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1、,第84讲 函数的连续性与导数的概念,复习目标及教学建议,基础训练,知识要点,双基固化,能力提升,规律总结,我最喜爱的高中数学学习网:http:/ 掌握函数在某点处连续,在开区间、闭区间上连续的定义与判定方法,知道函数在某点处不连续三种类型.了解导数的实际背景,理解导数的定义,掌握导数的几何意义. 教学建议 本讲的重点是导数的定义及利用导数求曲线的切线方程.,复习目标及教学建议,2008高考复习方案,基础训练,1f(x)= . y= x2 (x1), x-1(x1) y= 2x+1 (x0), 0(x=0) y=sinx 其中在(-,+)不连续的函数有( ),D,第84讲 函数的连续性与导数的
2、概念,A0个 B1个 C2个 D3个,2008高考复习方案,【解析】、为函数不连续的三种类型.,第84讲 函数的连续性与导数的概念,2已知函数f(x)在x=x0处及附近有定义,给出下列三个结论: f(x)=f(x0); f(x)=(x); f(x)=f(x0) 则函数f(x)在x=x0处连续的充要条件是.,3下列命题中假命题是 ( ) A圆的切线与圆只有一个交点 B与圆有两个交点的直线叫做圆的割线 C曲线的切线与曲线只有一个交点 D抛物线的切线与抛物线只有一个交点,C,2008高考复习方案,D,第84讲 函数的连续性与导数的概念,2008高考复习方案,D,【解析】,A,4若f(x0)=2,则
3、等于 ( ) A-1 B-2 C1 D,第84讲 函数的连续性与导数的概念,2008高考复习方案,D,A,5若曲线y=h(x)在x=a处的切线方程为2x+y+1=0,那么 ( ) Ah(a)0 Ch(a)=0 D. h(a)的符号不定,【解析】由导数几何意义可知,h(a)是曲线在点P处切线的斜率,又由切线方程2x+y+1=0可知其斜率为-2,所以h(a)=-20.故选A,第84讲 函数的连续性与导数的概念,2008高考复习方案,知识要点,1函数f(x)在点x0处连续的定义 (1)函数f(x)在点x=x0处及其附近有定义; (2)函数f(x)在点x=x0处有极限; (3) f(x)=f(x0).
4、 2函数在区间上的连续性 函数f(x)在开区间(a,b)内连续,只要求在开区间(a,b)内任何点处连续即可,对在端点a,b处是否连续不要求.函数f(x)在闭区间a,b上连续,除要求在其相应的开区间内(a,b)连续外,对端点只要求在左端点a处右连续,在右端点b处左连续.,第84讲 函数的连续性与导数的概念,2008高考复习方案,3最大值、最小值定理 如果函数f(x)在闭区间a,b上是连续函数,那么f(x)在闭区间a,b上有最大值和最小值. 4曲线上某点切线定义 曲线y=f(x)上两点P、Q,Q在P附近,则PQ称为曲线的割线,当Q沿曲线无限接近点P,若割线PQ有极限位置,则割线PQ的极限位置叫做曲
5、线上点P的切线. 5导数的概念 曲线上有两点(x0,f(x0)),(x0+x), f(x0+x).当x0时, 极限存在,称y=f(x)在x0处可导.并把这个极限值称f(x)在x0处的导数.,第84讲 函数的连续性与导数的概念,2008高考复习方案,6导数的物理意义 函数s=s(t)的导数s(t)表示t时刻的瞬时速度,即v=s(t).瞬时速度v=v(t)的导数v=v(t)是t时刻的加速度.即a=v(t). 7导数的几何意义 若函数f(x)在x0处可导,则f(x0)是以点(x0,f(x0))为切点的切线的斜率. 8可导与连续的关系 可导一定连续,连续不一定可导.,第84讲 函数的连续性与导数的概念
6、,例1 函数的连续性指出下列函数的不连续点: (1)f(x)= ; (2)f(x)= ; (3)f(x)= x-1(x1) 3-x(x1).,2008高考复习方案,双基固化,1函数的连续性,第84讲 函数的连续性与导数的概念,2008高考复习方案,D,【解析】(1)由x2-3x+2=0得x=1或x=2, 函数的不连续点为x=1和x=2. (2)当x=k(kZ)时,tanx=0,当x=k+ (kZ时,tanx不存在,故函数f(x)= 的不连续点为x=k和x=k+ (kZ). (3)f(x)的定义域为(-,+),,第84讲 函数的连续性与导数的概念,2008高考复习方案,D,f(x)在x=1处不连
