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1、1.已知动直线 与椭圆 C: 交于 P、Q两不同点，且OPQ 的l22 132xy11,x y22,xy面积=,其中 O 为坐标原点.OPQS6 2（）证明和均为定值;22 12xx22 12yy（）设线段 PQ 的中点为 M，求的最大值；| |OMPQ（）椭圆 C 上是否存在点 D,E,G，使得?若存在，判断6 2ODEODGOEGSSSDEG 的形状；若不存在，请说明理由.2.如图，已知椭圆 C1 的中心在原点 O，长轴左、右端点 M，N 在x 轴上，椭圆 C2 的短轴为 MN，且 C1，C2 的离心率都为 e，直线lMN，l 与 C1 交于两点，与 C2 交于两点，这四点按纵坐标从大到小
2、依次为 A，B，C，D.（I）设，求与的比值；1 2e BCAD（II）当 e 变化时，是否存在直线 l，使得 BOAN，并说明理由3.设，点的坐标为（1,1） ，点在抛物线 AB上运动，点满足，经过点与轴yxQQABQQx垂直的直线交抛物线于点，点满足,求MPMPQM点的轨迹方程。P4.在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,-1)，B 点在直线 y = -3 上，M 点满足 MB/OA， MAAB = MBBA，M 点的轨迹为曲线 C。（）求 C 的方程；（）P 为 C 上的动点，l 为 C 在 P 点处得切线，求 O 点到 l 距离的最小值。5.在平面直角坐标系中，点为动点，分别为
3、椭圆xOy( , )P a b (0)ab12,F F的左右焦点已知为等腰三角形22221xy ab12FPF（）求椭圆的离心率；e（）设直线与椭圆相交于两点，是直线上的点，满足，2PF,A BM2PF2AM BM uuuu r uuu u r求点的轨迹方程M6.已知抛物线:，圆:的圆心为点 M1C2xy2C22(4)1xy（）求点 M 到抛物线的准线的距离；1c（）已知点 P 是抛物线上一点（异于原点） ，过点 P 作圆的两条1c2c切线，交抛物线于 A，B 两点，若过 M，P 两点的直线 垂直于 AB，求1cl直线 的方程l7.如图 7，椭圆的离心率为，轴被曲线)0( 1:22221bab
4、y axC23x截得的线段长等于的长半轴长.bxyC2 2:1C求，的方程；1C2C设与轴的交点为，过坐标原点的直 2CyMO线 与相交于点，直线，分别l2CABMAMB与相交于点，.1CDE()证明： ;MEMD ()记,的面积分别为，问：MABMDE21,SS是否存在直线 ，使得？请说明理由.l321721SS1.已知动直线 与椭圆 C: 交于 P、Q两不同点，且OPQ 的l22 132xy11,x y22,xy面积=,其中 O 为坐标原点.OPQS6 2（）证明和均为定值;22 12xx22 12yy（）设线段 PQ 的中点为 M，求的最大值；| |OMPQ（）椭圆 C 上是否存在点 D
5、,E,G，使得?若存在，判断6 2ODEODGOEGSSSDEG 的形状；若不存在，请说明理由.【解析】 （I）解：（1）当直线 的斜率不存在时，P，Q 两点关于 x 轴对称，l所以因为在椭圆上，因此2121,.xx yy 11( ,)P x y22 11132xy又因为所以；由、得6,2OPQS116| |.2xy116|,| 1.2xy此时2222 12123,2,xxyy（2）当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为ll,ykxm由题意知 m，将其代入，得，022 132xy222(23)63(2)0kxkmxm其中即（*）22223612(23)(2)0,k mkm 2232km又212
6、122263(2),2323kmmxxx xkk 所以22 222 121222 6 32|1()41,23kmPQkxxx xkk因为点 O 到直线 的距离为所以l 2|1,md k 1|2OPQSPQ d，又22 2 2212 6 32|12231kmmkkk2226 |32 23mkm k6,2OPQS整理得且符合（*）式，22322,km此时2 2222 1212122263(2)()2()23,2323kmmxxxxx xkk 222222 121212222(3)(3)4()2.333yyxxxx综上所述，结论成立。2222 12123;2,xxyy（II）解法一：（1）当直线 的
7、斜率存在时，由（I）知l116| |,| 2| 2,2OMxPQy因此6| |26.2OMPQ（2）当直线 的斜率存在时，由（I）知l123,22xxk m222 121222 2221212 2222222 22 2222332(),2222 916211|()()(3),22442 24(32)2(21)1|(1)2(2),(23)yyxxkkmkmmmmm xxyykmOMmmmm kmmPQkkmm 所以22 22111|(3)2(2)2OMPQmm 2211(3)(2)mm222113225()24mm 所以，当且仅当时，等号成立.5| |2OMPQ221132,2mmm 即综合（1
