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1、第 1 页（共 16 页）第第 17 章章 勾股定理勾股定理一、选择题一、选择题1下面三组数中是勾股数的一组是（ ）A6，7，8B21，28，35 C1.5，2，2.5 D5，8，132一直角三角形的一条直角边长是 7cm，另一条直角边与斜边长的和是 49cm，则斜边的长（ ）A18cmB20cmC24cmD25cm3在ABC 中，C=90，若 AB=5，则 AB2+AC2+BC2=（ ）A10B15C30D504在ABC 中，AB=13，AC=15，高 AD=12，则 BC 的长为（ ）A14B14 或 4 C8D4 或 85等腰三角形底边上的高为 8，周长为 32，则三角形的面积为（ ）A
2、56B48C40D326直角三角形有一条直角边的长为 11，另外两边的长也是正整数，则此三角形的周长为（ ）A120 B121 C132 D1237如图，某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米 a 元，则购买这种草皮至少要（ ）A450a 元 B225a 元 C150a 元 D300a 元8如图：有一圆柱，它的高等于 8cm，底面直径等于 4cm（=3），在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与 A 相对的 B 点处的食物，需要爬行的最短路程大约（ ）A10cmB12cmC19cmD20cm第 2 页（共 16 页）14在直线
3、l 上依次摆放着七个正方形（如图所示）已知斜放置的三个正方形的面积分别是 1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是 S1，S2，S3，S4，则 S1+S2+S3+S4= 二、填空题二、填空题9在 RtABC 中，C=90，AC=3，BC=4，则 AB= 10在ABC 中，C=90，若 c=10，a：b=3：4，则 ab= 11如图，在高 2 米，坡角为 30的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需 米12如图，OAB=OBC=OCD=90，AB=BC=CD=1，OA=2，则 OD2= 13如图在 4 个均由 16 个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这 4 个三角形中，与众不同的是
4、 ，不同之处： 三、解答题三、解答题15如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是 1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形（涂上阴影）第 3 页（共 16 页）（1）在图 1 中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在图 2，图 3 中，分别画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数（两个三角形不全等）16如图，在ABD 中，A 是直角，AB=3，AD=4，BC=12，DC=13，求四边形 ABCD的面积17如图所示，折叠长方形的一边 AD，使点 D 落在边 BC 的点 F 处，已知AB=8cm，BC=10cm，则 EC 的长为 cm18如果ABC 的三边长分别为
5、a、b、c，并且满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判断ABC 的形状第 4 页（共 16 页）第第 17 章章 勾股定理勾股定理参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题一、选择题1下面三组数中是勾股数的一组是（ ）A6，7，8B21，28，35 C1.5，2，2.5 D5，8，13【考点】勾股数【分析】勾股数的定义：满足 a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数，据此求解即可【解答】解：A、62+7282，不能构成勾股数，故错误；B、212+282=352，能构成勾股数，故正确；C、1.5 和 2.5 不是整数，所以不能构成勾股数，故错误；D、52+82132，不
6、能构成勾股数，故错误故选 B【点评】此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知ABC 的三边满足 a2+b2=c2，则ABC 是直角三角形2一直角三角形的一条直角边长是 7cm，另一条直角边与斜边长的和是 49cm，则斜边的长（ ）A18cmB20cmC24cmD25cm【考点】勾股定理【分析】设另一条直角边是 a，斜边是 c根据另一条直角边与斜边长的和是 49cm，以及勾股定理就可以列出方程组，即可求解【解答】解：设另一条直角边是 a，斜边是 c根据题意，得，联立解方程组，得故选 D【点评】注意根据已知条件结合勾股定理列方程求解解方程组的方法可以把方程代入方程得到 ca=1，再联立
7、解方程组第 5 页（共 16 页）3在ABC 中，C=90，若 AB=5，则 AB2+AC2+BC2=（ ）A10B15C30D50【考点】勾股定理【分析】先画图，再根据勾股定理易求 BC2+AC2的值，再加上 AB2即可【解答】解：如右图所示，在 RtABC 中，BC2+AC2=AB2，AB=5，BC2+AC2=25，AB2+AC2+BC2=25+25=50故选 D【点评】本题考查了勾股定理，解题的关键是找准直角边和斜边4在ABC 中，AB=13，AC=15，高 AD=12，则 BC 的长为（ ）A14B14 或 4 C8D4 或 8【考点】勾股定理【专题】分类讨论【分析】根据勾股定理先求出
