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1、考核内容,考核内容为整数的整除性理论、不定方程、一元同余理论三个部分。,第1章 整数的整除性理论,一、整除性、公因数、公倍数,考核内容： 1两个整数整除的概念，剩余定理（辗转相除法） 2最大公因数的概念、性质及求最大公因数的方法 3最小公倍数的概念、性质及最小公倍数的求法 4互质数及其性质 5奇偶性分析考核要求： （1）理解整数整除、公因数、公倍数的概念及相关性质； （2）理解剩余定理，熟练掌握用剩余定理求最大公因数、最小公倍数的方法,综合举例,例1求24871与3468的最大公因数 分析：利用辗转相除法， 即最大公因数 解:（略） (24871,3468)=17 ,综合举例,例2求 2487
2、1,3468 分析：如果 ,那么可得 解：因为（24871,3468）=17，所以 24871,3468= =5073684 ,综合举例,例3求 136,221,391 分析：若 是整数，则 .先求136,221=1768，再求1768,391=40664，即是136,221,391三数的最大公倍数 解： 136,221,391=136,221,391,综合举例,例4证明对于任意整数 n , 数 是整数 证：而且两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连续整数的乘积是3的倍数, 并且(2,3)=1, 所以从 和 有, 即 是整数.,二、素数与算术基本定理,考核内容：1素数与合数的概念2素数的性质3算
3、术基本定理及其应用4素数的求法（筛法）考核要求： （1）理解素数与合数的概念和素数的性质； （2）理解算术基本定理，会用筛法求素数； (3) 掌握求约数的个数与约数的和的方法。,综合举例,例1大于10且小于30的素数有（ ）A4个 B5个 C6个 D7个 答：C例2在整数中正素数的个数为（ ）A 1个 B 有限多个 C 无限多个 D 不一定 答：C,综合举例,例4设 证明：m是素数 证：假设m不是素数,则存在整数d,1dm,使得 d|m,又由 1dm 知 因此所以m为素数,三、函数x、x及其应用,考核内容：1函数x与x的概念与性质2n!的素数分解考核要求： （1）了解函数x与x的概念、性质；
4、（2）掌握n!的素数分解,综合举例,例1用x表示x的整数部分，x表示x的小数部分，则 -2.3= _,-2.3=_ 解：-3，07,例215！的标准素因数分解式为_ 解：,第2章 不定方程,一、二元一次不定方程,考核内容：1二元一次不定方程的形式2二元一次不定方程解的形式3二元一次不定方程有整数解的条件4利用剩余定理（辗转相除法）求二元一次不定方程的解考核要求： （1）了解二元一次不定方程解的形式及二元一次不定方程有整数解的条件； （2）熟练掌握利用剩余定理（辗转相除法）求二元一次不定方程的方法,综合举例,例1求解不定方程 分析：利用剩余定理（辗转相除法）求二元一次不定方程的方法是（1）先化简
5、原方程得到同解方程；（2）再求同解方程；（3）写出一切解的形式 解：因为（9，21）=3|144，所以有解； 化简得 ；考虑 ，有 ，所以原方程的特解 为 ，因此所求的解是 ,综合举例,例2 解：因为 ，所以有解；考虑 所以 是特解，即原方程的解是 ,综合举例,例3 解：因为 ，所以有解；考虑，有 ， 原方程特解为 通解为: ,综合举例,例4求不定方程 的全部整数解. 解：因为(11,15)=1,所以不定方程有解.利用辗转相除法,得到于是有 .所以,不定方程的全部整数解为 .此解当然可以改写成,二、多元一次不定方程,考核内容：1多元一次不定方程的形式2多元一次不定方程有解的条件3求简单的多元一
6、次不定方程的解 考核要求： （1）知道多元一次不定方程有解的条件； （2）会求解简单的多元一次不定方程,综合举例,例1求不定方程 的整数解. 分析：求解简单的多元一次不定方程步骤是（1）化解成两个二元一次不定方程；（2）分别求出两个二元一次不定方程的解；（3）消去参数得到多元一次不定方程的解. 解：我们将它分为两个二元一次不定方程来求解：25x+13y=t, t+7z=4 .利用求二元一次不定方程的方法,上面两个方程的解分别为, 消去t就得到所求的解这里 是任意整数.,综合举例,例2求不定方程 的整数解. 解：我们将它分为两个二元一次不定方程来求解：4x-9y=t, t+5z=8 .利用求二元
