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1、四、立体几何四、立体几何一、选择题1.（重庆理 9）高为的四棱锥 S-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形，点2 / 4S、A、B、C、D 均在半径为 1 的同一球面上，则底面 ABCD 的中心与顶点 S 之间的距离 为A2 4B2 2C1 D2【答案】C 2.（浙江理 4）下列命题中错误的是A如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B如果平面 不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C如果平面 平面，平面 平面，=l，那么l平面D如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面【答案】D3.（四川理 3）1l，2l，3l是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是A12ll，23ll
2、13/ /llB12ll，23/ /ll13llC233/ / /lll1l，2l，3l共面 D1l，2l，3l共点1l，2l，3l共面【答案】B 【解析】A 答案还有异面或者相交，C、D 不一定 4.（陕西理 5）某几何体的三视图如图所示， 则它的体积是A283 B83C82D2 3【答案】A5.（浙江理 3）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是【答案】D 6.（山东理 11）右图是长和宽分别相等的两个矩形给定下列三个命题：存在三棱柱， 其正（主）视图、俯视图如下图；存在四棱柱，其正（主）视图、俯 视图如右图；存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如右图其中真命 题的个数是 A3
3、 B2 C1 D0【答案】A 7.（全国新课标理 6）。在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的 侧视图可以为【答案】D 8.（全国大纲理 6）已知直二面角 ，点 A，AC，C 为垂足，B，BD，D 为垂足若 AB=2，AC=BD=1，则 D 到平面 ABC 的距离等于332正视图侧视图俯视图 图 1A2 3B3 3C6 3D1 【答案】C9.（全国大纲理 11）已知平面 截一球面得圆 M，过圆心 M 且与 成060二面角的平面 截该球面得圆 N若该球面的半径为 4，圆 M 的面积为 4，则圆 N 的面积为 A7 B9 C11 D13 【答案】D 10.（湖南理 3）设图 1
4、 是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A9122 B9182C942D3618【答案】B11.（江西理 8）已知1a，2a，3a是三个相互平行的平面平面1a，2a之间的距离为1d，平面2a，3a之间的距离为2d直线l与1a，2a，3a分别相交于1p，2p，3p，那么“12PP=23P P”是“12dd”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】C 12.（广东理 7）如图 13，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图） 和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为A6 3 B9 3 C12 3 D18 3【答案】B 13.（北京理 7）某四面
5、体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是A8 B6 2 C10 D8 2【答案】C 14.（安徽理 6）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （A）48 （B）32+8（C）48+8（D）80【答案】C15.（辽宁理 8） 。如图，四棱锥 SABCD 的底面为正方形，SD底面 ABCD，则下列结 论中不正确的是 （A）ACSB （B）AB平面 SCD （C）SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 （D）AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角 【答案】D 16.（辽宁理 12） 。已知球的直径 SC=4，A，B 是该球球面上
6、的两点，AB=3，30BSCASC，则棱锥 SABC 的体积为（A）33（B）32（C）3（D）1【答案】C17 （上海理 17）设12345,A A A A A是空间中给定的 5 个不同的点，则使123450MAMAMAMAMA 成立的点M的个数为 A0 B1 C5 D10 【答案】B 二、填空题18.（上海理 7）若圆锥的侧面积为2，底面积为，则该圆锥的体积为 。【答案】3 319.（四川理 15）如图，半径为 R 的球 O 中有一内接圆柱当圆柱的侧面积最大是，求的 表面积与改圆柱的侧面积之差是 【答案】22 R【解析】22222 max224()SrRrrRrS侧侧时，2 22222 2
7、2RrRrrrR ，则222422RRR20.（辽宁理 15）一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为32，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是 【答案】2 321.（天津理 10）一个几何体的三视图如右图所示（单位：m） ，则该几何体的体积为_3m【答案】622.（全国新课标理 15） 。已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上，且AB=6，BC=2 3，则棱锥 O-ABCD 的体积为_【答案】8 323.（湖北理 14）如图，直角坐标系xOy所在的平面为，直角坐标系xOy（其中y轴一与y轴重合）所在的平面为，45xOx。（）已知平面内有
