离散傅里叶变换讲义

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1、第3章 离散傅里叶变换,3.1 引言 3.2 傅里叶变换的几种可能形式 3.3 周期序列的离散傅里叶级数（DFS） 3.4 离散傅里叶级数（DFS）的性质 3.5 有限长序列离散傅里叶变换（DFT） 3.6 离散傅里叶变换的性质 3.7 抽样Z变换-频域抽样理论 3.8 利用DFT对连续时间信号的逼近,3.1 引 言,在第2章中讨论了序列的傅里叶变换和Z变换。由于数字计算机只能计算有限长离散序列，因此有限长序列在数字信号处理中就显得很重要， 当然可以用Z变换和傅里叶变换来研究它， 但是，这两种变换无法直接利用计算机进行数值计算。针对序列“有限长”这一特点，可以导出一种更有用的变换：离散傅里叶变

2、换（Discrete Fourier Transform， 简写为DFT）。它本身也是有限长序列。,一.DFT是重要的变换1.分析有限长序列的有用工具。2.在信号处理的理论上有重要意义。3.在运算方法上起核心作用，谱分析、卷积、相关都可以通过DFT在计算机上实现。,二.DFT是现代信号处理桥梁 DFT要解决两个问题：一是离散与量化，二是快速运算。,3.2 傅里叶变换的几种可能形式,作为有限长序列的一种傅里叶表示法，离散傅里叶变换除了在理论上相当重要之外，而且由于存在有效的快速算法快速离散傅里叶变换，因而在各种数字信号处理的算法中起着核心作用。 有限长序列的离散傅里叶变换（DFT）和周期序列的离

3、散傅里叶级数（DFS）本质上是一样的。为了讨论离散傅里叶级数与离散傅里叶变换，我们首先来回顾并讨论傅里叶变换的几种可能形式，见图3-1所示。,一.连续时间、连续频率的傅氏变换（FT）-傅氏反变换,二.连续时间、离散频率傅里叶变换-傅氏级数（FS）,三.离散时间、连续频率的傅氏变换-序列的傅氏变换（DTFT）,0,-,-,四.离散时间、离散频率的傅氏变换DFSDFT,图 3-1 各种形式的傅里叶变换,表3-1 四种傅里叶变换形式的归纳,可以得出一般的规律：一个域的离散对应另一个域的周期延拓， 一个域的连续必定对应另一个域的非周期。,为了便于更好地理解DFT的概念，先讨论周期序列及其离散傅里叶级数

4、（DFS）表示。 一个周期为N的周期序列，即 ， k为任意整数，N为周期 周期序列不能进行Z变换，因为其在 n=-到+ 都周而复始永不衰减，即 z 平面上没有收敛域。但是，正象连续时间周期信号可用傅氏级数表达，周期序列也可用离散的傅氏级数来表示，也即用周期为N的正弦序列来表示。,3.3 周期序列的离散傅里叶级数(DFS),周期为N的正弦序列其基频成分为：K次谐波序列为：,但离散级数所有谐波成分中只有N个是独立的，这是与连续傅氏级数的不同之处，即 因此,将周期序列展成离散傅里叶级数时，只需取 k=0 到(N-1) 这N个独立的谐波分量，所以一个周期序列的离散傅里叶级数只需包含这N个复指数，利用正

5、弦序列的周期性可求解系数 。将上式两边乘以 ，并对一个周期求和,上式中 部分显然只有当k=r时才有值为1,其他任意k值时均为零,所以有或写为1) 可求 N 次谐波的系数2） 也是一个由 N 个独立谐波分量组成的傅立叶级数3） 为周期序列，周期为N。,时域上周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍是一个周期序列。,是一个周期序列的离散傅里叶级数(DFS)变换对，这种对称关系可表为：习惯上：记,DFS变换对公式表明，一个周期序列虽然是无穷长序列，但是只要知道它一个周期的内容（一个周期内信号的变化情况），其它的内容也就都知道了，所以这种无穷长序列实际上只有N个序列值的信息是有用的，因此周期序列与有限长序列