8、 BD、CD 的长，再求 BC 就很容易了【解答】解：此图中有两个直角三角形，利用勾股定理可得：CD2=152122=81，CD=9，同理得 BD2=132122=25BD=5BC=14，第 6 页（共 16 页）此图还有另一种画法即当是此种情况时，BC=95=4故选 B【点评】此题主要考查了直角三角形中勾股定理的应用即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方5等腰三角形底边上的高为 8，周长为 32，则三角形的面积为（ ）A56B48C40D32【考点】勾股定理；等腰三角形的性质【分析】根据题意画出图形，进而利用勾股定理得出 DC 的长，进而求出 BC 的长，即可得出答案【解答】解：过点 A
9、 做 ADBC 于点 D，等腰三角形底边上的高为 8，周长为 32，AD=8，设 DC=BD=x，则 AB= （322x）=16x，AC2=AD2+DC2，即（16x）2=82+x2，解得：x=6，故 BC=12，则ABC 的面积为： ADBC= 812=48故选：B第 7 页（共 16 页）【点评】此题主要考查了勾股定理以及等腰三角形的性质，得出 DC 的长是解题关键6直角三角形有一条直角边的长为 11，另外两边的长也是正整数，则此三角形的周长为（ ）A120 B121 C132 D123【考点】勾股定理【专题】计算题【分析】设另一条直角边为 x，斜边为 y，由勾股定理得出 y2x2=112
10、，推出（y+x）（yx）=121，根据 121=1111=1211，推出 x+y=121，yx=1，求出 x、y 的值，即可求出答案【解答】解：设另一条直角边为 x，斜边为 y，由勾股定理得：y2x2=112，（y+x）（yx）=121=1111=1211，x、y 为整数，yx，x+yyx，即只能 x+y=121，yx=1，解得：x=60，y=61，三角形的周长是 11+60+61=132，故选 C【点评】本题考查了勾股定理的应用，关键是得出 x+y=121 和 yx=1，题目比较好，但有一定的难度7如图，某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美第 8 页（共 16
11、 页）化环境，已知这种草皮每平方米 a 元，则购买这种草皮至少要（ ）A450a 元 B225a 元 C150a 元 D300a 元【考点】解直角三角形的应用【专题】压轴题【分析】求出三角形地的面积即可求解如图所示，作 BDCA 于 D 点在 RtABD 中，利用正弦函数定义求 BD，即ABC 的高运用三角形面积公式计算面积求解【解答】解：如图所示，作 BDCA 于 D 点BAC=150，DAB=30，AB=20 米，BD=20sin30=10 米，SABC= 3010=150（米2）已知这种草皮每平方米 a 元，所以一共需要 150a 元故选 C【点评】本题考查了通过作辅助线构建直角三角形，
12、从而解斜三角形的能力8如图：有一圆柱，它的高等于 8cm，底面直径等于 4cm（=3），在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与 A 相对的 B 点处的食物，需要爬行的最短路程大约（ ）第 9 页（共 16 页）A10cmB12cmC19cmD20cm【考点】平面展开最短路径问题【分析】根据两点之间，线段最短首先把 A 和 B 展开到一个平面内，即展开圆柱的半个侧面，得到一个矩形，然后根据勾股定理，求得蚂蚁爬行的最短路程即展开矩形的对角线的长度【解答】解：展开圆柱的半个侧面，得到一个矩形：矩形的长是圆柱底面周长的一半即 2=6，矩形的宽是圆柱的高即 8根据勾股定理得：蚂蚁爬行的最短路程
13、即展开矩形的对角线长即 10故选 A【点评】本题考查了勾股定理的拓展应用“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键本题注意只需展开圆柱的半个侧面14在直线 l 上依次摆放着七个正方形（如图所示）已知斜放置的三个正方形的面积分别是 1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是 S1，S2，S3，S4，则 S1+S2+S3+S4= 4 【考点】勾股定理；全等三角形的判定与性质【专题】规律型【分析】运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答【解答】解：观察发现，AB=BE，ACB=BDE=90，ABC+BAC=90，ABC+EBD=90，第 10 页（
14、共 16 页）BAC=EBD，ABCBDE（AAS），BC=ED，AB2=AC2+BC2，AB2=AC2+ED2=S1+S2，即 S1+S2=1，同理 S3+S4=3则 S1+S2+S3+S4=1+3=4故答案为：4【点评】运用了全等三角形的判定以及性质、勾股定理注意发现两个小正方形的面积和正好是之间的正方形的面积二、填空题二、填空题9在 RtABC 中，C=90，AC=3，BC=4，则 AB= 5 【考点】勾股定理【分析】根据勾股定理直接解答即可【解答】解：因为在 RtABC 中，AB2=AC2+BC2，即 AB=5【点评】本题考查了勾股定理解及直角三角形的能力10在ABC 中，C=90，若
15、 c=10，a：b=3：4，则 ab= 48 【考点】勾股定理【分析】首先根据勾股定理以及 a：b=3：4，知斜边占 5 份又 c=10，所以一份是 2，则 a=6，b=8所以 ab=48【解答】解：设 a=3x，b=4x，则 c=5x，又 c=10，所以 x=2，即 a=6，b=8，第 11 页（共 16 页）所以 ab=48故答案为：48【点评】熟练运用勾股定理，此类题首先计算一份的值，再进一步进行计算11如图，在高 2 米，坡角为 30的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需 2+2 米【考点】勾股定理的应用【专题】压轴题【分析】地毯水平的部分的和是水平边的和，竖直的部分的和是竖直边，因此根据勾股定理求出直角三角形两直角边即可【解答】解：已知直角三角形的高是 2 米，根据三角函数得到：水平的直角边是=2，则地毯水平的部分的和是水平边的和，竖直的部分的和是竖直边，则地毯的长是（2+2）米【点评】正确计算地毯的长度是解决本题的关键12如图，OAB=OBC=OCD=90，AB=BC=CD=1，O