7、续. 即x=1是此函数的不连续点.,第84讲 函数的连续性与导数的概念,例2 设f(x)= x-1(0x1), 2-x(1x3). (1)求f(x)在点x=1处的左、右极限.在点x=1处f(x)的极限是否存在? (2)f(x)在点x=1处是否连续? (3)求函数f(x)的连续区间; (4)求,2008高考复习方案,【解析】(1),第84讲 函数的连续性与导数的概念,2008高考复习方案,(2)由于f(x)在点x=1处的极限不存在,故f(x)在x=1处不连续. (3)函数的连续区间是(0,1,(1,3. (4)点x= ,x=2均在函数的连续区间内,,第84讲 函数的连续性与导数的概念,例3 设f
8、(x)在R上可导. (1)利用定义求:f(-x)在x=a处的导数与f(x)在x=-a处的导数之间的关系. (2)利用定义证明:若f(x)为偶函数,则f(x)为奇函数.,2008高考复习方案,2导数的概念及几何意义的应用,【证明】(1)记f(-x)=g(x),则f(-x)在a处的导数为g(a),于是,第84讲 函数的连续性与导数的概念,2008高考复习方案,D,令x=-t,则当x-a时,t+a. 于是,第84讲 函数的连续性与导数的概念,例4 偶函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P(0,1),且在x=1处的切线方程为y=x-2,求y=f(x)的解析式; 【解析】(1)图象过
9、P(0,1), e=1, 又f(x)是偶函数, f(-x)=f(x) 故ax4+bx3+cx2+dx+e= ax4-bx3+cx2-dx+e b=d=0, ax4+cx2+1.,第79讲 导数的概念及计算,函数f(x)在x=1处的切线方程为y=x-2, 可得切点为(1,-1). a+c+1=-1.即a+c=-2. f(1)=4ax3+2cx =4a+2c, 4a+2c=1. 由、得 f(x)=,第79讲 导数的概念及计算,例5 2007届黄岗模拟题如图12-84-1所示,曲线段OMB是抛物线y=x2(0x6)的一段,在点x=t(即点M)处的切线PQ交x轴于点P,交线段AB于Q且BAx轴于A (
10、1)试用t表示切线PQ的方程; (2)求QAP的面积g(t)的表达 示及g(t)的最大值.,2008高考复习方案,能力提升,第84讲 函数的连续性与导数的概念,2008高考复习方案,D,【解析】(1)y=2x, kl=y|x=t=2t. 切线PQ方程为y-t2=2t(x-t), 即y=2tx-t2(0t6) (2)由(1)可知P( ,0),Q(6,12t-t2), g(t)=|AP|AQ|= (6- )(12t-t2) = t3-6t2+36t(0t6), g(t)= t2-12t+36=0得t=4,t=12(舍去),第84讲 函数的连续性与导数的概念,2008高考复习方案,D,且0t4时,g
11、(t)0,g(t)在(0,4)上为增函数. 4t6时,g(t)0,g(t)在(4,6)上为减函数. 故当t=4时,g(t)的最大值64.,【小结】 利用导数的几何意义求切线的斜率方便快捷,也是高考考查的热点.,第84讲 函数的连续性与导数的概念,1研究初等函数的连续区间,必须考虑函数的定义域. 2由初等函数构成分段函数的连续区间,只须考虑分界点处连续即可. 3研究函数的连续性,尽可能作出图象帮助思考. 4求导数的定义: (1)求函数值的增量y=f(x+x)-f(x); (2)求函数的平均变化率,2008高考复习方案,规律总结,第84讲 函数的连续性与导数的概念,5理解导数的物理意义和几何意义,会用导数求物体运动的瞬时速度,瞬时加速度及曲线的切线.,2008高考复习方案,第84讲 函数的连续性与导数的概念,