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1、一， 2017山东济南调研如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1C1C是边长为 4 的正方形平面ABC平面AA1C1C，AB3，BC5.(1)求证：AA1平面ABC；(2)求二面角A1BC1B1的余弦值；(3)在线段BC1上是否存在点D，使得ADA1B？若存在，试求出的值BD BC1(1)证明 在正方形AA1C1C中，A1AAC.又平面ABC平面AA1C1C，且平面ABC平面AA1C1CAC，AA1平面AA1C1C.AA1平面ABC.(2)解 由(1)知，AA1AC，AA1AB，由题意知，在ABC中，AC4，AB3，BC5，BC2AC2AB2，ABAC.以A为坐标原点，建立如图所示空间直角
2、坐标系Axyz.A1(0,0,4)，B(0,3,0)，C1(4,0,4)，B1(0,3,4)，于是(4,0,0)，(0,3，4)，A1C1A1B(4，3,0)，(0,0,4)B1C1BB1设平面A1BC1的法向量n n1 1(x1，y1，z1)，平面B1BC1的法向量n n2 2(x2，y2，z2)Error!Error!取向量n n1 1(0,4,3)由Error!Error!取向量n n2 2(3,4,0)cos .n n1 1n n2 2 | |n n1 1| | |n n2 2| |16 5 516 25由题图可判断二面角A1BC1B1为锐角，故二面角A1BC1B1的余弦值为.16 2
3、5(3)解 假设存在点D(x，y，z)是线段BC1上一点，使ADA1B，且，BDBC1(x，y3，z)(4，3,4)，解得x4，y33，z4，(4，33，4)AD又ADA1B，03(33)160，解得，9 250,1，9 25在线段BC1上存在点D，使得ADA1B，此时.BD BC19 25二， 如图，在四棱锥PABCD中，已知PA平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，ABCBAD，PAAD2，ABBC1. 2(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；(2)点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长解 以， ，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axy
4、z，ABADAP则各点的坐标为B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)(1)由题意知，AD平面PAB，所以是平面PAB的一个法向量，AD(0,2,0)AD因为(1,1，2)，(0,2，2)PCPD设平面PCD的法向量为m m(x，y，z)，则m m0，m m0，PCPD即Error!令y1，解得z1，x1.所以m m(1,1,1)是平面PCD的一个法向量从而 cos，m m，ADADm m|AD|m m|33所以平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为.33(2)因为(1,0,2)，BP设(，0,2)(01)，BQBP又(0，1,0)，CB则(，1,2)，CQC
5、BBQ又(0，2,2)，DP从而 cos， .CQDPCQDP|CQ|DP|121022设 12t，t1,3，则 cos2， CQDP2t2 5t210t9.29(1t5 9)220 99 10当且仅当t ，即 时，|cos， |的最大值为.9 52 5CQDP3 1010因为ycos x在上是减函数，(0， 2)所以此时直线CQ与DP所成角取得最小值又因为BP，12225所以BQBP.2 52 55三，2016浙江卷如图，在三棱台ABCDEF中，平面BCFE平面ABC，ACB90，BEEFFC1，BC2，AC3.(1)求证：BF平面ACFD；(2)求二面角BADF的平面角的余弦值(1)证明
6、延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示因为平面BCFE平面ABC，平面BCFE平面ABCBC，且ACBC，所以AC平面BCK，因此BFAC.又EFBC，BEEFFC1，BC2，所以BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BFCK，又ACCKC，所以BF平面ACFD.(2)解 解法一：过点F作FQAK于Q，连接BQ.因为BF平面ACK，所以BFAK，则AK平面BQF，所以BQAK.所以BQF是二面角BAD F的平面角在 RtACK中，AC 3，CK2，得AK，FQ.133 1313在 RtBQF中，FQ，BF，得3 13133cos BQF.34所以二面角BADF的平面角的余弦值为.34解法
7、二：如图，延长AD，BE，CF相交于一点K，则BCK为等边三角形取BC的中点O，连接KO，则KOBC，又平面BCFE平面ABC，所以KO平面ABC.以点O为原点，分别以射线OB，OK的方向为x轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意，得B(1,0,0)，C(1,0,0)，K(0,0，)，A(1，3，0) ，E，F3(1 2，0，32).(1 2，0，32)因此，(0,3,0)，(1,3，)，ACAK3(2,3,0)AB设平面ACK的法向量为m m(x1，y1，z1)，平面ABK的法向量为n n(x2，y2，z2)由Error!得Error!取m m(，0，1)；3由Error!得E
