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1、,第三章 刚体的定轴转动,本章知识结构,角动量,力矩作功,转动动能,刚体转动,角速度、角加速度,教学基本要求,一 理解描写刚体定轴转动的物理量，并掌握角量与线量的关系.,二 理解力矩和转动惯量概念，掌握刚体绕定轴转动的转动定理.,三 理解角动量概念，掌握质点在平面内运动以及刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒问题.,能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体的简单系统的力学问题.,四 理解刚体定轴转动的转动动能概念，能在有刚体绕定轴转动的问题中正确地应用机械能守恒定律,3-1 转动动能 转动惯量,刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体 . （任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）,刚体最简单
2、的运动形式：平动、转动 .,一、刚体,工s03-平动3.swf,平动：若刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线 .,二、平动和转动,平动视频,工s03-平动2.swf,转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动. 转动又分定轴转动和非定轴转动 .,刚体的平面运动 .,工s03-转动.swf,三、刚体的定轴转动,定轴转动：,刚体上各点都绕同一直线（转轴）作不同半径的圆周运动，而轴本身在空间的位置不变。且在相同时间内转过相同的角度。,打滑时,角位移,角坐标,角速度矢量,方向: 右手螺旋方向,刚体转动的角速度和角加速度,角量与线量的关系,角
3、加速度,1） 每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面； 2） 任一质点运动 均相同，但 不同； 3） 运动描述仅需一个坐标 .,定轴转动的特点,刚体定轴转动（一维转动）的转动方向可以用角速度的正负来表示 .,匀变速转动公式,当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做匀变速转动 .,刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比,一条缆索绕过一定滑论拉动一升降机,滑论半径为 0.5m, 如果升降机从静止开始以a=0.4m/s2匀加速上升，求：,(1) 滑轮的角加速度。,(2) 开始上升后,5 秒末滑轮的角速度,(3) 在这5 秒内滑轮转过的圈数。,(4) 开始上升后,1 秒末滑轮边缘上一点的加速度(不
4、打滑) 。,解: (1) 轮缘上一点的切向加速度与物体的加速度相等,Example 3.1-线度角度关系,(2),(3),(4),合加速度的方向与轮缘切线方向夹角,质点运动的动能:,刚体是由许多质点组成的, 第 小块质元的质量 其动能：,绕定轴转动刚体的总动能:,四、刚体的转动动能,理论计算,单位：kg m2, 表示刚体相对于确定转轴的特征的物理量,五、转动惯量,一质点对O点：J = m r 2,同样质量做成半径r 的圆环，对中心轴,例：,O,质量离散分布刚体的转动惯量,转动惯性的计算方法,解 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO 为 处的质量元,例题3-3 一质量为 、长为 的均匀细长棒，求
