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1、线性变换,小组成员：陈俊、周文、 蓝湘源、覃遵洋、杨潇 彭浩林,定义一个二元运算,满足以下两个条件： （1）将所有向量的横坐标拉伸至原来的2倍； （2）将所有向量的纵坐标缩短至原来的1/2；,向量的伸缩与矩阵,我们先举一个最简单的例子：如图所示，有两个向量OA= OB= 其和向量OE= 。定义运算T( )=A = 。则T( )=，T( )= ，T( )= 。由此，我们得出T(OA)+T(OB)=T(OA+OB)。通过计算我们可以得出T（k OA)=kT（OA）,可见此变换： （1）将所有向量的横坐标拉伸至原来的2倍； （2）将所有向量的纵坐标缩短至原来的1/2； 经过变换后，原来的坐标 变成了
2、 坐标 变成了这种变换是一对一的，我们用 来表示 变换后的结果,投影变换,再看看一个例子： 如下图所示，有两个向量OB= ， OA= ， 定义运算T( )=A = 。则T( )=，T( )= 。,可见此变换，对变换的向量都将产生此向量在x轴上的投影。 经过变换，经过变换后，原来的坐标 和 变成了 注意到OB，OA原先是线性无关的向量，经过变换后变成了线性相关的向量。 此变换也满足T(OA)+T(OB)=T(OA+OB). T（k OA)=kT（OA）.,由前面的例题可以看出，有很多变换存在以下性质： 对任意两个向量,和一个常数k,有一种变换T能使得,预备知识：线性空间,严格定义：设V是一个非空
3、集合，P是一个数域，在集合V的元素之间定义一种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于V中任意两个元素和，在V中都有唯一的一个元素与他们对应，称为与的和，记为在数域P与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法；这就是说，对于数域P中任一数k与V中任一元素,在V中都有唯一的一个元素与他们对应，称为k与的数量乘积，记为k如果加法与乘法还满足下述规则，那么V称为数域P上的线性空间,在以下规则中，k,L等表示数域P中的任意数；，等表示集合V中任意元素；加法满足下面四条规则： 1）； 2）（）（）； 3）在V中有一元素0，对于V中任一元素都有 0 (具有这个性质的元素0称为零元素) ；4
4、）对于V中每一个元素，都有V中的元素，使得 =0 (称为的负元,记为-) 数量乘法满足下面两条规则： 5）1； 6）k(L)=(kL)；数量乘法和加法满足下面两条规则： 7）（k+L）kL；8）k（）kk,通俗点讲，线性空间就是这样一种集合，其中任意两元素相加可构成此集合内的另一元素，任意元素与任意数（可以是实数也可以是复数）相乘后得到此集合内的另一元素。 “空间”是容纳运动的一个对象集合，而变换则规定了对应空间的运动。 线性空间中的运动，被称为线性变换。也就是说，你从线性空间中的一个点运动到任意的另外一个点，都可以通过一个线性变化来完成。而使某个对象发生对应运动的方法，就是用代表那个运动的矩
5、阵，乘以代表那个对象的向量。,子空间,定义：向量空间V的一个子空间是满足以下三个性质的V的一个子集H： a. V中零向量在H中；（即子空间H过向量空间V的原点） b. H对向量加法封闭，即对H中任意向量u，v,和u+v仍在H中； c. H对标量乘法封闭，即对H中任意向量u和任意标量c，向量cu仍在H中.表示形式：Spanv1,vp （其中v1vp在向量空间V中）,你掌握了吗？ 例：设a1,a2,a3是实线性空间V中的向量，且有 k1a1+k2a2+k3a3=0 (k1*k2不等于0） 求证： Span(a1,a2)=Span(a2,a3) 请思考一下题目的意思，并解答。题目的意思就是说a1,a
