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1、导数的应用习题课,天马行空官方博客：http:/ ；QQ:1318241189；QQ群：175569632,一、知识点,1导数应用的知识网络结构图：,天马行空官方博客：http:/ ；QQ:1318241189；QQ群：175569632,2基本思想与基本方法：,数形转化思想：从几何直观入手，理解函数单调性与其导数的关系，由导数的几何意义直观地探 讨出用求导的方法去研究，解决有导数函数的极值与最值问题。这体现了数学研究中理论与实践的辩证关系，具有较大的实践意义。,求有导数函数y=f(x)单调区间的步骤：i）求f(x)；ii）解不等式f(x)0（或f(x)0）；iii）确认并指出递增区间（或递减
2、区间）。,证明有导数函数y=f(x)在区间(a，b)内的单调性：i）求f(x)；ii）解不等式f(x)0（或f(x)0）；iii）确认f(x)在(a，b)内的符号；iv）作出判断。,求有导数的函数y=f（x）的极值的步骤：i）求导数f(x)；ii）求方程f(x)=0的全部实根；iii）检查f(x)在方程f(x)=0的根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个 根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x） 在这个根处取得极小值。,设y=f（x）在a，b上有定义，在(a，b)内有导数，求f（x）在a，b上的最大值和最小值的步骤：i）求f（x）在（a，b）内的极值；ii）将f（x）的各极值
3、与f（a）、f（b）比较，确 定f（x）的最大值与最小值。,在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点（单峰函数），那么，只要根据实际意义判定最值，不必再与端点的函数值作比较。,二、例题选讲,因此,函数在(-,0)和(1/2,1)上是增函数,而在(0,1/2) 和(1,+)上是减函数.,例2:已知函数f(x)=ax3+bx2,曲线y=f(x)过点P(-1,2),且在点P处的切线恰好与直线x-3y=0垂直.(1)求a、b的值；(2)若f(x)在区间m,m+1上单调递增,求m的取值范围.,故f(x)的单调递增为(-,-2和0,+).,即m+1-2或m0,故m-3或m0.,练习1:已知函数f(x)
4、=x3-3ax+b(a0)的极大值为6,极小值为2.(1)试确定常数a、b的值;(2)求函数的单调递增区间.,答案:(1)a=1,b=4.(2)单调递增区间为(-,-1)和(1,+).,例3:试问:曲线y=x6/3上哪一点的法线在y轴上截距最小?(所谓法线是指:过曲线上一点与以此点为切点的 切线垂直的直线).,练习2:已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-2/3与x=1处都取得极值.(1)求a、b的值;(2)若x-1,2时,不等式f(x)c2恒成立,求c的取值范围.,答案:(1)a=-1/2,b=-2.(2)利用f(x)max2.,练习3:若函数f(x)=x3+bx2+cx在(-,0
5、及2,+)上都是增函数,而在(0,2)上是减函数,求此函数在-1,4上的值域.,解:设B(x,0)(0x2), 则A(x, 4x-x2).,从而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积 为:S(x)=|AB|BC|=2x3-12x2+16x(0x2).,例5:已知x,y为正实数,且x2-2x+4y2=0,求xy的最大值.,解:由x2-2x+4y2=0得:(x-1)2+4y2=1.,所以当x=1时,f(x)取最小值f(1)=1.,三、小结,四、作业,1.要充分掌握导数应用的基本思想与基本方法.,2.要认识导数应用的本质,强化应用意识.,3.认真梳理知识,夯实基础,善于利用等价转化,数形结合等数学思想方法,发展延拓,定能不断提高解题的灵活性和变通性.,p.257258课后强化训练.,说明:此题为p.248第15题.,解:(1)由已知得ff(x)=f(x2+c)=(x2+c)2+c,f(x2+1)=(x2+1)2+c;,由ff(x)=f(x2+1)得:(x2+c)2+c=(x2+1)2+c,即 (x2+c)2=(x2+1)2,故c=1.所以f(x)=x2+1.,从而g(x)=ff(x)=f(x2+1)=(x2+1)2+1=x4+2x2+2.,