5、通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 .,如转轴过端点垂直于棒,Example2 -P97-3-3,解：设圆盘的质量面密度为，在圆盘上取一半径为r、宽度为dr的圆环（如图），环的面积为2rdr，环的质量dm= 2rdr 。可得,Example3 -P98-3-4,转动惯量与质量分布有关,转动惯量与材料性质有关,平行轴定理:,刚体对任一轴的转动惯量 J, 等于对过中 心的平行轴的 转动惯量与二轴间的垂直距离 h 的平方和刚体质量的乘积之和。,转动惯量与转轴位置有关,转动惯量是描述刚体对轴转动惯性大小的物理量,决定转动惯量的大小的因素,通过任一转轴A的转动惯量：,（取C为坐标原点）,P99-3-1表
6、,例3-4 求质量 m 半径 R 的 (1) 均质圆环， (2) 均质圆盘 对通过直径的转轴的转动惯量。,解：,(1) 圆环：,Example-圆环,(2) 圆盘：,可见，转动惯量与刚体的质量分布有关。,3-2 力矩的功 定轴转动定律,: 力臂,刚体绕 O z 轴旋转 , 力 作用在刚体上点 P , 且在转动平面内, 为由点O 到力的作用点 P 的径矢 .,对转轴 Z 的力矩,一 力矩,2）合力矩等于各分力矩的矢量和,其中 对转轴的力 矩为零，故 对转轴的力矩,二、力矩的功,力矩的功：当刚体在外力矩作用下绕定轴转动而发生角位移时，就称力矩对刚体做功。,力 对P 点作功：,因,力矩作功：,对于刚
7、体定轴转动情形，因质点间无相对位移，任何一对内力作功为零。,1. 转动动能,合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量 .,三、 刚体绕定轴转动的动能定理,2.定轴转动的动能定理,表明：一个不太大的刚体的重力势能与它的质量集中在质心时所具有的势能一样。,即：,质心高度为：,对于一个不太大的质量为 的物体，它的重力势能应是组成刚体的各个质点的重力势能之和。,四、刚体的重力势能,例题3-5如图，冲床上配置一质量为5000kg的飞轮， r1=0.3m, r2=0.2m.今用转速为900r/min的电动机借皮带传动来驱动飞轮，已知电动机的传动轴直径为d=10cm。（1）求飞轮的转动动能。
8、 （2）若冲床冲断0.5mm厚 的薄钢片需用冲力9.80104 N，所消耗的能量全部由飞 轮提供，问冲断钢片后飞轮 的转速变为多大？,Example4 P100-3-5,解：（1）为了求飞轮的转动动能，需先求出它的转动惯量和转速。因飞轮质量大部分分别布在轮缘上，由图示尺寸并近似用圆筒的转动惯量公式，得,皮带传动机构中，电动机的传动轴是主动轮，飞轮是从动轮。两轮的转速与轮的直径成反比，即飞轮的转速为,由此得飞轮的角速度,这样飞轮的转动动能是,（2）在冲断钢片过程中，冲力F所作的功为,这就是飞轮消耗的能量，此后飞轮的能量变为,由,求得此时间的角速度为,而飞轮的转速变为,应用牛顿第二定律，可得：,对
9、刚体中任一质量元,-外力,-内力,采用自然坐标系，上式切向分量式为：,五. 刚体定轴转动定律,用ri乘以上式左右两端：,设刚体由N 个点构成，对每个质点可写出上述类似方程，将N 个方程左右相加，得：,根据内力性质(每一对内力等值、反向、共 线,对同一轴力矩之代数和为零)，得：,得到：,上式左端为刚体所受外力的合外力矩，以M 表示；右端求和符号内的量与转动状态无关，称为刚体转动惯量，以J 表示。于是得到,刚体定轴转动定律,刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比 ，与刚体的转动惯量成反比 .,例题3-6 一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体1和2，m1m
10、1，物体1向上运动，物体2向下运动，滑轮以顺时针方向旋转，Mr的指向如图所示。可列出下列方程,式中是滑轮的角加速度，a是物体的加速度。滑轮边缘上的切向加速度和物体的加速度相等，即,从以上各式即可解得,而,当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令m=0、Mr=0时，有,上题中的装置叫阿特伍德机，是一种可用来测量重力加速度g的简单装置。因为在已知m1、 m2 、r和J的情况下，能通过实验测出物体1和2的加速度a，再通过加速度把g算出来。在实验中可使两物体的m1和m2相近，从而使它们的加速度a和速度v都较小，这样就能角精确地测出a来。,例题3-7 一半径为R，质量为m匀质圆盘，平放在粗糙的水平桌面上。设盘与桌