6、有着本质的联系。,则DFS变换对可写为,DFS 离散傅里叶级数变换 IDFS离散傅里叶级数反变换。,1、共轭对称性2、周期性3、可约性4、正交性复正弦序列均有正交特性,的一个周期内序列记作 ,而且,用Z变换的求 ：,通常称x(n)为 的主值区序列，则x(n)的Z变换为,可见， 是Z变换 在单位圆上抽样，抽样点在单位圆上的N个等分点上，且第一个抽样点为k=0。,如果 ，则有,例3-1 设 为周期脉冲串,因为对于0nN-1， , 所以 的DFS系数为,在这种情况下，对于所有的k值 均相同。,可以看出，只要知道了周期序列的一个周期的内容，则它的其他内容 均可知。即：只有N个序列值（而不是无穷个）有信

7、息。,例3-2 已知周期序列 如图所示，其周期N=10 , 试求解它的傅里叶级数系数 。,例3-2的周期序列 （周期N=10）,解：,序列的傅里叶级数系数 的幅值,例3-3 为了举例说明傅里叶级数系数 和周期信号 的一个周期的傅里叶变换之间的关系，我们再次研究例3-2所示的序列 。 令序列 的一个周期序列为：,则 的一个周期序列 的傅里叶变换是,可以证明，若将=2k/10 代入上式， 即,上图所示序列的一个周期作傅里叶变换的幅值 下图表明一个周期序列的DFS系数等于主值区序列的傅里叶变换的抽样，抽样间隔为2/10,3.4 离散傅里叶级数（DFS）的性质,由于可以用抽样变换来解释DFS，因此它的

8、许多性质与变换性质非常相似。但是，由于 和 两者都具有周期性， 这就使它与Z变换性质还有一些重要差别。此外，DFS在时域和频域之间具有严格的对偶关系，这是序列的Z变换所不具有的。 设 和 皆是周期为N的周期序列，它们各自的DFS分别为：,一、 线性,式中，a和b为任意常数，所得到的频域序列也是周期序列，周期为N。,二、 序列的移位,证,i=n+m,由于 都是以N为周期的周期函数， 故,三、调制特性如果 则有,证明：,时域乘以虚指数( )的m次幂，频域搬移m,调制特性。,四、 周期卷积,如果,则,或,证,代入,得,将变量进行简单换元，即可得等价的表示式,上式是一个卷积公式， 但是它与非周期序列的

9、线性卷积不同。 首先， 和 （或 和 都是变量m的周期序列，周期为N，故乘积也是周期为N的周期序列; 其次，求和只在一个周期上进行，即m=0到N-1，所以称为周期卷积。周期卷积的过程可以用下图来说明，这是一个N= 的周期卷积。,（1）将 翻褶， 得到,（2）将 右移一位、得到,可计算出：,（3）将 再右移一位、得 ， 可计算出：,（4）以此类推，,计算区,3,1,由于DFS和IDFS变换的对称性，可以证明时域周期序列的乘积对应着频域周期序列的周期卷积。即，如果,则,(3-38),3.5 离散傅里叶变换（DFT）有限长序列的离散频域表示,上节讨论可知，周期序列实际上只有有限个序列值有意义， 因而

10、它和有限长序列有着本质的联系。本节将根据周期序列和有限长序列之间的关系，由周期序列的离散傅里叶级数表示式推导得到有限长序列的离散频域表示即离散傅里叶变换（DFT）。,为了引用周期序列的概念，我们把它看成周期为N的周期序列 的一个周期，而把 看成x(n)的以N为周期的周期延拓， 即表示成:,设x(n)为有限长序列，长度为N，即x(n)只在n=0到N-1点上有值，其他n时，x(n)=0。即,通常把 的第一个周期n=0 到n=N-1 定义为“主值区间”， 故x(n)是 的“主值序列”，即主值区间上的序列。而称 为x(n)的周期延拓。对不同r值x(n+rN)之间彼此并不重叠，故上式可写成,一.预备知识