8、一点(2 2,2)P，则点P在平面内的射影P的坐标为 （2，2） ；（）已知平面内的曲线C的方程是22(2)220xy，则曲线C在平面内的射影C的方程是 。【答案】22(1)1xy24.（福建理 12）三棱锥 P-ABC 中，PA底面 ABC，PA=3，底面 ABC 是边长为 2 的正三 角形，则三棱锥 P-ABC 的体积等于_。【答案】3三、解答题25.（江苏 16）如图，在四棱锥ABCDP 中，平面 PAD平面ABCD，AB=AD，BAD=60，E、F 分别是 AP、AD 的中点 求证：（1）直线 EF平面 PCD； （2）平面 BEF平面 PADFEACDBP本题主要考查直线与平面、平面
9、与平面的位置关系，考察空间想象能力和推理论证能力。 满分 14 分。 证明：（1）在PAD 中，因为 E、F 分别为 AP，AD 的中点，所以 EF/PD. 又因为 EF平面 PCD，PD平面 PCD， 所以直线 EF/平面 PCD. （2）连结 DB，因为 AB=AD，BAD=60， 所以ABD 为正三角形，因为 F 是 AD 的 中点，所以 BFAD.因为平面 PAD平面ABCD，BF平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD=AD，所以 BF平面 PAD。又因为BF平面 BEF，所以平面 BEF平面 PAD.26.（安徽理 17）如图，ABCDEFG为多面体，平面ABED与平面AGFD垂
10、直，点O在线段AD上，1,2,OAODOAB，,OAC，ODE，ODF都是正三角形。（）证明直线BCEF；（II）求棱锥 FOBED 的体积。本题考查空间直线与直线，直线与平面、平面与平面的位置关系，空间直线平行的证明， 多面体体积的计算等基本知识，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力.（I） （综合法） 证明：设 G 是线段 DA 与 EB 延长线的交点. 由于OAB 与ODE 都是正三角形，所 以OBDE21，OG=OD=2，=同理，设G是线段 DA 与线段 FC 延长线的交点，有. 2ODGO又由于 G 和G都在线段 DA 的延长线上，所以 G 与G重合.在GED 和GFD 中，
11、由OBDE21和 OCDF21，可知 B 和 C 分别是 GE 和GF 的中点，所以 BC 是GEF 的中位线，故 BCEF. （向量法）过点 F 作ADFQ ，交 AD 于点 Q，连 QE，由平面 ABED平面 ADFC，知 FQ平面 ABED，以 Q 为坐标原点，QE为x轴正向，QD为 y 轴正向，QF为 z 轴正向，建立如图所示空间直角坐标系.由条件知).23,23, 0(),0 ,23,23(),3, 0 , 0(),0 , 0 , 3(CBFE则有).3, 0 , 3(),23, 0 ,23(EFBC所以,2BCEF 即得 BCEF.（II）解：由 OB=1，OE=2，23,60EO
12、BSEOB知 ，而OED 是边长为 2 的正三角形，故. 3OEDS所以.233OEDEOBOBEDSSS过点 F 作 FQAD，交 AD 于点 Q，由平面 ABED平面 ACFD 知，FQ 就是四棱锥FOBED 的高，且 FQ=3，所以.23 31OBEDOBEDFSFQV27.（北京理 16） 如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，2,60ABBAD .()求证：BD 平面;PAC（）若,PAAB求PB与AC所成角的余弦值；（）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长.=证明：（）因为四边形 ABCD 是菱形， 所以 ACBD. 又因为 PA平面 ABCD.
13、所以 PABD. 所以 BD平面 PAC. （）设 ACBD=O. 因为BAD=60，PA=PB=2,所以 BO=1，AO=CO=3.如图，以 O 为坐标原点，建立空间直角坐标系 Oxyz，则P（0，3，2） ，A（0，3，0） ，B（1，0，0） ，C（0，3，0）.所以).0 , 32 , 0(),2, 3, 1 (ACPB设 PB 与 AC 所成角为，则4632226| |cos ACPBACPB.（）由（）知).0 , 3, 1(BC设 P（0，3，t） （t0） ，则), 3, 1(tBP设平面 PBC 的法向量),(zyxm ,则0, 0mBPmBC所以03, 03tzyxyx令,
14、 3y则.6, 3tzx所以)6, 3, 3(tm 同理，平面 PDC 的法向量)6, 3, 3(tn因为平面 PCB平面 PDC,所以nm=0，即03662t解得6t所以 PA=628.（福建理 20） 如图，四棱锥 P-ABCD 中，PA底面 ABCD，四边形 ABCD 中，ABAD，AB+AD=4，CD=2，45CDA（I）求证：平面 PAB平面 PAD； （II）设 AB=AP（i）若直线 PB 与平面 PCD 所成的角为30，求线段 AB 的长；（ii）在线段 AD 上是否存在一个点 G，使得点 G 到点 P，B，C，D 的距离都相等？ 说明理 由。本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间 想象能力、推理论证能力、抽象根据能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结 合思想、化归与转化思想，满分 14 分。 解法一： （I）因为PA 平面 ABCD，AC 平面 ABCD，所以PAAB，又,ABAD PAADA所以AB 平面 PAD。 又AB 平面 PAB，所以平面PAB 平面 PAD。 （II）以 A 为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz（如图）在平面 ABCD 内