11、面间摩擦系数为，令圆盘最初以角速度0绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问它经过多少时间才停止转动？,解：由于摩擦力不是集中作用于一点，而是分布在 整个圆盘与桌子的接触面上，力矩的计算要用积分 法。在图中，把圆盘分成许多环形质元，每个质元 的质量dm=rddre，所受到的阻力矩是rdmg 。,Example P103-3-7,此处e是盘的厚度。圆盘所受阻力矩就是,因m=eR2，代入得,根据定轴转动定律，阻力矩使圆盘减速，即 获得负的角加速度.,设圆盘经过时间t停止转动，则有,由此求得,3-3定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律,1 质点的角动量,质量为 的质点以速度 在空间运动，某时刻相对原点 O
12、的位矢为 ，质点相对于原点的角动量,大小,的方向符合右手法则.,一、刚体的角动量,2 刚体定轴转动的角动量,大小：,方向：,定义转动惯量,二、 刚体定轴转动的角动量定理,刚体定轴转动定理：,则该系统对该轴的角动量为：,由几个物体组成的系统，如果它们对同一给定轴的角动量分别为 、 、，,对于该系统还有,为 时间内力矩 M 对给定轴的冲量矩之和。,角动量定理的积分形式：,则由,得,角动量守恒定律：若一个系统一段时间内所受合外力矩M 恒为零，则此系统的总角动量L 为一恒量。,恒量,讨论：,a.对于绕固定转轴转动的刚体，因J 保持不变，当合外力矩为零时，其角速度恒定。,=恒量,=恒量,三.、定轴转动刚
13、体的角动量守恒定律,b.若系统由若干个刚体构成,当合外力矩为零时,系统的角动量依然守恒。J 大 小,J 小 大。,c.若系统内既有平动也有转动现象发生，若对某一定轴的合外力矩为零,则系统对该轴的角动量守恒。,理工v03-茹科夫斯基转椅_30s.WMV,L,A,B,A,B,C,C,常平架上的回转仪,应用事例：,理工v03-角动量直升机_45s.WMV,例题3-8 工程上，常用摩擦啮合器使两飞轮以相同的转速一起转动。如图所示，A和B两飞轮的轴杆在同一中心线上，A轮的转动惯量为JA=10kgm2，B的转动惯量为JB=20kgm2 。开始时A轮的转速为600r/min，B轮静止。C为摩擦啮合器。求两轮
14、啮合后的转速；在啮合过程中，两轮的机械能有何变化？,Example 3.3 P108-3-8,解：以飞轮A、B和啮合器C作为一系统来考虑，在啮合过程中，系统受到轴向的正压力和啮合器间的切向摩擦力，前者对转轴的力矩为零，后者对转轴有力矩，但为系统的内力矩。系统没有受到其他外力矩，所以系统的角动量守恒。按角动量守恒定律可得,为两轮啮合后共同转动的角速度，于是,以各量的数值代入得,或共同转速为,在啮合过程中，摩擦力矩作功，所以机械能不守恒，部分机械能将转化为热量，损失的机械能为,例题3-7 一匀质细棒长为l ，质量为m，可绕通过其端点O的水平轴转动，如图所示。当棒从水平位置自由释放后，它在竖直位置上
15、与放在地面上的物体相撞。该物体的质量也为m ，它与地面的摩擦系数为 。相撞后物体沿地面滑行一距离s而停止。求相撞后棒的质心C 离地面的最大高度h，并说明棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件。,解：这个问题可分为三个阶段进行分析。第一阶段是棒自由摆落的过程。这时除重力外，其余内力与外力都不作功，所以机械能守恒。我们把棒在竖直位置时质心所在处取为势能,Example 3.4-摆动,零点，用表示棒这时的角速度,则,（1）,第二阶段是碰撞过程。因碰撞时间极短，自由的冲力极大，物体虽然受到地面的摩擦力，但可以忽略。这样，棒与物体相撞时，它们组成的系统所受的对转轴O的外力矩为零，所以，这个系统的对O轴的角动量守恒。我们用v表示物体碰撞后的速度，则,（2）,式中为棒在碰撞后的角速度，它可正可负。 取正值，表示碰后棒向左摆；反之，表示向右摆。,
