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1、2）(P70第22题）证明恒等式（其中Aa均为正整数）,6 利用概率论的想法证明恒等式,证 设一袋中共有 n 只球，其中m只红球，n-m 只黑球， 现从袋中任取 r 只球，以Ak表示所取 r 只球中有 k 只 红球，则,移项即得证。,1）(P68第4(1)题）,7 袋中装有 m 只正品硬币、n 只次品硬币（次品硬币的 两面均印有国徽），在袋中任取一只，将它投掷 r 次， 已知每次都得到国徽，问这只硬币是正品的概率是多少？,解：设 B1，B2，分别表示正品、次品， A 表示“投掷r次全是国徽”。,由贝叶斯公式,8 设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名 表,其中女生的报名表分别为3
2、份、7份、5份。随机取一 个地区的报名表,从中先后抽出两份。 (1) 求先抽到的一份是女生表的概率 p ; (2) 已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生 表的概率 q 。 (1998年数学3),9 (P72第36题) 在每一次试验中，事件A 出现的概率为 p， 试问n 次独立试验中 A 出现偶数次概率是多少？,解法1 设 pk 表示在前 k 次独立试验中A出现偶数次的概 率，由全概率公式，有,解法2 事件A出现奇数次的概率记为b, 出现偶数次的概 率记为a，则,因为,解得,9 (P72第36题) 在每一次试验中，事件A 出现的概率为 p， 试问n 次独立试验中 A 出现偶数次概率是多
3、少？,10 (P72第38题) 已知自动织布机在t 这段时间内因故障 而停机的概率为 t +o(t ) (是常数), 并设机器在不 重叠时间内停机的各个事件是彼此独立的,假定在时刻 t0 机器在工作着, 试求此机器在由时刻 t0 到 t0 + t 这段时间 内不停止工作的概率P(t) (设 P(t) 与初始时刻 t0 无关).,解 设 t 表示从 t0开始持续工作的时间，则要求的概率 为P(t).(在机器工作平稳的情况，可认为此概率只与 t有关，而与起点 t0 无关)。,机器在t0 , t0 +t+t 内不停止工作， 必须在t0 , t0 +t 与 t0 +t, t0 +t+t 这两段时间内都
4、不停止工作，又因 为这两事件相互独立，故,由此得,10 (P72第38题) 已知自动织布机在t 这段时间内因故障 而停机的概率为 t +o(t ) (是常数), 并设机器在不 重叠时间内停机的各个事件是彼此独立的,假定在时刻 t0 机器在工作着, 试求此机器在由时刻 t0 到 t0 + t 这段时间 内不停止工作的概率P(t) (设 P(t) 与初始时刻 t0 无关).,第二章 随机变数及其分布函数,概率函数是一个事件(集合)函数,这在使用起来往往不太方便.为了利用已有的数学工具来研究随机现象，我们设法把样本空间中的样本点与数联系起来，建立起样本空间与实数（或复数）空间或其一部分的对应关系。这
5、种关系就是所讲的随机变数。,引例1. 掷一枚硬币试验。样本空间,令 表示“正面出现的次数”,2.1 随机变数的直观意义与定义,引例2 在一袋中装有编号分别为1，2，3的三只球，在袋 中有放回地接连取两只球，记录它们的编号，考察两只 球的号码之和。,令 X 表示“所取两球的号码之和”,则 X 的取值范围为2，3，4，5，6。,由于X的取值依随机试验的结果而定，故称X为随机变数。,定义2.1.1 设(,F,P )是一个概率空间，对于,() 是一个取实数的单值函数;若对于任一实数x, ()x是 一随机事件，亦即()x F ，则称为随机变数。,注：,(2)随机事件可以通过随机变数来描述。以后简记,(3