8、rror!取n n(3，2，)3于是 cosm m，n n.m mn n | |m m| | |n n|34所以二面角BADF的平面角的余弦值为.34四，2016河南九校联考 (本小题满分 15 分)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADBC，ADCD，且ADCD2，BC4，PA2，点M在PD上22(1)求证：ABPC；(2)若二面角MACD的大小为 45，求BM与平面PAC所成角的正弦值解 (1)证明：取BC中点E，连接AE，则ADEC，ADEC，所以四边形AECD为平行四边形，故AEBC，又AEBEEC2，所以ABCACB45，故ABAC，又2ABPA，ACPAA，所以AB平面
9、PAC，(4 分)故有ABPC.(6 分)(2)如图建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2，2，0)，22C(2，2，0)，P(0,0,2)，22D(0,2，0)(7 分)2设(0,2，2)(01)，PMPD2易得M(0,2，22)，2设平面AMC的一个法向量为n n1(x，y，z)，则Error!令y，得x，z，222 1即n n1，(9 分)( 2， 2，2 1)又平面ACD的一个法向量为n n2(0,0,1)，(10 分)|cosn n1，n n2|cos45，|n n1n n2| |n n1|n n2|2 1|4(2 1)2解得 ，(12 分)1 2即M(0， ，1)，
10、(2，3，1)，2BM22而(2，2，0)是平面PAC的一个法向量，(13 分)AB22设直线BM与平面PAC所成的角为，则 sin|cos， |.BMAB|812|4 3 35 39故直线BM与平面PAC所成的角的正弦值为.(15 分)5 39五2016平顶山二调(本小题满分 15 分)在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AEEBCFFACPPB12，如图 1.将AEF沿EF折起到A1EF的位置，使二面角A1EFB成直二面角，连接A1B、A1P，如图 2.(1)求证：A1E平面BEP；(2)求二面角BA1PE的余弦值解 不妨设正三角形ABC的边长为 3.(1)证
11、明：在图 1 中，取BE的中点D，连接DF. AEEBCFFA12，AFAD2，而A60，ADF是正三角形又AEDE1，EFAD. 在图 2 中，A1EEF，BEEF，A1EB为二面角A1EFB的平面角(4 分)由题设条件知此二面角为直二面角，A1EBE.又BEEFE，A1E平面BEF，即A1E平面BEP.(6 分)(2)建立分别以EB、EF、EA1所在直线为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，则E(0,0,0)，A1(0,0,1)，B(2,0,0)，F(0， ，0)，P(1， ，0)，则(0,0，1)，33A1E(2,0，1)，A1B(1， ，0)，(1，0)(8 分)BP3PE3设平面A1B
12、P的法向量为n n1(x1，y1，z1)，由n n1平面A1BP知，n n1，n n1，A1BBP即Error!令x1，得y11，z12，n n1(，1,2)(10 分)3333设平面A1PE的法向量为n n2(x2，y2，z2)由n n2平面A1PE知，n n2，n n2，A1EPE即可得n n2(，1,0)(12 分)3cosn n1，n n2n n1n n2 |n n1|n n2| ，(14 分)3 31 12 3 0 32122 32 0212 321 4所以二面角BA1PE的余弦值是 .(15 分)1 4六2016江苏高考(本小题满分 20 分)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成
13、，上部的形状是正四棱锥PA1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的 4 倍(1)若AB6 m，PO12 m，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为 6 m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？解 (1)由PO12 知O1O4PO18.(1 分)因为A1B1AB6，所以正四棱锥PA1B1C1D1的体积V锥 A1BPO1 62224(m3)(4 分)1 32 11 3正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积V柱AB2O1O628288(m3)(7 分)所以仓库的容积VV锥V柱24288312(m3)(8 分)(2
14、)设A1B1a m，PO1h m，则 00，V是单调递增函数；3当 2h6 时，V0，V是单调递减函数3故h2时，V取得极大值，也是最大值3因此，当 PO12 m 时，仓库的容积最大(20 分)3七2016北京高考(本小题满分 20 分)如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，AB1，AD2，ACCD.5(1)求证：PD平面PAB；(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说AM AP明理由解 (1)证明：因为平面PAD平面ABCD，ABAD，所以AB平面PAD，(3 分)所以ABPD.又PAPD，所以PD平面PAB.(6 分)(2)取AD的中点O，连接PO，CO.因为PAPD，所以POAD.因为PO平面PAD，平面PAD平面ABCD，所以PO平面ABCD.(8 分)因为CO平面ABCD，所以POCO.因为ACCD，所以COAD.如图建立空间直角坐标系Oxyz.由题意得，A(0,
