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1、第三节第三节 坐坐 标标 系系知识梳理 一、平面直角坐标系中的坐标伸缩变换一、平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 ：Error!的作用下，点P(x，y)对应到点P(x，y)，称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换 二、极坐标系的概念二、极坐标系的概念 1极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单 位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立 了一个极坐标系 注意：极坐标系以角这一平面图形为几何背景，而平面直 角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景
2、；平面直角坐标系 内的点与坐标能建立一一对应的关系，而极坐标系则不可但 极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系 2极坐标 设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的 极径，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM 叫做点M的极角，记为.有序数对(，)叫做点M的极坐 标，记作M(，) 一般地，不作特殊说明时，我们认为0，可取任意 实数 特别地，当点M在极点时，它的极坐标为(0，)(R R)， 和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示如果规定0,02，那么除极点外，平面内的点 可用唯一的极坐标(，)表示；同时，极坐标(，)表示 的点也是唯一确定的 三、极坐标和直角坐标的
3、互化三、极坐标和直角坐标的互化 1互化条件：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半 轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图所示：2.互化公式：设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标 是(x，y)，极坐标是(，)(0)，于是极坐标与直角坐标 的互化公式如表： 点M直角坐标(x，y)极坐标(，) 互化公 式Error!Error!在一般情况下，由 tan 确定角时，可根据点M所在的象 限取最小正角 四、常见曲线的极坐标方程四、常见曲线的极坐标方程 曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆r(02)圆心为(r,0)，半径为r的圆2rcos ( 22)圆心为，半径为r的(r， 2) 圆2
4、rsin (0)过极点，倾斜角为的直线(1)(R R)(2)(0)和 (0)过点(a,0)，与极轴垂直的直 线cos a( 22)过点，与极轴平行的(a， 2) 直线sin a(0)基础自测 1在极坐标系中，圆C：10cos 和直线 l：3cos 4sin 300 相交于A，B两点，则线段 AB的长是_解析：解析：分别将圆C和直线l的极坐标方程化为直角坐标方 程：圆C：x2y210x，即(x5)2y225，圆心C(5,0)直 线l：3x4y300.因为圆心C到直线l的距离d3.所以|15030| 5 |AB|28.25d2 答案：答案：82在极坐标系中，过圆4cos 的圆心，且垂直于极 轴的直
5、线的极坐标方程是_解析：解析：圆的直角坐标方程为x2y24x0，圆心为(2,0)， 过该点的直线的极坐标方程为cos 2. 答案：答案：cos 23(2013广州二模)在极坐标系中，已知点A，点(1， 2) P是曲线sin2 4cos 上任一点，设点P到直线cos 10 的距离为d，则|PA|d的最小值为_解析：解析：sin2 4cos 的直角坐标方程为y24x，它 是抛物线，焦点为F(1,0)，准线为x10，即直线cos 10，点A是直角坐标为A(0,1)根据抛物线的定(1，2) 义，d|PF|，所以|PA|d|PA|PF|AF|.2 答案：答案： 24已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为c
6、os 3，4cos 0,0，则曲线C1，C2交点的极 2 坐标为_解析：解析：联立解方程组Error! 0，0，解得Error! 2即两曲线的交点为 2，.3 6答案：答案：2，3 61(2013北京卷)在极坐标系中，点到直线sin (2， 6) 2 的距离等于_解析：解析：极坐标系中点对应直角坐标系中坐标为(2， 6) (，1)，极坐标系直线sin 2 对应直角坐标系中直线方3 程为y2，所以点到直线y2 的距离为d1. 答案：答案：12(2013天津卷)已知圆的极坐标方程为4cos ，圆心为C，点P的极坐标为，则(4， 3)|CP|_.解析：解析：由4cos 得：24cos ，化为直角坐
7、标方程得x2y24x，即(x2)2y24，圆心C(2,0)，点P的直角坐标为P(2,2)(4， 3)3 由两点间距离公式得|CP|2.3 答案：答案：231(2013深圳二模)在极坐标系中，已知两圆 C1：2cos 和C2：2sin ，则过两圆圆心的直线的 极坐标方程是_解析：解析：两圆的直角坐标方程分别为 x2y22x0，x2y22y0，两圆的圆心分别为(1,0)， (0,1)，过这两点的直线方程为xy10，化为极坐标方程 为cos sin 10. 答案：答案：cos sin 102(2013揭阳二模)在极坐标系中，O是极点，直线l过圆C：2cos的圆心C，且与直线OC垂直，则直2( 4) 线l的极坐标方程为_解析：解析：把2cos化为直角坐标方程为2( 4) x2y22x2y0，圆心C的坐标为(1,1)，与直线OC垂直的 直线方程为xy20，化为极坐标方程为cos sin 20.(也可以写成cos( 4) 2) 答案：答案：cos sin 20(也可以写成cos ( 4) 2)
