初中平面几何1

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1、,初中平面几何,By：zhi,讲与练,四边形,由不在同一直线上四条线段依次首尾相接围成的封闭的立体图形叫四边形。由凸四边形和凹四边形组成.,特殊的四边形,平行四边形(包括:,普通平行四边形,矩形,菱形,正方形) 梯形(包括:普通梯形,直角梯形,等腰梯形) 四边形的内角和和外角和均为360度,平行四边形,两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形(parallelogram)。,矩形,有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(rectangle).,菱形,有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形(rhombus).,正方形,有一组邻边相等并且有一角是直角的平行四边形叫做正方形(square).,梯形及特殊梯形,

2、梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形(trapezium).（一组对边平行且不相等的四边形叫做梯形.） 等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形(isosceles trapezium). 直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形,矩形即长方形,平行四边形的性质,如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。（简述为“平行四边形的对边相等”） 如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。 （简述为“平行四边形的对角相等”） 如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的邻角互补 （简述为“平行四边形的邻角互补”） 夹在两条平行线间的平行线段相等。 如

3、果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。 （简述为“平行四边形的两条对角线互相平分”）,平行四边形的判定,如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形。（简述为“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”） 如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形。（简述为“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”） 如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形。（简述为“对角线互相平分的四边形是平行四边形”） 如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形。 （简述为“两组对角分别相等的四边形是平行四边形” 如果一个四边

4、形的两组对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形。 （简述为“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”）,面积：平行四边形的面积公式：底高 用“h”表示高，“a”表示底，“S”表示平行四边形面积，则S=ah 周长：平行四边形的周长=2两邻边的和，用“a”、“b”表示两邻边，“C”表示平行四边形的周长，则C=2（a+b）,矩形,四个角都是直角 矩形的对角线相等 . 注意：矩形具有平行四边形的一切性质,判定,有一个角是直角的平行四边形是矩形； 有三个角是直角的四边形是矩形； 对角线相等的平行四边形是矩形 .,面积：矩形面积=长宽 S=ab(注:a为长，b为宽，S为矩形面积) 周长：矩形周长=2（长+

5、宽） 用“a”、“b”分别表示长、宽，“C”表示矩形的周长， 则C=2（a+b）,菱形性质,菱形的四条边都相等； 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 . 注意：菱形也具有平行四边形的一切性质,菱形判定,有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 四条边都相等的四边形是菱形； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形,面积：对角线乘积的一半（只要是对角线互相垂直的四边形都可用）；菱形面积=底高 用“h”表示高，“a”表示底，“S”表示菱形面积， 则S=ah 周长：菱形周长=边长4 用“a”表示菱形的边长，“C”表示菱

6、形的周长，则C=4a,正方形性质,正方形的四个角都是直角，四条边都相等； 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 .,判定,因为正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，所以我们判定正方形有三个途径 有一组邻边相等的矩形是正方形 有一个角是直角的菱形是正方形 两条对角线相等，且互相垂直平分的四边形 两条对角线相等，且互相垂直的平行四边形,面积 正方形面积=边长的平方 S=aa（S表示正方形的面积，a表示正方形的边长） 对角线乘积的一半 周长 正方形周长=边长4 用“a”表示正方形的边长，“C”表示正方形的周长， 则C=4a,等腰梯形的性质,等腰梯形两腰相等、两底平行

7、； 等腰梯形在同一底上的两个角相等； 等腰梯形的对角线相等； 等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，一底的垂直平分线是它的对称轴.,等腰梯形的判定,两腰相等的梯形是等腰梯形； 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形； 对角线相等的梯形是等腰梯形.,面积 梯形的面积公式：（上底+下底）高2 梯形面积=梯形中位线高 周长 梯形的周长=上底+下底+腰+腰 用“a”、“b”、“c”、“d”分别表示梯形的上底、下底、两腰，“C”表示梯形的周长，则c=a+b+c+d,圆内接四边形,定义 四边形的四个顶点均在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形。,圆内接四边形的对角互补 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内

8、对角 圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。（托勒密定理）,性质,判定,如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点在同一个园上。,三角形全等,全等三角形的对应边、对应角相等 边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的 两个三角形全等 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,三角形相似的判定,两角对应相等，两三角形相似. 两边对应成比例且夹角相等，两

9、三角形相似. 三边对应成比例，两三角形相似. 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，,相似三角形的性质,相似三角形对应角相等，对应边成比例. 相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. 相似三角形周长的比等于相似比.,练习：,下列命题中正确的是（ ） A.对角线相等的四边形是矩形 B.对角线垂直的四边形是矩形 C.对角线相互平分且相等的四边形是矩形 D.对角线相等且垂直的四边形是矩形,下列图形中，（ ）是轴对称图，而不是中心对称图形 （A）等边三角形 （B）平行四边形 （C）矩形 （D）菱形,中心对称图形,在同一平面内，如果

10、把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形。 这个旋转点，就叫做中心对称点。,常见图形 常见的中心对称图形有：矩形，菱形，正方形，平行四边形，圆,边数为偶数的正多边形，某些不规则图形等 正偶边形是中心对称图形 正奇边形不是中心对称图形,如：正三角形不是中心对称图形;等腰梯形不是中心对称图形,轴对称图形,如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形（axial symmetric figure)，这条直线叫做对称轴(axis of symetric);这时,我们也说这两个图形关于这条直线对称。比如说圆、正方形等。,练习

11、,有下面命题：两条对角线互相垂直，有一条对角线平分一组对角的四边形是菱形；矩形是菱形；矩形是正方形；正方形是矩形，那么（ ） （A）都是假命题 （B）只有是假命题 （C）只有是真命题 （D）只有是假命题,练习：,等腰梯形ABCD中,ABCD,对角线AC垂直于一腰BC,且AC平分BAD,若梯形的中位线的长为P,则梯形ABCD的周长为( ).(A) P (B) 3P (C) (D) 4P,若梯形的中位线的长是高的2倍,面积是18cm,则这个梯形的高是（ ）. (A) 4cm (B) 6cm (C) 3 cm (D) 5cm,如图 ，矩形ABCD中，O是两条对角线交点，AEBD于E，OE:OD=1:

12、2,AE= cm,则DE=_.,【解题思路】我们知道矩形的对角线相等且互相平分,有OB=OD由OE:OD=1:2,得到OE:OB=1:2, 即E为BD的中点,又AEBD,所以我们们可以得到AB=AO,进一步得到三角形ABO为等边三角形, BAE=30, AE=cm,可以求出BE=1,DE=3cm,已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点并且AE=CF 求证：BE=DF.,【解题思路】要证明BE=DF,我们可以构造全等三角形, AE=CF, BAE=DCF,AB=CD,具备条件就可以了.,已知：如图， AH、BH、DF、CF为 ABCD各角的平分线，分别交于点E、F、G、H. 求证：四边形EFGH是矩形.,【解题思路】我们知道要证明为矩形,可以从角和对角线入手,这道题没有对角线,那我们就从角度人手,平行四边形的邻角互补,他们的角平分线构成的角肯定是直角,这样不就可以很自然的得到4个直角了吗,问题得证.,如图已知：梯形ABCD中，ABCD，E为AD中点，且BC=AB+CD。 求证：BECE。,【解题思路】 E为AD中点,而要证明BECE,我们一般想到一个图像等腰三角形的三线重合的性质,那我们就可以试试构造等腰三角形,延长CE交BA的延长线于F,只要证明FBC是等腰三角形,问题就解决了!,