8、） （2）得|OM|PQ|的最大值为5.2 解法二：因为222222 121221214|()()()()OMPQxxyyxxyy2222 12122()()10.xxyy所以224|102| |5.25OMPQOMPQ即当且仅当时等号成立。5| |,2OMPQ2| |5OMPQ因此 |OM|PQ|的最大值为5.2（III）椭圆 C 上不存在三点 D，E，G，使得6.2ODEODGOEGSSS证明：假设存在，11226( , ),(,),(,)2ODEODGOEGD u v E x yG xySSS满足由（I）得222222222222 12121212222222 121212123,3,3
9、;2,2,2,3;1.2 5, ,1,2uxuxxxvyvyyyuxxvyyu x xv y y解得因此只能从中选取只能从中选取因此 D，E，G 只能在这四点中选取三个不同点，6(, 1)2而这三点的两两连线中必有一条过原点，与矛盾，6 2ODEODGOEGSSS所以椭圆 C 上不存在满足条件的三点 D，E，G.2.如图，已知椭圆 C1 的中心在原点 O，长轴左、右端点 M，N 在 x 轴上，椭圆 C2 的短轴为MN，且 C1，C2 的离心率都为 e，直线 lMN，l 与 C1 交于两点，与 C2 交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为 A，B，C，D.（I）设，求与的比值；1 2e BCAD
10、（II）当 e 变化时，是否存在直线 l，使得 BOAN，并说明理由解：（I）因为 C1，C2的离心率相同，故依题意可设22222122242:1,:1,(0)xyb yxCCababaa设直线，分别与 C1，C2的方程联立，求得:(| |)l xtta4 分2222( ,), ( ,).abA tatB tatba当表示 A，B 的纵坐标，可知13,22ABebayy时分别用6 分222|3|:|.2|4BAybBCADya（II）t=0 时的l不符合题意.时，BO/AN 当且仅当 BO 的斜率kBO与 AN 的斜率kAN0t 相等，即2222,baatatab tta 解得222221.a
11、betaabe 因为2212| |,01,1,1.2etaeee又所以解得所以当时，不存在直线l，使得 BO/AN；202e当时，存在直线l使得 BO/AN.212e3.设，点的坐标为（1,1） ，点在抛物线上运动，点满足， AByxQQABQ经过点与轴垂直的直线交抛物线于点，点满足,求点的轨迹方程。QxMPMPQMP【命题意图】：本题考查直线和抛物线的方程，平面向量的概念，性质与运算，动点轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养。【解析】：由知 Q,M,P 三点在同一条垂直于 x 轴的直线上，故可设QMMPuuuruuu r，则，即( , )P x
12、y( ,)Q x y( ,)M x x()xyyx ()()yxyxxy 再设,由，即，解得( ,)B x yBQQAuuu ruur (,)(,)xx yyxy()()xxyy 将代入式，消去得y()()()xxyxy 又点 B 在抛物线上，所以，再将式代入得yxyx，即()()()xyx ，即()()()()xyxx ，因为，等式两边同时约去()()()xy 得 ()xy 这就是所求的点的轨迹方程。P【解题指导】：向量与解析几何相结合时，关键是找到表示向量的各点坐标，然后利用相关点代入法或根与系数关系解决问题，此外解析几何中的代数式计算量都是很大的，计算时应细致加耐心。4.在平面直角坐标系
13、 xOy 中，已知点 A(0,-1)，B 点在直线 y = -3 上，M 点满足 MB/OA， MAAB = MBBA，M 点的轨迹为曲线 C。（）求 C 的方程；（）P 为 C 上的动点，l 为 C 在 P 点处得切线，求 O 点到 l 距离的最小值。解析; ()设 M(x,y),由已知得 B(x,-3),A(0,-1).所以MAuuu r =（-x,-1-y）, MBuuu r =(0,-3-y), ABuu u r =(x,-2).再由题意可知（MAuuu r +MBuuu r ） ABuu u r =0, 即（-x,-4-2y） (x,-2)=0.所以曲线 C 的方程式为 y=1 4x
14、2-2.()设 P(x0,y0)为曲线 C：y=1 4x2-2 上一点，因为 y=1 2x,所以l的斜率为1 2x0因此直线l的方程为0001()2yyx xx，即2 000220x xyyx。则 o 点到l的距离2 002 0|2|4yxd x .又2 00124yx，所以2 02 022 0014142(4)2,244x dx xx 当2 0x=0 时取等号，所以 o 点到l距离的最小值为 2.点评：此题考查曲线方程的求法、直线方程、点到直线的距离、用不等式求最值以及导数的应用等。要把握每一个环节的关键。5.在平面直角坐标系中，点为动点，分别为椭圆xOy( , )P a b (0)ab12,F F的左右焦点已知为等腰三角形22221xy ab12FPF（）求椭圆的离心率；e（）设直线与椭圆相交于两点，是直线上的点，满足，2PF,A BM2PF2AM BM uuuu r uuu u r求点的轨迹方程M解：本小题
