e1的夹角.【解】 e1，e2为单位向量且夹角为 60，e1e211cos 60 .12ab(e1e2)(e22e1)2e1e212 1 ，1232|a|a2e1e22，12 1213|b|b2e22e12，144 123cos .ab|a|b|3213 312又0，180，120，a 与 b 的夹角为 120.