6、)在定义的条件下，如下形式的集合都是事件,(1)随机变数的自变量为, 函数值为实数。,事实上,有,(续前例) 在一袋中装有编号分别为1，2，3的三只球，在袋 中有放回地接连取两只球，记录它们的编号，以X表示两 只球的号码之和，求X取每个值的概率。,解 X 表示“所取两球的号码之和”,X 可能取值为2，3，4，5，6。,类似计算其它，得：,一.离散型随机变数与分布列,如果随机变量全部可能取到的不相同的值是有限个或可列无限多个，则称为离散型随机变数。,分布列也可用下述表格来表示：,结论：离散型随机变数的分布列具有性质：,非负性：,规范性：,的证明：注意到,所以,又设,例1. c 为何值时才能使下列
7、函数成为概率分布？,解：,例2. 袋中有1个白球4个红球，每次从中任取一球不放回， 直到取得白球为止。求取球次数 X 的分布列。,解：设 =“第 i 次取到白球”,由题意知，X 的所有可能取值为1，2，3，4，5。 故X 的分布列为,同理,X 的分布列为,3.几种常见的离散型随机变量的分布,例2.1.4 （退化分布或单点分布）,例2.1.5 （两点分布）,其分布列为,注: 对于一个只有两个结果的随机试验,我们可以用一个 0 -1 分布的随机变量来描述它。如：产品是否为合格 品； 新生儿的性别；投篮是否投中；考试是否及格 等。,显然,特别当 n =1时，二项分布就为0-1分布。,如当 n=3,
8、p=0.3 时,概率函数图为,例3 按规定，某种型号电子元件的使用寿命超过1500小 时的为一级品，已知某一大批产品的一级品率为 0.2, 现从中随机地抽查20只，问20只元件中恰有 k 只 k=0,1, 2, ，20）为一级品的概率是多少？,解：由于元件总数很大，将检查视为有放回抽样， 于是抽查20只元件相当于作20重贝努里试验。,设X 为20只元件中一级品的只数，则,解 若疫苗A完全无效，则注射后鸭受感染的概率仍为0.2， 9只鸭子无一只感染的概率为,同理若疫苗B完全无效，则25只鸭子至多有一只感染的 概率为,由于 0.0274比 0.1342 小得多，因此可以初步认为疫苗B 比疫苗A更有
9、效。,例2.1.11 设某种鸭子在正常情况下感染某种传染病的概 率为20%，现新发明两种疫苗，疫苗A注射在9只健康鸭 子后无一只感染传染病，疫苗B注射在25只健康鸭子后 仅有一只感染，试问应如何评价这两种疫苗，能否初步 估计哪种较为有效？,二项分布具有如下的性质：,1）对于固定的 n 和 p, 取 k 的概率随 k 的增大起先增大， 直至达到最大值，然后再下降；,2）对于固定的 p, 随着 n 的增大，b(n, p)的图形趋于对称.,1.二项分布的最可能值,由此知：,（续上例）求在正常情况下，没有注射疫苗时，9只健康鸭子与25只健康鸭子中分别最可能受到感染病的鸭数。,解 对于 9只鸭子的情形，
10、因为 n=9, p=0.2,故最可能是1只或2只受到感染。其概率为,对于 25只鸭子的情形，因为 n=25, p=0.2,故最可能是5只受到感染。其概率为,注：此称为二项分布的泊松逼近公式，在实际应用时一般 要求 。,证,记,泊松(Poisson)定理 若 则,2.二项分布的泊松逼近,显然,故,泊松(Poisson)定理 若 则,证毕,推论 若 则,表2.1.2,可见，当n 较 大，p 较小时， 近似程度相当 高。 一般当 p0.1时，近似 就比较好了。,例2.1.11.设枪击飞机,设每次射击的命中率为0.001， 独立射击5000次，试求击中两弹或两弹以上的概率。,解：设为击中的弹数，则,于是,解 设每箱中应放 100 + x 个产品， 又设为100 + x 个 产品中的废品数，则,例2.1.13 设根据过去的统计,已知在某种产品中出现废品 的概率为p=0.014, 现若要求有90%的可能性在一个箱子 的这种产品中能选得100个合格品, 试问在一个箱子中至 少应放多少个产品?,由题,即要求满足 的最小的 x.,查表得,当 x=3 时,故每箱中应放 103个产品，可达到要求.,作 业,教材 P7071 第22题、第24题 第29题、第31题,