6、2张成的子空间(由a1,a2线性组合构成的向量全体)和a2,a3张成的子空间相等。 此题结论是错的，比如a1=a2=0,a3非零。,线性变换的概念,设V是数域F上的线性空间，T是一个到自身的映射，则称T是V上的一个变换。如果对任意，V，kF，变换T满足： T(+)=T()+T()，T(k)=kT()， 则称T是V的线性变换。,对于T(X)=AX，当X是数时，A也是数时，就是一般的代数变换；若X是矩阵，A也是矩阵时，就是矩阵变换。 对于线性变换的一些性质可以用正比例函数来理解记忆，即y=kx。,二、 线性变换的简单性质,1 T 为V的线性变换，则 T(0)=0 T(-a)=-T(a) 2线性变换
7、保持线性组合及关系式不变，即 若b=k1a1+k2a2+k3a3+knan 则T(b)=k1T(a1)+k2T(a2)+k3T(a3)+knT(an) 3线性变换把线性相关的向量组的变成线性相关 的向量组. 即 若a1 ,a2 ,a3 ,an 线性相关，则 T(a1),T(a2),T(a3),T(an)也线性相关. 事实上，若有不全为零的数k1 ,k2 ,k3 ,kn 使 k1a1+k2a2+k3a3+knan=0 则由2即有，k1T(a1)+k2T(a2)+k3T(a3)+knT(an)=0,注意：3的逆不成立，即T(a1),T(a2),T(a3),T(an) 线性相关， a1 ,a2 ,a
8、3 ,an未必线性相关. 事实上，线性变换可能把线性无关的向量组变成 线性相关的向量组. 如投影变换.,旋转的引入,再举一个简单的例子：如图所示，在坐标系里有一个向量（5，2）。以原点为旋转中心，逆时针旋转45角。求旋转后的向量。,根据平行四边形定则，我们可以把向量 分解成， 的和 ，,把向量a逆时针旋转45o角，得到的向量记为T（a）,则,再根据平行四边形定则，我们可以得到向量 , 的和：,如果把 改成 ,把45改成角，根据刚才的思路， 可以得到：,因为这里T是旋转变换，所以A被称为旋转矩阵， 而且注意到这里有（1）ATA=AAT=In ；（2）detA=10;(可逆矩阵) 所以A也是正交矩
9、阵。,其中，,聪明的你， 是不是明白了？ 现在还有一道题，急需聪明的你来解决。,例题,假设在水平面上有一个地球仪。我们以地面为水平面建立三维坐标系，它的原点和地球仪的球心重合。而地球仪还有一根地轴，这地轴刚好在 Y-O-Z 平面上，并且跟Z轴的夹角为角。现在已知地球仪上的一个点A(x0,y0,z0) ，当地球仪自西向东（逆时针）转动角后，A点的位置变了，请计算出A点的新坐标A。,现在给大家30秒时间思考,是不是有点难度？ 直接绕着地轴转，很难想！ 给大家点提示：,看出来了吗？ (a)先让球绕着Y轴(从X到Z的方向)旋转角，让地轴和Z轴重合，这时Y轴方向的坐标不会改变。 (b)再让球绕着地轴(从X到Y的方向)旋转角，这时Z轴方向的坐标也不会改变。 (c)最后不要忘记把地轴转回原来的位置，把球绕着Y轴(从Z到X的方向)旋转角。,(a)先让球绕着Y轴(从X到Z的方向)旋转角，让地轴和Z轴 重合。这时Y轴方向的坐标不会改变。 经过旋转变换，我们得到：把结果记为：,(b)再让球绕着地轴(从X到Y的方向)旋转角，这时Z轴方向的坐标也不会改变。 经过旋转变换，我们得到：记为：,(c)最后把球绕着Y轴(从Z到X的方向)旋转角。 与(a)类似，可以看成：让球绕着Y轴(从X到Z的方向)旋转-角 结果得到：可记为：,综上所述，有：,结果为：,将中间三个矩阵乘起来，可以将上式简化为：,其中：,谢谢观赏,
