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1、1,第九讲 波动率估计,9.1 波动率种类. 9.2 统计模型. 9.3 隐含波动率与隐含风险中性分布. 9.4 波动微笑与波动偏斜.,9.1 波动率种类,2,真实波动率（actual volatility） 在某特殊时刻资产回报率的真实波动程度。 历史波动率（historical volatility） 过去某段时间内资产回报率的波动程度。 隐含波动率（implied volatility） 通过Black-Scholes定价公式，从期权市场价格中得到的资产回报率的波动率。,3,9.2 统计模型,滑动平均 若波动率变化较慢，我们可以N天的滑动窗口计算 其中Ri为第i天的回报率,9.2 统计模
2、型,4,5,9.2 统计模型,ARCH EWMA,9.2 统计模型,6,7,9.2 统计模型,GARCH(1,1) 容易得到,8,9.2 统计模型,Beyond close price Ci表示第i天的收盘价； Oi表示第i天的开盘价； Hi表示第i天的最高价； Li表示第i天的最低价； 利用收盘价的波动率估计,9,9.2 统计模型,Parkinson（1980） Garman & Klass（1980）,10,9.2 统计模型,Rogers & Satchell（1991）,11,9.3 隐含波动率与隐含风险中性分布,隐含波动率 利用Black-Scholes定价公式计算得到的期权价格等于市
3、场价格时，所使用的基本资产的波动率。 即求解，,12,9.3 隐含波动率与隐含风险中性分布,例子9.1 澳元的价格为$0.9。美国的无风险利率为5%，澳大利亚的无风险利率则为10%。一年期执行价格为$0.59的欧式澳元看涨期权价格为0.0236。计算汇率的隐含波动率。 解答：利用DerivaGem，输入给定的参数，计算得到隐含波动率为14.5%。,13,9.3 隐含波动率与隐含风险中性分布,若欧式看涨期权和欧式看跌期权的执行价格和到期期限均相同，则他们计算得到的隐含波动率也相同。 证明：在无套利的假设前提下，有call-put parity成立， 那么期权的市场价格pmkt和cmkt满足上式，
4、同时依据给定的波动率通过Black-Scholes公式计算的pBS和cBS也满足上式，因此 根据看跌期权计算的隐含波动率使得pmkt= pBS，那么此波动率也使得cmkt= cBS.,14,9.3 隐含波动率与隐含风险中性分布,隐含风险中性分布(implied risk-neutral distributions) 欧式看涨期权的风险中性定价公式为 其中g(.)为基本资产到期时刻价格ST在风险中性世界中的概率密度函数。 对执行价格K求二阶导数，得到,15,9.3 隐含波动率与隐含风险中性分布,数值计算 假定T时刻到期的执行价格K，K， K+的欧式看涨期权的价格分别为c1，c2，c3，则,16,
5、9.4 波动微笑和波动偏斜,以隐含波动率和执行价格为坐标轴，描述期权的隐含波动率对于期权执行价格的变化规律的曲线。 波动微笑（Volatility smile）常见于外汇期权,17,9.4 波动微笑和波动偏斜,对应的隐含风险中性分布,18,9.4 波动微笑和波动偏斜,实证结果,19,9.4 波动微笑和波动偏斜,外汇期权存在波动微笑的原因 汇率的波动率不是常数； 汇率常常存在跳点； 导致汇率不符合对数正态分布，为厚尾分布。 随着期权到期期限的增加，非常数波动率及跳点对隐含波动率的影响比例均减小。,20,9.4 波动微笑和波动偏斜,波动偏斜（Volatility skew）常见于股票期权,21,9
6、.4 波动微笑和波动偏斜,对应的隐含风险中性分布,22,9.4 波动微笑和波动偏斜,股票期权存在波动偏斜的原因 财务杠杆解释 当公司价值下降时（股价下跌时），公司的财务杠杆比率增加，公司的风险增加，所以波动率增加；反之，当公司价值增加时，公司财务杠杆比率下降，公司风险减小，波动率减小。 崩盘恐惧（Crashophobia） 投资者害怕股市崩盘的发生，对较低执行价格的期权的定价较为谨慎。,23,9.4 波动微笑和波动偏斜,波动率平面（volatility surface） 波动率期限结构：描述（隐含）波动率与到期期限的关系的曲线。 波动率平面：描述（隐含）波动率与执行价格，到期期限的关系的平面。
7、,24,9.4 波动微笑和波动偏斜,25,9.4 波动微笑和波动偏斜,26,9.4 波动微笑和波动偏斜,Black-Scholes模型的作用 如果股票价格不满足对数正态分布，那么Black-Scholes模型是否还有存在的价值？ YES！可以利用Black-Scholes模型为工具，依据观测到的交易较为频繁的期权价格数据，求得与观测到的数据相容的其他期权的价格。,27,第十讲 特异期权定价,10.1 期权定价回顾. 10.2 偏微分方程的有限差分解法. 10.3 蒙特卡罗模拟. 10.4 障碍期权的简介和静态对冲.,10.1 期权定价回顾 （参见：衍生产品定价Lecture 6）,28,Ass
