《高中数学 第5讲 函数的单调性与最值【新】》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第5讲 函数的单调性与最值【新】（46页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、函数的单调性与最值,课题导入,目标引领,1、函数单调性的一般方法（定义法、导数法、图像法等） 2、复合函数单调性原则 3、抽象函数单调性,上升的,下降的,独立自学,完成状元之路课前知识梳理部分（5分钟）,忆 一 忆 知 识 要 点,增函数,减函数,用定义证明函数单调性的一般步骤 (1)取值：即设x1，x2是该区间内任意两个值，且x1x2. (2)作差：即f(x2)f(x1)(或f(x1)f(x2)，并通过通分、配方、因式分解等方法，向有利于判断差的符号的方向变形 (3)定号：根据给定的区间和x2x1的符号，确定差f(x2)f(x1)(或f(x1)f(x2)的符号当符号不确定时，可以进行分类讨论
2、 (4)判断：根据定义得出结论,引导探究,一、定义法求函数单调性,引导探究,二、抽象函数单调性求法,求下列函数的单调区间 yx22|x|3；解析： (1)依题意，可得 当x0时，yx22x3(x1)24； 当x0时，yx22x3(x1)24. 由二次函数的图象知，函数yx22|x|3在(，1，0,1上是增函数，在1,0，1，)上是减函数,引导探究,三、图像法求函数单调性,解析： (1)先作出函数yx24x3的图象，由于绝对值的作用，把x轴下方的部分翻折到上方，可得函数的图象如图所示 由图可知，函数的增区间为1,2，(3，)，减区间为(，1)，(2,3,引导探究,四、复合函数的单调性求法,引导探
3、究,五、导数法求函数单调性,目标升华,求函数的单调区间与确定单调性的方法一致 (1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间 (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义 (3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间 (4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间,02,当堂诊学,3若函数 f(x) 对任意 a, b R 都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1, 并且当x0 时, 有 f(x)1. 求证: f(x) 是 R 上 的增函数.,证明: 任取 x1, x2R，且 x10, f(x2- x1)
4、1.,=f(x2- x1)-1.,f(x2)-f(x1)0， 即 f(x2)f(x1).,f(x) 是 R 上 的增函数.,f(x2- x1)-10.,=f(x2- x1)+f(x1) -1- f(x1),练一练,强化补请,完成状元之路课时作业并思考：,已知定义在R上的函数y=f(x)满足, f(0)0 , 且当x0时，f(x)1,且对任意的a,bR, f(a+b)= f(a) f(b).(1)求f(0)的值；(2)判断f(x)的单调性.,一、抽象函数的单调性与最值,解: (1)令 a = b = 0, 则,任取x1, x2R，且x10 恒成立.,由于当 x 0 时，f (x) 1,则 f(x
5、2)=f(x2-x1)+x1,f( x1).,即 f(x2)f(x1).,f(x) 是 R 上 的增函数.,=f(x2- x1)f(x1),f(x2- x1)1.,【1】若对一切实数x, y 都有(1)求f(0)的值;(2)判定f(x)的奇数偶性.,令 x = y = 0, 则,令y = -x , 则,故 f (x)是奇函数.,解:因为对于任何实数 x, y 都有,练一练,【3】已知函数 f (x) 对于任何实数 x, y 都有 f (x+y)+f(x-y)=2f (x) f (y) 且 f (0)0 求证: f (x) 是偶函数.,令 x = y = 0, 则,令 x = 0 , 则,故 f
6、 (x)是偶函数.,解：已知函数 f (x) 对于任何实数 x, y 都有 f (x+y)+f(x-y)=2f (x) f (y)，,练一练,例2.判断函数 在区间(-1,1)上的单调性.,解:设,则 f(x1)f(x2),1x1x21,1+x1x20,x2x10, f(x1)f(x2)0 .,即 f(x1)f(x2) .,故此函数在(-1,1)上是减函数.,二、函数单调性的判定及证明,例3. 设 为奇函数,且定义域为R. (1)求b的值； (2)判断函数f(x)的单调性； (3)若对于任意t R, 不等式 恒成立，求实数k的取值范围,解: (1)由 f ( x ) 是奇函数, 则 f(-x )=-f (x),整理, 得,证明: (2) 任取 x1, x2 , 且x1 x2 ,则,所以函数 f(x) 在R内是减函数.,所以实数k的取值范围是,解: (3) 因为 f(x)定义域为R的奇函数,且是减函数,从而判别式,所以对任意t R, 不等式 恒成立.,从而不等式,等价于,所以实数k的取值范围是,设,所以对任意t R, 恒成立.,从而不等式,等价于,从而只须,解: (3) 因为 f(x)定义域为R的奇函数,且是减函数,【1】,二、高考热点聚焦,热点一：函数概念与抽象函数,-8,09年山东,