7、一次不定方程的方法, 上面两个方程的解分别为, .消去t就得到所求的解 ，这里 是任意整数.,综合举例,例3求9x+24y-5z=1000的一切整数解. 解：因为(9,24)=3,(3,-5)=1,所以我们考虑方程：9x+24y=3t, 3t-5z=1000,即等价于 3x+8y=t, 3t-5z=1000 .利用求二元一次不定方程的解法,得到, .消去t就得到所求的解这里 是任意整数 .,综合举例,例4求不定方程 的正整数解 解： ， 于是分别有： ； ； ； ；有三组正整数解：x=8，y=1；x=12，y=9；x=32，y=31,综合举例,例5求不定方程 的正整数解 解： ， 于是分别有：
8、； ； ；有二组正整数解：x=5，y=1；x=29，y=19,第3章 一元同余理论,一、同余的概念及性质,考核内容：1整数同余的概念2同余的基本性质3利用同余简单验证整数乘积运算的结果（弃九法）考核要求： （1）理解整数同余的概念及同余的基本性质； （2）会利用同余简单验证整数乘积运算的结果,综合举例,例1证明：如果整数的个位数是5，则该数是5的倍数 证明：设a是一正整数,并将写成10进位数的形式: 因为 , 所以得到： ；所以整数a的个位数是5，则该数是5的倍数,综合举例,例2证明：当n是奇数时，有 证明：因 ，故 于是当n是奇数时,令 ，从而有 , 即 .,综合举例,例3若今天是星期三，问
9、 天后是星期几？ 解：因此， 天后是星期日 ,综合举例,例4检验下面运算结果是否正确： ？ 解：故上面运算结果有错,二、剩余系、完全剩余系,考核内容：1剩余系与完全剩余系的概念2欧拉函数的定义及性质考核要求： （1）理解剩余系及完全剩余系的概念； （2）理解欧拉函数的定义及性质； （3）掌握欧拉函数值的计算,例1证明：相邻两个整数的立方之差不能被5整除 证明：因为 , 所以只需证明 .而模5的完全剩余系由-2,-1,0,1,2构成，所以将 n=0,1,2 代入 ,分别得值 1，7，1，19，7；对于模5， 的值1，7，1，19，7只与1，2，4等同余, 故 ；所以相邻两个整数的立方之差不能被5
10、整除,综合举例,例2设n为整数，则 被6除后可能取到的最小非负完全剩余系为_ 解：0,1,2,3,4,5,三、欧拉定理及其应用,考核内容：1欧拉定理2Fermat小定理考核要求： （1）了解欧拉定理、Fermat小定理； （2）利用欧拉定理、Fermat小定理解决具体问题,综合举例,例1求 的十进制表示的末两位数 解：原题相当于求 模100的余数.由Euler定理知 ，故 ，从而 .故 十进制表示的末两位数为81 ,综合举例,例2求 的十进制表示的末两位数 解：即求 被100除所得的余数， 由于 以及欧拉定理知 ，因此， 所以 的十进制表示的末两位数为49,四、一次同余式,考核内容：1同余式的
11、定义2一次同余式有解的条件3求解同余式考核要求： （1）理解同余式的定义； （2）掌握一次同余式有解的条件； （3）熟练掌握求解一次同余式,综合举例,例1求解同余式 解：因为 (45,132)=3|21,所以同余式有3个解；将同余式化简为等价的同余方程 ；因此同余式的3个解为：,综合举例,例2求解同余式 解：因为(12,45)=3|15,所以同余式有解,而且解的个数为3；又同余式等价于 ,即 ；利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3), 即 因此同余式的3个解为： , ,综合举例,例3求解同余式 解：因为(111,321)=3|75,所以同余式有3个解；将同余式化简为等价的同余方程 ；因此同余式的3个解为： ,综合举例,例4利用同余式解不定方程 . 解：我们先解同余式 .而此等价于 .因为 ,所以 , .设 ,代入所给的不定方程,得到所以 .于是不定方程的解是,