11、 余数运算表达式如果 ，m为整数；则有：此运算符表示n被N除，商为m，余数为 。是 的解,或称作取余数,或说作n对N取模值, 或简称为取模值,n模N。,例如：(1)(2),二.有限长序列x(n)和周期序列 的关系,如：,N-1,n,x(n),0,0,N-1,定义从n=0 到（N-1）的第一个周期为主值序列或区间。,三.周期序列 与有限长序列X(k)的关系,四.从DFS到DFT,从上式可知，DFS,IDFS的求和只限定在n=0到n=N-1,及k=0到N-1的主值区间 进行。,因此可得到新的定义，即有限长序列的离散傅氏变换(DFT)的定义。,或者：,x(n)和X(k)是一个有限长序列的离散傅里叶变

12、换对。我们称式X(k)为x(n)的N点离散傅里叶变换(DFT), x(n)为X(k)的N点离散傅里叶反变换(IDFT)。已知其中的一个序列，就能惟一地确定另一个序列。这是因为x(n)与X(k)都是点数为N的序列，都有N个独立值（可以是复数），所以信息当然等量。 此外，值得强调得是，在使用离散傅里叶变换时，必须注意所处理的有限长序列都是作为周期序列的一个周期来表示的。 换句话说，离散傅里叶变换隐含着周期性。,例一 已知序列x(n)=(n)，求它的N点DFT。 解 单位脉冲序列的DFT很容易由DFT的定义得到：,k=0, 1, , N-1,(n)的X(k)如下图。这是一个很特殊的例子，它表明对序列

13、(n)来说，不论对它进行多少点的DFT，所得结果都是一个离散矩形序列。,序列(n)及其离散傅里叶变换,例二 已知x(n)=cos(n/6)是一个长度N=12的有限长序列， 求它的N点DFT。 ,利用复正弦序列的正交特性，再考虑到k的取值区间，可得,解 由DFT的定义，得：,有限长序列及其DFT,例三 已知如下X(k):,求其10点IDFT。,解 X(k)可以表示为,X(k)=1+2(k) 0k9,写成这种形式后，就可以很容易确定离散傅里叶反变换。 从例一可知, 一个单位脉冲序列的DFT为常数1：,即一个常数的DFT是一个单位脉冲序列,0kN-1,0nN-1,所以：,五、 DFT与序列傅里叶变换

14、、Z变换的关系若x(n)是一个有限长序列，长度为N，对x(n)进行Z变换,比较Z变换与DFT，我们看到，当z=W-kN时,即,表明 是Z平面单位圆上幅角为 的点，也即将Z平面单位圆N等分后的第k点，所以X(k)也就是对X(z)在Z平面单位圆上N点等间隔抽样值。此外，由于序列的傅里叶变换X(ej)即是单位圆上的Z变换，DFT与序列傅里叶变换的关系为,上式说明X(k)也可以看作序列x(n)的傅里叶变换X(ej)在区间0, 2上的N点等间隔抽样，其抽样间隔为N=2/N， 这就是DFT的物理意义。显而易见，DFT的变换区间长度N不同， 表示对X(ej)在区间0, 2上的抽样间隔和抽样点数不同， 所以DFT的变换结果也不同。,DFT与序列傅里叶变换、Z变换的关系,例 有限长序列x(n)为,0n4,其余n,求其N=5 点离散傅里叶变换X(k)。,解 序列x(n)如图所示。在确定DFT时，我们可以将x(n)看作是一个长度N5的任意有限长序列。首先我们以N=5 为周期将x(n)延拓成周期序列 ，如图（b）， 的DFS与x(n)的DFT相对应。因为在图（ b）中的序列在区间0nN-1 上为常数值，所以可以得出,