8、umptions i. Trading takes place continuously in time. ii. The risk-free rate r is known and constant over time. iii. The asset pays no dividend. iv. There are no transaction costs in buying or selling the asset or the option, and no taxes. v. The assets are perfectly divisible. vi. There are no pena
9、lties for short selling and the full use of proceeds is permitted. vii. There are no arbitrage opportunities. viii. The asset price process is given by,10.1 期权定价回顾,29,考虑由价格为V(St, t)的衍生产品（支付记为payoff）和基本资产构成的如下投资组合: 卖空一单位衍生产品+持有 单位基本资产 此投资组合为无风险投资组合，回报率为 r。因此，我们得到Black-Scholes-Merton定价方程,10.1 期权定价回顾,3
10、0,Black-Scholes-Merton定价方程的解可以表示为 其中E*.表示在风险中性世界中求期望。（可以使用二叉树或者三叉树模型近似计算） 在风险中性世界中基本资产价格过程满足,31,10.2 偏微分方程的有限差分解法,32,10.2 偏微分方程的有限差分解法,记号：,33,10.2 偏微分方程的有限差分解法,各微分的近似计算 Theta (误差O(t) Delta,34,10.2 偏微分方程的有限差分解法,35,10.2 偏微分方程的有限差分解法,各微分的近似计算（继续） Delta (误差O(S2) Gamma (误差O(S2),36,10.2 偏微分方程的有限差分解法,例子10.
11、1： Theta=10; Delta=1.25; Gamma=0.25;,37,10.2 偏微分方程的有限差分解法,有限差分法 偏微分方程改写为,38,10.2 偏微分方程的有限差分解法,39,10.2 偏微分方程的有限差分解法,边界条件与终值条件 Call option （ 为执行价格） Put option,40,10.2 偏微分方程的有限差分解法,边界条件（继续） Most contract Payoff is at most linear in the underlying for large S,41,10.3 蒙特卡罗模拟,蒙特卡罗模拟定价 模拟风险中性世界中基本资产价格路径（从S
12、0出发，以无风险回报率为漂移项的随机游走路径）； 对此特定路径，计算衍生产品的payoff； 模拟众多样本路径； 计算衍生产品payoff的平均值； 对平均值进行贴现；,42,10.3 蒙特卡罗模拟,几何布朗运动路径模拟 Euler法： 其中 为来自标准正态分布的样本。 精确模拟：,43,10.3 蒙特卡罗模拟,44,10.3 蒙特卡罗模拟,45,10.3 蒙特卡罗模拟,衍生产品的风险控制 如果相对未对冲的期权头寸的风险进行估计和衡量，我们应该使用期权payoff在风险中性世界中的分布，还是其在现实世界中的分布？,46,10.3 蒙特卡罗模拟,47,10.3 蒙特卡罗模拟,对冲头寸Delta的
13、计算 计算V(St+h, t)与V(Sth, t)时使用相同数据。,48,10.4 障碍期权的简介和静态对冲,障碍期权（Barrier Option） Out option（触碰失效期权） 当基本资产价格触碰某确定边界时，期权失效，payoff为0（或者payoff为R, 称为Rebate）。 In option（触碰生效期权） 当基本资产价格触碰某确定边界时，期权生效，直到到期日。 Up option （Down option） 边界高于（或低于）初始资产价格。,49,10.4 障碍期权的简介和静态对冲,50,10.4 障碍期权的简介和静态对冲,障碍期权的终值和边界条件 up-and-out
14、 call option up-and-in call option 因此in+out=vanilla.,51,10.4 障碍期权的简介和静态对冲,特异障碍期权 提前执行 重复触碰 边界重置 外部边界 柔性边界 Parisian期权,52,10.3 蒙特卡罗模拟,Up-and-out call,53,10.3 蒙特卡罗模拟,Delta of Up-and-out call,54,10.4 障碍期权的简介和静态对冲,静态对冲（Static Hedge） 利用平凡的看涨期权、看跌期权或者两值期权尽可能地模拟障碍期权的价值。 例如：若对冲一个up-and-out call option的空头，可以选择持有相同到期期限和执行价格的欧式call option的多头。（如果触碰失效，则投资者剩余一个call option的多头）,55,10.4 障碍期权的简介和静态对冲,静态对冲（继续） Down-and-in call option空头（执行价格 大于触碰边界 ） 对冲策略：持有 单位到期期限相同，执行价格为 的put option（称为反射原则）。 若未触碰边界，down-and-in call option和put option的价值均为零； 若触碰边界生效， down-and-in call option的价值与相同执行价格的call option价值相等，则在边界处有,
